Séminaires en 2016

En théorie des représentations des groupes réductifs p-adiques, on dispose de deux paramétrages des représentations irréductibles : l’un par la décomposition de Bernstein, l’autre conjectural par la correspondance de Langlands. Nous allons voir comment la correspondance de Springer généralisée permet de comprendre les liens entre ces deux paramétrages.

La question d’existence et d’unicité d’un système de liaison est centrale dans l’étude des systèmes de fusion et encore plus pour la théorie homotopique de ceux-ci. Ce problème a connu plusieurs rebondissements importants ces dernières années. Nous parlerons donc ici de son évolution ainsi que des ingrédients apportés au fur et à mesure.

Genetic bases provide a refinement of Roquette’s theorem, which gives a description of the rational group algebra , for a -group , in terms of faithful irreducible -representations of certain subquotients of . Roughly speaking, a subgroup of is called genetic if it gives rise to one of these subquotients, and a genetic basis of is a set of representatives of the genetic subgroups of , under a certain equivalence relation. In this talk we will see how one can apply information obtained from the genetic bases of some -groups with odd, to results about Whitehead groups, to calculate the torsion part of the Whitehead groups of the groups in question.

On étudie l’action du foncteur de Lannes (on en rappellera définition et propriétés) sur les modules instables injectifs indécomposables. Ces modules sont les facteurs directs indécomposables, comme modules sur l’algèbre de Steenrod. On montre qu’il apparaît naturellement sur ces objets une structure de module. Puis on relie cela aux représentations projectives sur le corps du groupe linéaire . En particulier on montrera que ceci induit une restriction "exotique" de ces représentations vers celles de .

Gonçalvez, Guaschi et Ocampo ont montré en 2015 que l’on pouvait réaliser des variétés plates compactes, ce qui est équivalent à la construction de groupes crystallographiques sans torsion, par une construction simple basée sur un quotient du groupe de tresses ordinaire. Ce quotient, que Tits a été le premier à définir pour les groupes de tresses associés aux groupes de Coxeter finis (= groupes d’Artin), admet une généralisation aux groupes de tresses généralisés associés aux groupes de réflexions complexes. Nous montrons que la construction de Gonçalvez, Guaschi et Ocampo s’étend en toute généralité à ce cadre.

In this talk, we introduce the notion of concentric twin cotorsion pair on a triangulated category. To any such a pair, we can associate a pretriangulated subquotient category. This enables us to give a simultaneous generalization of the Iyama-Yoshino reduction and the recollement of cotorsion pairs.

Dans cet exposé, j’expliquerai comment retrouver les génotypes des représentations rationnelles irréductibles d’un -groupe , pour impair, à partir de la -théorie de l’algèbre de groupe . Il en résulte une structure de foncteur de bi-ensembles pour le produit direct des génotypes des irréductibles de , pour laquelle je donnerai des formules explicites. Si le temps le permet, je montrerai que ce foncteur se factorise par la catégorie de Roquette des -groupes.

Les frises de nombres sont des constructions algébriques introduites et étudiées par Coxeter au début des années 70. Coxeter établit des propriétés étonnantes en lien avec des objets classiques de la théorie des nombres ou encore de la géométrie projective. Les frises connaissent un regain d’intérêt ces dernières années dû à des connections avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Cet exposé commencera par une courte introduction aux frises de Coxeter et leurs généralisations, puis on expliquera comment les espaces de frises s’identifient avec des espaces d’équations aux différences et des espaces de modules de points dans les espaces projectifs. Cette "trialité" permet de combiner des points de vue et des méthodes combinatoires, analytiques ou géométriques dans l’étude de ces espaces. On illustrera ce principe avec la transformée de Gale. (travail en commun avec Ovsienko, Schwartz, Tabachnikov)

L’algèbre de Iwahori-Hecke d’un système de Coxeter possède une base standard et une base costandard, ainsi que deux bases canoniques. M. Dyer a conjecturé dans sa thèse que les coordonnées dans la base standard d’un produit d’un élément de la base canonique par un élément de la base standard sont des polynômes à coefficients positifs. Il a également conjecturé que les coordonnées dans la base canonique d’un produit d’un élément de la base standard par un élément de la base costandard sont des polynômes à coefficients positifs. Les deux conjectures, équivalentes lorsque le groupe est fini, on été prouvés pour les groupes de Weyl finis par M. Dyer de G. Lehrer, puis étendus aux groupes de Coxeter finis par M. Dyer.

