Séminaires en 2015

Soit un groupe réductif défini et quasi-déployé sur un corps -adique . Soit une extension quadratique séparable et la représentation de Steinberg de . Dipendra Prasad a défini un caractère de et a conjecturé que si est un caractère de , alors est distingué par si et seulement si . Il conjecture de plus que l’espace d’entrelacement est de dimension . Dans cet exposé, je donnerai l’esquisse d’une preuve de la conjecture quand est déployé et non ramifiée, preuve basée sur la géométrie de l’immeuble de Bruhat-Tits de .

Nous nous intéresserons dans cet exposé aux schémas des jets des adhérences d’orbites nilpotentes dans une algèbre de Lie réductive. Pour le cône nilpotent, qui est l’adhérence de l’orbite régulière, ces schémas sont irréductibles à tout ordre. Ce résultat fut conjecturé par Eisenbud et Frenkel, et démontré par Mustata en 2001 dans un cadre plus général. Nous verrons que ces schémas sont en revanche réductibles en général pour les autres adhérences d’orbites, et nous donnerons quelques applications géométriques. Il s’agit d’un travail en commun avec Rupert Yu.

A tout revêtement ramifié de variétés algébriques lisses (ou pas trop singulières) sur un corps de caractéristique 0, on sait associer un diviseur de ramification qui mesure son défaut à être un revêtement étale (i.e. un revêtement topologique). En caractéristique , la géométrie algébrique produit de nombreux exemples de morphismes finis de variétés lisses qui sont inséparables (morphisme de Frobenius ; quotients par des actions de groupes infinitésimaux ; feuilletages, etc). De tels morphismes ressemblent à des revêtements mais ne sont étales en restriction à aucun ouvert. Au sens usuel du terme, ils sont ramifiés partout ; mais il est très fréquent que le contexte suggère un diviseur de ramification naturel. Dans l’exposé, nous expliquerons tout ceci et nous décrirons un formalisme qui permet de définir pour les "revêtements inséparables" un diviseur de ramification qui possède de bonnes propriétés (transitivité, compatibilité avec le cas séparable). Certains de ces résultats sont issus de la thèse de Gabriel Zalamansky.

Dans cet exposé nous revisitons la classification des sous-catégories localisantes engendrées par des objets compacts de , la catégorie dérivée d’un anneau, due entre autres à Hopkins, Neeman, Thomasson et Balmer. Nous exposerons comment la description des classes cellulaires dans des quotients de l’anneau par des idéaux de type fini, suivant les techniques de Dwyer et Greenlees, produit une bijection naturelle entre le réticule des sous-catégories localisantes engendrées par des compacts de et les ouverts de Hochster de , sans avoir besoin de recourir à des hypothèses de noetherianité. Nous montrerons en particulier que les théorèmes de nilpotence à la Devinaz-Hopkins-Smith sont conséquence du fait que est un espace de Tychonoff. Si le temps le permet nous monterons comment la dualité de Hochster permet de reconstruire avec sa topologie de Zariski et nous discuterons du cas des schémas quasi-compacts généraux. Ceci est un travail en commun avec Joachim Kock (Universidad Autónoma de Barcelona) .

Dans ce séminaire nous présenterons un analogue de dimension quatre des string links, les ribbon tubes. Comme les string links, ces objets forment un monoide : nous introduirons une notion d’homotopie (self homotopy) sur les ribbon tubes, qui généralise la notion de link homotopy introduite par Habegger-Lin dans le cas des string links et qui nous permettra d’interpréter les (classes d’équivalence de) ribbon tubes en termes d’automorphismes de certain quotients de groupes libres et de montrer comment les groupes de tresses pures apparaissent d’une façon naturelle dans ce contexte.

Rickard a posé en 1989 la question si pour trois -algèbres de dimension finie une équivalence stable à la Morita entre et , implique l’existence d’une équivalence stable à la Morita entre et . Nous répondons par des contre-exemples à cette question, d’abord dans le cas général dans une travail en commun avec Yuming Liu et Guodong Zhou, puis pour des algèbres symétriques dans un travail avec Serge Bouc. Dans l’exposé je vais décrire les idées et méthodes de démonstration dans chacun des deux cas, et je vais illustrer les liens entre cette question et la conjecture d’Auslander-Reiten sur l’invariance des nombres de modules simples non projectives sous équivalences stables.

