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Nous présentons certains liens entre systèmes dynamiques, analyse harmonique et calcul scientifique. Tout groupe localement compact abélien (LCA), vu comme un groupe moyennable, agit sur un tore quelconque . Nous montrons que cette action admet une décomposition en sous-systèmes uniquement ergodiques. Comme application, le fameux théorème de Kronecker sur les approximations diophantiennes (densité) est alors renforcé en un théorème de type Weyl (équirépartition). Cela permet de montrer que les caractères d’un groupe LCA sont orthogonaux au sens de Bohr. Par conséquent, le classique théorème de Wiener caractérisant la continuité d'une mesure bornée en terme de transformée de Fourier est géneralisé sur tout groupe LCA.
Basée sur l'orthogonalité mentionnée ci-dessus des caractères du groupe, nous développons une théorie d'analyse harmonique généralisée de Wiener sur tout groupe LCA. Il est aussi question d'étudier les fonctions pseudo-aléatoires (fonctions ayant leurs mesures spectrales continues).
Aussi nous montrons que l'algèbre des fonctions quasi-périodiques ayant leurs spectres dans un -module de rang fini est isométriquement isomorphe à l'algèbre des fonctions continues et périodiques, étant le rang. C'est le fondement théorique sur lequel est basée la méthode de projection dans le calcul scientifique. Comme application théorique de cet isomorphisme d'algèbre, nous pouvons prouver, d'une façon très simple, les inégalités de Hausdorff-Young pour les fonctions presque-périodiques au sens de Besicovitch.
Ces travaux sont motivés par des questions de calcul scientifique. Une partie est faite en collaboration avec Kai JIANG et Pingwen ZHANG.