Les deux conjectures de M. Dyer peuvent se généraliser en deux énoncés utilisant des bases standard tordues par des ensembles de racines bifermés. Les éléments de ces bases s’obtiennent comme images de tresses Mikado via l’application allant du groupe d’Artin vers l’algèbre de Hecke. Nous démontrons le premier énoncé pour les groupes de Coxeter arbitraires en utilisant des filtrations tordues de bimodules de Soergel et la récente preuve de la conjecture de Soergel par B. Elias et G. Williamson. Nous conjecturons la linéarité du complexe de Rouquier miminal d’une tresse Mikado (un certain complexe de bimodules de Soergel vu dans la catégorie homotopique bornée), impliquant le second énoncé pour les groupes de Coxeter arbitraires, et le démontrons dans le cas où l’ensemble de racines bifermé provient d’un ensemble d’inversions d’élément du groupe ou de son complémentaire (ce qui prouve la seconde conjecture de Dyer).

Des propriétés homologiques des monoïdes peuvent être prouvées grâce aux polygraphes (des catégories supérieures, construites inductivement, dont le but est d’encoder la géométrie des relations d’un monoïde, des relations entre les relations, etc). Dans cet exposé, j’exposerai une généralisation de cette notion : les polygraphes linéaires, servant à étudier l’homologie des algèbres associatives. À partir d’une algèbre définie par générateurs et relations, on définit la notion de présentation convergente de cette algèbre, et on construit un polygraphe linéaire associé. On peut en déduire une résolution (explicite) de l’algèbre, permettant de faire des calculs d’homologie. Travail en commun avec Yves Guiraud et Philippe Malbos.

Considérons une présentation d’un groupe d’Artin-Tits. Une conjecture de Dehornoy affirme que chaque mot qui représente l’ élément unité peut être transformé en le mot trivial en utilisant uniquement les relations de tresses, certaines relations dérivées de la présentation et les réductions libres, mais sans introduire de facteur ou de facteur . Nous montrerons que cette conjecture est valide pour différentes familles de groupes d’Artin-Tits.

Je présenterai le groupe de tresse associé à un entrelacs particulier "le collier", ainsi que l’action induite sur les automorphismes du groupe libre. Mais je commencerai par présenter ces résultats pour le groupe de tresse usuel ainsi que pour le groupe de tresse punaisé. Ceci est un travail commun avec Paolo Bellingeri.

In 2005, Carlson conjectured that there are finitely many isomorphism types of mod- cohomology rings of -groups of a fixed coclass and he proved the conjecture for . In this talk, we show some recent progress on this conjecture : we prove the conjecture for non-twisted -groups for any prime and we indicate how to proceed in the twisted case. This is joint work with Oihana Garaialde and Jon Gonzalez.

Depuis que, en homotopie stable, Devinatz, Hopkins et Smith ont classifié les sous-catégories épaisses des spectres finis (1988-97), des résultats analogues ont été rapidement découverts en algèbre commutative par Hopkins et Neeman, en géométrie algébrique par Thomason, et en théorie de la représentation modulaire par Benson, Carlson et Rickard. Depuis, plusieurs aspects de la question ont été bien compris et formalisés en termes de catégories triangulées par de nombreux chercheurs : Hovey-Palmieri-Strickland, Balmer, Benson-Iyengar-Krause,... Dans cet exposé, je vais motiver le problème de la classification et expliquer le cadre formel. Ensuite je présenterai des travaux récents en commun avec Don Stanley (http://arxiv.org/abs/1511.02395) : si, dans une catégorie triangulée tensorielle, l’objet unité tensorielle engendre la catégorie et si son anneau gradué des endomorphismes est suffisamment régulier, alors la classification des sous-catégories épaisses peut s’obtenir de façon formelle en termes du spectre de Zariski de l’anneau. Ce résultat abstrait s’applique par exemple à la catégorie dérivée de certaines dg-algèbres et spectres en anneaux.

Les arrangements d’hypersurfaces sont des objets géométriques qui ressemblent localement à des arrangements d’hyperplans, et généralisent les diviseurs à croisements normaux. Leur étude est une version globale de l’étude classique des arrangements d’hyperplans, due à Arnold, Brieskorn et Orlik-Solomon, et mêle géométrie et combinatoire. Dans cet exposé on introduira des outils pour calculer les groupes de cohomologie associés aux arrangements d’hypersurfaces, et prouver des résultats de formalité.