Quand on exprime les tresses simples duales à l’aide des générateurs classiques, on fait apparaître des tresses d’une forme particulière. Cette étude est motivée par des conjectures sur l’algèbre de Temperley-Lieb. Il s’agit d’un travail en cours en commun avec Thomas Gobet.

Le théorème du produit tensoriel de Steinberg est une pierre angulaire de la théorie des représentations de (considéré comme un groupe algébrique ou comme un groupe fini si le corps de base est fini). Dans cet exposé, nous expliquerons l’approche de la théorie des représentations de par des catégories de foncteurs, puis nous expliquerons une nouvelle démonstration du théorème de Steinberg et nous donnerons des généralisations de ce théorème.

Je vais présenter le (gros) groupe de Grothendieck-Teichmüller comme une limite inverse de groupes élémentaires que l’on peut calculer explicitement. Ceux-ci sont indexés par tous les groupes finis , et que je les appellerai . Lorsque est simple et non-abélien, je vais expliquer comment identifier avec un groupe de permutations explicite ; ceci permet d’une part de déterminer les facteurs simples qui peuvent intervenir dans , et d’autre part d’explorer à l’aide d’un ordinateur de nombreux exemples. Tout ceci est lié à la théorie des "dessins d’enfants", que je vais esquisser. Je vais essayer de mettre l’accent sur les "-dessins d’enfants".

La compréhension des représentations de groupes réductifs p-adiques sur des corps de caractéristique , où est un entier premier arbitraire, est au coeur de plusieurs problèmes arithmétiques et reste pour l’instant extrêmement limitée, y compris lorsque l’on ne s’intéresse qu’aux représentations lisses irréductibles de groupes de petit rang. Dans cet exposé, j’expliquerai le type d’énoncés dont on dispose à l’heure actuelle et les problèmes qui se posent encore en utilisant le cas du groupe spécial linéaire comme exemple déjà fort instructif. En particulier, j’expliquerai comment les algèbres de Hecke-Iwahori interviennent naturellement dans ce contexte et la manière dont elles sont à la fois source de résultats intéréssants et de problèmes surprenants.

dans cet exposé j’introduirai la notion de formalité des opérades et quelques résultats classiques, puis je décrirai l’opérade Swiss-cheese et expliquerai les différences entre cette opérade et l’opérade des petits- disques. Je démontrerai enfin que cette opérade n’est pas formelle.

I will talk about recent progress in my research on the -category of finite sets with variable finite group actions, which we have introduced in order to define the notion of a "Tambara biset functor". I will explain how the adjoint properties in may serve to its definition, and if the time permits, its similarity with derivators.

Il s’agit d’un travail en commun avec Salim Rivière. Une -algèbre de Lie stricte n’est rien d’autre qu’une classe d’équivalence d’un module croisé d’algèbre de Lie. Les modules croisés qui intéressent en théorie des cordes sont liés au cocycle de Cartan associé à une algèbre de Lie simple compact. Nous montrons comment un "représentant abélien" pour cette classe d’équivalence rend le travail avec la -algèbre de Lie plus facile. Comme exemple, nous construisons suivant Ciro-Martins des -tressages pour certaines -catégories en utilisant ces représentants abéliens. Ces -tressages peuvent être interprétés comme catégorification des r-matrices classiques.

Les nombres multizêtas, définis par des sommes de séries explicites, peuvent s’interpréter géométriquement comme des périodes, associées au groupe fondamental pro-unipotent de la droite projective moins trois points. Dans cet exposé, on rappelle leur définition et on étudie leurs analogues p-adiques. On décrit deux manières de les calculer explicitement. Un rôle essentiel est joué par les versions itérées des sommes harmoniques, appelées sommes harmoniques multiples. L’étude fait apparaître une notion de "multizêtas finis", d’origine géométrique et s’exprimant en termes des sommes harmoniques multiples.

