Séminaires en 2008
G. Lusztig a défini des -analogues associés aux dimensions des espaces de poids dans les représentations irréductibles d'une algèbre de Lie. Ce sont des polynômes à coefficients entiers et positifs qui interviennent dans de nombreux problèmes de théorie des représentations. L'exposé consistera tout d'abord à rappeler la définition de ces polynômes ainsi que quelques-unes de leurs propriétés. Dans une deuxième partie, on verra qu'il est également possible de définir de tels -analogues pour les représentations typiques des super-algèbres et ainsi que pour les modules irréductibles tensoriels covariants de . Les polynômes ainsi obtenus sont à coefficients entiers positifs lorsque certaines conditions naturelles sont vérifiées. De plus, dans le cas des modules tensoriels covariants, ils admettent une description combinatoire généralisant celle obtenue par Lascoux et Schützenberger pour les -analogues de Lusztig liés à .
Nous généralisons l'approche de F. Digne pour définir des représentations fidèles "à la Krammer" des monoïdes d'Artin-Tits qui apparaissent comme sous-monoïde des points fixes d'un monoïde d'Artin-Tits de type simplement lacé. En particulier, nous obtenons ainsi trois représentations fidèles pour un monoïde (ou groupe) d'Artin-Tits de type Bn ; nous montrerons qu'elles sont deux à deux inéquivalentes.
Les espaces à murs sont des structures géométriques discrètes très flexibles qui généralisent la géométrie des systèmes de Coxeter. Si un groupe agit "spécialement" sur un espace à murs, alors se plonge dans un groupe de Coxeter à angles droits. En particulier est linéaire (sur les entiers), résiduellement fini, ses sous-groupes "quasi-convexes" sont fermés dans la topologie profinie. Je donnerai des critères explicites pour que l'action d'un groupe sur un espace à murs soit virtuellement spéciale. Comme application, tout groupe de Coxeter se plonge virtuellement dans un groupe de Coxeter à angles droits. C'est aussi le cas pour tout réseau uniforme hyperbolique réel arithmétique de type simple. La liste des groupes virtuellement plongeables dans un groupe de Coxeter à angles droits est déjà longue, mais pour le moment une famille de groupes résiste encore et toujours à cette approche : les groupes d'Artin (non à angles droits). Je discuterai brièvement quelques tentatives dans cette direction. (Travail en commun avec Dani Wise.)
Soit un anneau commutatif. Le centre gradué d'une catégorie -linéaire triangulée sur est un -module gradué ayant comme composante en degré n l'ensemble des transformations naturelles -linéaires de l'identité dans qui commutent au signe près avec : . Lorsque est un corps, et une algèbre auto-injective de dimension finie sur , la catégorie stable des -modules de type fini est une catégorie triangulée ayant comme foncteur de décalage l'inverse de l'opérateur de Heller. Son centre gradué a été calculé par Kessar et Linckelmann dans le cas des algèbres d'arbres de Brauer (cas qui inclut les algèbres des -groupes cycliques en caractéristique ). Le but de cet exposé est de décrire les propriétés du centre gradué de la catégorie stable d'un -groupe et de montrer que pour tout -groupe de rang au moins et tout corps infini de caractéristique , le centre gradué de la catégorie stable des -modules de dimension finie est de dimension infinie en degrés impairs si est impair et en tout degré si . Ce travail est fait en collaboration avec Markus Linckelmann.
L'espace des modules Alg_n des algèbres associatives unitaires de dimension finie n est un objet "élémentaire" mais dont on connait très mal la géométrie. Je rappellerai les résultats connus à son sujet et quelques questions ouvertes. Ensuite, je donnerai la construction d'une fonction multiplicative canoniquement attachée a une algèbre (que je ne sais construire pour l'instant que sur la normalisation de Alg_n), appelée "déterminant", ainsi que quelques applications de cette construction à la topologie de l'espace des modules Alg_n.
En théorie des représentations modulaires des groupes finis, un des grands problèmes est la détermination des matrices de décomposition. Un des objets permettant d'obtenir des informations dans ce sens est donné par la notion d'ensemble basique. Cependant, en général, il n'est pas connu si un groupe possède ou non un ensemble basique. Dans cet exposé, je présente un travail fait avec Olivier Brunat (Ruhr Universität, Bochum), et dans lequel nous montrons l'existence, pour toute caractéristique impaire, d'ensembles basiques pour le groupe alterné. En fait, pour parvenir à ce résultat, nous produisons un ensemble basique pour le groupe symétrique qui possède certaines propriétés supplémentaires, lesquelles nous permettent de nous ramener au groupe alterné. Ceci nous permet du coup d'obtenir certains résultats sur les nombres de décomposition de ces groupes.