Entre 1994 et 1998, M. Broué, G. Malle et R. Rouquier ont généralisé aux groupes de réflexions complexes la définition naturelle des algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter finis. Dans la tentative de généraliser certaines propriétés de ces algèbres, ils ont annoncé des conjectures parmi lesquelles la conjecture importante de liberté de BMR. Il est connu que cette dernière conjecture est vraie sauf pour 16 cas qui concernent presque tous les groupes exceptionnels de rang 2. Ces derniers se plongent dans 3 familles : tétraédrale, octaédrale et icosaédrale. On va expliquer comment on a prouvé la conjecture de liberté de BMR pour les groupes exceptionnels appartenant aux deux premières familles et on va donner une jolie description de la base, ce qui est similaire au cas classique d’ un groupe de Coxeter fini.

The double Burnside ring of a finite group is the Grothendieck ring of the category of finite -bisets with respect to disjoint union and tensor products over . In contrast to the (ordinary) Burnside ring , the double Burnside ring, in general, is not commutative, and the algebra is not semi-simple. In this talk I will discuss some recently developed tools that allow an explicit construction of the algebra , as a matrix algebra of relatively small dimension, for some groups of modest size. This work in progress is joint work with B. Masterson and S. Park.

Un résultat classique de O. Ore affirme que, si M est un monoïde simplifiable dans lequel deux éléments quelconques admettent un plus petit commun multiple, alors tout élément du groupe enveloppant de peut être représenté de façon unique comme une fraction irréductible sur . On étend ce résultat en affaiblissant la condition sur l’existence des multiples communs, au prix de considérer des sortes de fractions itérées ("multifractions"). Lorsque le monoïde de base admet une famille de Garside finie, ceci mène à un algorithme d’un type nouveau (mais reminiscent de l’algorithme de Dehn pour les groupes hyperboliques) pour le problème de mot du groupe . Cette méthode est en défaut pour certains monoïdes, mais on conjecture qu’elle s’applique à tous les monoïdes d’Artin-Tits.

Soit un groupe réductif -adique. L’étude des représentations lisses admissibles de sur un corps de caractéristique est fortement motivée par la recherche d’une possible correspondance de Langlands modulo . Il est attendu que les représentations apparaissant dans une telle correspondance possèdent de nombreux constituants irréductibles, d’où l’intérêt d’étudier les extensions entre ces derniers. Dans cet exposé, nous expliquons le lien entre l’induction parabolique (qui permet de construire des représentations de à partir de représentations de ses sous-groupes de Levi) et la formation des extensions. Plus précisément, nous déterminons les extensions entre induites paraboliques de en termes d’extensions entre représentations de ses sous-groupes de Levi et d’induction parabolique. Pour cela, nous calculons le delta-foncteur des parties ordinaires dérivées d’Emerton sur un induite parabolique de .

Parmi les représentations d’un groupe fini en caractéristique , les modules endo-triviaux jouent un rôle important. Il sont classifiés dans le cas d’un -groupe, mais seuls des résultats partiels sont connus en général. Les classes d’équivalence de modules endo-triviaux pour le groupe forment un groupe abélien dont on cherche la structure. Si est un -sous-groupe de Sylow de , la structure de est connue et on définit comme le noyau de la restriction de à . On sait que est un groupe abélien fini, qu’on cherche à déterminer. Un résultat récent de Balmer établit un isomorphisme entre et le groupe de tous les -homomorphismes faibles de dans . L’exposé donnera une introduction au sujet, ainsi que quelques résultats sur la structure de .

Dès le départ, Poincaré savait que sa "dualité de Poincaré" ne marchait que sur des variétés, il a même donné un contre exemple à son théorème : la suspension du tore. Depuis, on sait qu’il y a au moins deux façon de restaurer la dualité de Poincaré sur les espaces dits singuliers :

Comme un faisceau auto-dual (au sens de Verdier) ou comme une cohomologie auto-duale. C’est ce qui a donné naissance à l’homologie d’intersection.

Comme une spatialisation : étant donné un espace singulier , on essaye de lui associer un nouvel espace vérifiant la dualité de Poincaré. Cette idée est à l’origine des espaces d’intersection.

Cet exposé va se concentrer sur la deuxième solution. Etant donné une pseudovariété à singularités isolées et dont les entrelacs sont simplement connexes (termes que l’on définira), il est possible de lui assigner une famille d’espaces topologiques , indexés sur un nombre fini d’entiers , que l’on appelle les espaces d’intersection -pervers associés à . Plus particulièrement, on se concentrera sur le cas où est une variété algébrique complexe projective à singularités isolées. De par leur méthode de construction les espaces d’intersections ne sont pas des variétés algébriques, même si l’est, pourtant des résultats récents montrent qu’ils possèdent une propriété particulièrement intéressante des variétés algébriques : pour un certain entier, que l’on appelle la perversité milieu, ces espaces possèdent une structure de Hodge mixte. Une question naturelle se pose alors, peut on définir une structure de Hodge mixte canonique sur TOUTE la famille des espaces d’intersections ? Via des techniques d’homotopie rationnelle nous montrerons que c’est le cas et nous en déduirons des résultats de formalité sur ces espaces. Ces espaces founissent alors des exemples d’espaces topologiques qui ne sont ni des variétés algébriques ni des variétés complexes mais qui pourtant possède une structure de Hodge mixte.