Fusion systems are categories modeled on fusion pattern in finite groups. The successful theory of biset functors applies to fusion system setting and poses many interesting questions. I will overview the setup and discuss some interesting examples and open questions.

The descent algebra of a finite Coxeter group W of rank n is a subalgebra of the group algebra of W of dimension 2^n, discovered by Solomon in 1976. It supports a homomorphism into the character ring of W with nilpotent kernel, whose image is the parabolic Burnside ring of W. As a basic algebra, the descent algebra has a presentation as a quiver with relations. I will present a construction of such a quiver presentation for a given finite Coxeter group W, as a quotient of a subalgebra of the quiver algebra of the Hasse diagram of the power set of a finite set.

In work with Marju Purin and Kos Diveris we develop techniques to calculate the Auslander-Reiten quivers of the module category and of bounded derived category of a poset. We identify the implications of having an interval in the poset of a special kind, which we call a ’clamped interval’, showing that part of the AR quiver of the derived category of such an interval is copied into the AR quiver of the whole poset. We then show that this information transfers to properties of the AR quiver of the module category. This enables us to calculate these quivers in many cases, providing classes of examples of posets which are piecewise hereditary of wild type, but which have finite or tame representation type themselves, among other things.

La théorie du "basculement" (tilting) est un outil fondamental dans l’étude des algèbres de dimension finie, permettant de caractériser les équivalences dérivées. La catégorification des algèbres amassées a apporté un souffle nouveau à cette théorie en donnant naissance à "l’amas-basculement" (cluster-tilting), motivant ainsi l’étude des algèbres d’endormorphisme d’objets rigides dans certaines catégories triangulées. Soit C une catégorie triangulée linéaire et Hom-finie et soit A l’algèbre d’endomorphisme d’un objet rigide de C. La catégorie des modules sur A possède alors deux descriptions différentes : l’une en terme de sous-quotient de C ; l’autre en terme de localisation de C. On peut penser cette situation comme une réminiscence de la construction de la catégorie homotopique d’une catégorie de modèle. Dans cet exposé, j’expliquerai cette double description en rendant plus précise l’analogie avec les catégories de modèle

Le groupe de Weyl étendu associé à une matrice de Cartan généralisée A joue un rôle important dans l’étude des groupes de Kac-Moody. Le groupe est une extension du groupe de Weyl par un -groupe abélien élémentaire . Cette extension est-elle scindée et, si oui, quelles sont ses sections : ? On répondra à ces questions dans le cas où est de type sphérique ou affine et dans le cas où est à liaisons simples. Si est un sous-groupe distingué de contenu dans le sous-groupe , le quotient est encore une extension de . Lorsque est de type sphérique ou affine, on donnera la liste des cas où cette extension est scindée

The topic of this talk is to compute the integer cohomology ring of the complement of a toric arrangement, giving a description of the toric analogous of the Orlik-Solomon algebra. We begin recalling some basic combinatorial invariants and we investigate the dependency of the cohomology ring from the arrangement’s combinatorial data. To this end, we first consider the real complexified case and we study a morphism of spectral sequences associated to certain combinatorially defined subcomplexes of the toric Salvetti category. Then we use a technical argument in order to extend the results to full generality. In the case of a non-unimodular arrangement, it is still an open problem to find a purely combinatorial description of the integer cohomology ring. This is a joint work with Emanuele Delucchi (Univ. of Fribourg, CH)

Les groupes de Garside sont une classe de groupes possédant des bonnes propriétés combinatoires et algorithmiques. Les exemples les plus célèbres de groupes de Garside sont les groupes de tresses et les groupes d’Artin-Tits de type sphérique. Dans cet exposé je vais présenter une construction simple qui permet d’associer, à chaque groupe de Garside, un certain espace -hyperbolique sur lequel le groupe agit. On peut interpréter cet espace comme un analogue du complexe des courbes ; d’ailleurs, nous conjecturons que les espaces associés aux groupes de tresses sont quasi-isométriques aux complexes des courbes des disques troués. (Travail en collaboration avec Matthieu Calvez)

