Séminaires en 2007
La catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini , dite des représentations génériques des groupes linéaires sur , joue un rôle important dans l'étude cohomologique de ces groupes linéaires (avec les travaux de Betley-Suslin, notamment). Les objets de longueur finie de la catégorie sont assez bien compris, grâce à la théorie des représentations, mais sa structure globale reste très mystérieuse. Nous présenterons une description conjecturale de la filtration de Krull de , à l'aide de nouvelles catégories, dites catégories de foncteurs en grassmanniennes. Celles-ci nous permettront également de donner une propriété d'annulation cohomologique nouvelle.
Soit un groupe et un corps. Un -module admet une forme bilineaire non degénérée invariante sous l'action de ssi il est auto-dual. Si est simple, la forme est unique à automorphisme de près. Question: Si -mod est équivalente à -mod pour des blocs de et de cette équivalence de Morita envoie un module simple sur un module simple. Qu'est-ce qu'il arrive à la forme, si elle existe?
La propriété de treillis est fondamentale pour vérifier que le monoïde de tresses dual d'un groupe de réflexions est un monoïde de Garside. Elle se ramène à la proposition suivante : si est un élément de Coxeter de , et si l'on note l'ensemble de toutes les réflexions de , alors l'intervalle forme un treillis pour l'ordre partiel de divisibilité relatif à la -longueur. J'expliquerai les grandes lignes de l'article de Brady-Watt (arXiv:math.CO/0501502) qui contient la première démonstration générale de cette propriété (vérifiée dans un premier temps au cas par cas). L'idée est de construire un complexe simplicial sphérique dont les sommets sont les racines positives d'un système de racines de , et dont la structure simpliciale est modelée sur celle de l'ensemble ordonné . Les éléments de l'intervalle se voient alors comme des sous-complexes de , et on exhibe le p.g.c.d. de deux éléments en considérant l'intersection de leurs complexes associés.