La notion de -structure dans une catégorie triangulée a été introduite par Beilinson, Bernstein and Deligne dans leur étude de la perversité des faisceaux quasi-cohérents sur une variété algébrique ou analytique. Elle consiste en la donné d’un couple de sous-catégories de la catégorie triangulée où on travaille, avec certains axiomes qui garantissent que l’intersection , appelé le coeur de la -structure, est une catégorie abélienne et qu’on a un foncteur cohomologique sous-jacent . Dès le début il y a eu un intérêt à trouver des conditions nécessaires et suffisantes (sur la catégorie et sur la -structure elle-même) pour que ce coeur soit une ’bonne’ catégorie abélienne, par exemple, une catégorie de Grothendieck ou une catégorie de modules.

De l’autre côté il y a eu récemment un développement rapide de la théorie "silting". C’est une théorie qui étend la théorie classique de basculement (tilting theory) et dont la motivation initiale a été la fermeture par mutation de la classe des objets inclinés dans une catégorie triangulé "compacte" et, par conséquence, son application à la catégorification des mutations dans les algèbres amassées.

Dans cet exposé, nous montrerons comme une extension de la théorie "silting" au-delà du contexte compact nous permet d’étudier le problème de la condition modulaire ou Grothendieck du coeur d’une t-structure dans une catégorie triangulée avec des coproduits arbitraires.

Construction et étude d’un avatar schématique et fonctoriel des immeubles de Tits, puis description d’un formalisme Tannakien pour les immeubles de Bruhat-Tits.

Pour les représentations des groupes de Weyl et de leur algèbres de Hecke, on peut obtenir une permutation des représentations irréductibles en tensorisant par la représentation "signature". Le calcul explicite de cette permutation dans les types est donn\’e par l’involution de Mullineux. Dans un travail en cours avec Nicolas Jacon, nous montrons comment généraliser cette construction aux groupes réductifs finis grâce à la dualité d’Alvis-Curtis, et les effets sur les cristaux associés à ces groupes. J’expliquerai cette construction dans le cas de et les liens avec une conjecture de Geck sur la representation de Steinberg.

Après une introduction sur l’estimation par le maximum de vraisemblance et les test multiples, l’exposé présentera la problématique de l’appariement et de son utilisation en épidémiologie. L’intérêt de cette approche sera illustré par l’étude Isis-Diab portant sur les risques environnementaux liés au diabète de type 1. Les procédures statistiques permettant de prendre en compte l’appariement seront présentés et un résultat d’équivalence asymptotique entre le test de Student apparié et la régression logistique conditionnelle sera montré. Article sur Isis Diab : http://bmcpublichealth.biomedcentral.com/articles/10.1186/s12889-016-3690-9

Given a representation of a finite group we can associate a dimension function that to each subgroup of assigns the dimension of the fixed point space . The dimension functions are "super class functions" that are constant on the conjugacy classes of subgroups in . For a -group the list of Borel-Smith conditions characterizes the super class functions that come from real representations.

In a joint paper with Ergün Yalcin we show that while we cannot lift Borel-Smith functions to real representations for a general group , we can lift a multiple of any Borel-smith function to an action of on a finite homotopy sphere (which would be the unit sphere if we had a representation). To solve the problem we localize at each prime , and solve it in general for saturated fusion systems. That is, we give a list of Borel-Smith conditions for a fusion system that characterize the dimension functions of the fusion stable real representations. The proof for fusion systems involves biset functors and characteristic bisets for saturated fusion systems.