On considère la catégorie dont les objets sont les groupes finis et les morphismes d’un groupe vers un groupe sont donnés par le groupe de Grothendieck des -bimodules de p-permutation, étendu par le corps des complexes. On s’intéresse aux foncteurs de p-permutation c’est-à-dire les foncteurs -linéaires depuis cette catégorie vers la catégorie des -espaces vectoriels. Par un résultat dû à Serge Bouc on a accès à un "paramétrage" des foncteurs de -permutation simples donné par un groupe et un module simple pour une algèbre appelé algèbre essentielle. L’objectif de cet exposé et de donner une description de cette algèbre qui permette d’obtenir un paramétrage de ses modules simples et ainsi d’expliciter la forme des foncteurs de -permutation simples.

Récemment, Eaton et Moreto ont proposé un prolongement de la conjecture de hauteur zéro de Brauer. Dans cette exposé, on présentera des exemples confirmant cette conjecture, notamment pour les blocs des groupes réductifs finis en caractéristique naturelle. Ce travail est une collaboration avec Gunter Malle.

Dans cet exposé on se propose d’emprunter la route qui débute avec les travaux de Poincaré sur les nombres d’intersection et aboutit à l’introduction des techniques modernes de l’algèbre homotopique. Ainsi on sera amené à expliquer comment les structures algébriques fines associées au produit d’intersection peuvent distinguer efficacement des types d’homotopies d’espaces topologiques. On espère aussi aborder quelques questions relatives à la topologie des variétés compactes.

Au début des années 1980 les travaux de Goresky et Mac-Pherson en homologie d’intersection ont permis d’étendre la dualité de Poincaré au cadre des espaces singuliers. Très tôt il est apparu naturel d’essayer d’étendre la théorie homotopique présentée dans le premier exposé au cadre de la cohomologie d’intersection. Nous présenterons une réalisation d’une partie de ce programme, obtenue en collaboration avec Martin Saralegui et Daniel Tanré et expliquerons quelques applications de cette théorie.

Des relations de tresses à paramètre entre générateurs du groupe entraînent la définition d’un groupe plus gros que lui-même. On étudie le noyau de l’homomorphisme de sur en termes géométriques et en termes d’extension de corps.

Les foncteurs de Mackey (cohomologiques) pour un groupe fini , sur un anneau peuvent être vus comme des modules sur l’algèbre de Mackey (cohomologique). Dans cet expose, les résultats principaux duquel vient d’un travail en commun avec Serge Bouc et Peter Webb, je vais expliquer comment des condition de finitude des résolutions projectives des foncteurs de Mackey (cohomologiques) en caractéristique p se reflètent dans la classe d’isomorphisme d’un p-sous-groupe de Sylow de .

Afin de comprendre et catégorifier les m-amas construits par Fomin et Reading, qui sont une généralisation des amas dans les algèbres amassées, les catégories amassées supérieures ont été définies indépendamment par Keller et Thomas. Après avoir exhibé une réalisation géométrique de la catégorie amassée supérieure en termes d’arcs au sein d’une -angulation, nous construirons une bijection entre les -angulations et des objets particuliers de la catégorie étudiée, les objets m-amas-basculants.

Soit un entier premier. Dans ce premier exposé, nous présenterons un (nécessairement bref) panorama des idées menant à la formulation des correspondances de Langlands pour les groupes réductifs -adiques, ainsi que quelques-uns des principaux résultats connus ou restant à démontrer dans ce contexte.

Soit un entier premier. Dans ce second exposé, nous détaillerons un peu plus les constructions permettant de comprendre les représentations lisses irréductibles des groupes -adiques à coefficients complexes en nous concentrant sur le cas du groupe linéaire général (qui permet déjà de comprendre beaucoup de choses). Si le temps le permet, nous expliquerons comment certaines de ces constructions restent valables pour des groupes -adiques plus généraux.