L’étude de l’homologie des groupes d’automorphismes des groupes libres commence de façon substantielle dans les années 1980, où Hatcher et Vogtmann démontrent la stabilité homologique pour cette famille de groupes, c’est-à-dire le fait que, en chaque degré, l’homologie ne dépend pas du rang du groupe libre considéré, pourvu qu’il soit assez grand (on parle alors d’homologie stable). L’identification de l’homologie stable de ces groupes à celle des groupes symétriques (déterminée en 1960 par Nakaoka) est un résultat profond de Galatius (2011). Ce résultat vaut pour l’homologie à coefficients constants ; nous nous intéresserons ici à l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients dans des représentations remarquables de ceux-ci, généralement obtenues en appliquant un foncteur à l’abélianisation des groupes libres en question. Si est un foncteur polynomial (un sous-quotient d’une puissance tensorielle, par exemple) et réduit (i.e. nul sur le groupe trivial) covariant entre groupes abéliens, nous avons montré avec Vespa (2015) que cette homologie stable est nulle (résultat déjà connu, par d’autres méthodes, dans de nombreux cas particuliers, notamment grâce aux travaux de Hatcher-Wahl, Randal-Williams et Satoh). La situation est très différente lorsque F est un foncteur polynomial contravariant entre groupes abéliens. Je tenterai d’expliquer dans cet exposé (suivant la prépublication hal-01214646 ; mentionnons que Randal-Williams a obtenu tout récemment dans arXiv:1604.01701, par des méthodes topologiques indépendantes, des résultats qui recoupent largement ceux-ci) comment on peut mener ces calculs lorsque est, par exemple, une puissance tensorielle du foncteur de dualité . L’outil essentiel pour cela est l’homologie des foncteurs : on examine l’homologie de différentes catégories de groupes libres à coefficients polynomiaux, en s’inspirant d’arguments d’annulation dus à Scorichenko et en utilisant des calculs explicites récents de Vespa.

I will be speaking about joint work with Michel Broué and Jean Michel, motivated by questions coming from the Spetses project. We introduce a new definition of a -root system for a complex reflection group on a vector space where is the ring of integers of a number field, . A root is no longer a vector, but something like a rank 1 -module of . Our definition has natural consequences ; for example, restricting in the obvious way to a parabolic subgroup gives rise to a new root system. In this way, for example, -root systems naturally arise for Weyl groups of type ; including one different from the and types. We classify root systems for complex reflection groups, present Cartan matrices and observe that for spetsial groups, the connection index has a property generalizing what holds for Weyl groups.

L’idée de la théorie des représentations est de faire agir une structure algébrique sur un espace vectoriel, cette théorie a fait pas mal de chemins en mathématiques et est aujourd’hui présente dans de nombreux domaines. Ma thèse s’axe autour de la théorie des représentations de certains groupes finis produits par des méthodes géométriques dits groupes finis de type Lie. Je vais commencer par introduire quelques notions de bases en théorie des représentations, puis je vous parlerai plus en détails des groupes que j’étudie. Si le temps le permet, je vous parlerai aussi de la notion d’induction, qui se révèle très efficace pour construire et étudier des représentations.

Les éléments de Coxeter des groupes de Coxeter sont les équivalents des -cycles du groupe symétrique. Tout élément du groupe symétrique se décompose de manière essentiellement unique en produit d’éléments de Coxeter de sous-groupes paraboliques irréductibles. Dans un premier temps, nous expliquons comment donner une définition plus faible de quasi-élément de Coxeter (parabolique) qui permette de généraliser la décomposition en cycles aux groupes de Coxeter arbitraires. Dans un second temps, nous donnons une caractérisation de ces éléments dans les groupes de Coxeter finis en termes d’action de Hurwitz sur leurs ensembles de décompositions minimales en produits de réflexions (en commun avec B. Baumeister, K. Roberts et P. Wegener). Il s’agit précisément des éléments pour lesquels cette action est transitive.

Je vais exposer un travail en collaboration avec Victor Turchin et Thomas Willwacher sur les complexes de graphes de Kontsevich et l’homotopie rationelle des opérades de petits disques.

Les opérades de petits disques ont été introduites à la fin des années 60 par Boardman-Vogt et May pour l’étude des espaces de lacets itérés. L’étude de ces objets a été profondément renouvelée durant la décennie écoulée. Pour citer un exemple d’application nouvelle, on peut montrer que les espaces de plongements à support compact modulo immersion entre espaces euclidiens ont une description en termes d’espaces d’applications sur les opérades de petits disques (ce résultat est la conclusion d’une série de recherches par Kontsevich-Soibelman, Sinha, Arone-Turchin, Dwyer-Hess et Boavida-Weiss). Le but de mon exposé sera de montrer que l’homotopie rationelle de ces espaces d’applications sur les opérades de petits disques peut se déterminer au moyen de complexe de graphes. Nos résultats s’appliquent aussi aux espaces d’automorphismes opéradiques des opérades de petits disques. Dans le cas de la dimension 2, l’homologie des complexes de graphes considérés se réduit au groupe de Grothendieck-Teichmüller (Willwacher). La preuve de ces résultats s’appuie sur une étude de l’homotopie rationelle des opérades de petits disques que j’expliquerai également dans mon exposé.