Séminaires en 2014

Dans cet expose j'introduirai l'algebre de Hall et les formes automorphes ainsi que les resultats classiques dont on aura besoin, dont quelques-uns specifiques a la courbe elliptique. Si le temps le permet je presenterai une esquisse de preuve du resultat principal.

In this talk we discuss a joint work with B. Rémy (Lyon) in which we initiate a study of some subgroups of topological Kac-Moody groups and look at some implications of this study on the subgroup structure of the ambient Kac-Moody group.

Un associaèdre est un polytope dont les sommets correspondent aux triangulations d'un polygone convexe et dont les arêtes correspondent aux flips entre ces triangulations. J.-L. Loday en a donné une réalisation particulièrement élégante qui a été généralisée ensuite dans deux directions : d'un côté par C. Hohlweg et C. Lange pour obtenir de multiples réalisations de l'associaèdre paramétrées par une séquence de signes, et de l'autre par A. Postnikov pour obtenir une réalisation des associaèdres de graphes de M. Carr et S. Devadoss. Le but de cet exposé est de présenter une généralisation commune de ces constructions aux associaèdres d'arbres signés. Nous présenterons aussi les riches propriétés combinatoires et géométriques des polytopes qui en résultent. L'exposé sera illustré par le cas de l'associaèdre classique, dont l'interprétation en termes d'épine dorsale (arXiv:1307.4391, travail en commun avec C. Lange) est le fil directeur de ce travail.

In 1957 H.S.M Coxeter proved that the quotient of the braid group on strands () by the relations sik, where are the generators of , is a finite group if and only if . Apart from the obvious cases and , there is only a finite number of such groups, nicknamed by Sephard and Todd as for the cases where and , for the cases where and . In this talk, we will prove that the Iwahori-Hecke algebras of , i.e. the quotients of the group algebra of by a generic cubic, quadratic and quatric relation respectively, has finite rank. This was conjectured in 1998 by Broué, Malle and Rouquier for the Iwatory Hecke algebra of all complex reflection groups, and has many consequences. In particular, we will prove that we can determine completely the simple representations of for dimension .

Travail en commun avec E. Wagner (Dijon). En vue de classifier les traces de Markov (et les invariants de noeuds correspondants) qui se factorisent par l'algèbre de Birman-Wenzl-Murakami (BMW), nous introduisons une extension de cette algèbre qui permet de rendre compte de façon simultanée de ses deux incarnations (versions symplectiques et orthogonales). Pour des valeurs assez générales des paramètres de définition, nous montrons que les traces de Markov connues, correspondant aux polynômes de Homfly et de Kaufmann, sont les seules possibles. De plus, pour des valeurs suffisamment générales des paramètres, cette extension est en fait triviale. En revanche, et ce sera l'objet du deuxième exposé, j'expliquerai comment, pour une famille spéciale de paramètres, on obtient des objet algébrique nouveaux, ainsi que de nouvelles traces de Markov. Ces nouvelles structures permettent notamment de définir des extensions remarquables des algèbres de Temperley-Lieb, ainsi que des algèbres de Hecke à (pour un système de Coxeter quelconque). On en déduit en particulier des classes de cohomologie (de Hochschild) naturelles.

Il a été prouvé que les sous-monoïdes des points fixes et points périodiques de tout endomorphisme d'un monoïde d'Artin à angles droits sont finitement engendrés. Le but de cet exposé est de montrer que l'on peut étendre ce résultat à tous les monoïdes d'Artin, et sous une certaine condition, aux monoïdes pré-Garside. En plus, je démontre que ces sous-monoïdes sont d'Artin aussi dans le premier cas, et pré-Garside également dans l'autre. En seconde partie, j'introduis trois métriques dans les monoïdes pré-Garside, démontre des inégalités entre elles dans le cas général, et des équivalences uniformes dans le cas des monoïdes de Garside et des monoïdes d'Artin à angles droits.

In this talk, I will introduce a 2-category of finite sets with variable finite group actions, which enables us to regard a biset functor as a special kind of Mackey functor on it. This gives an analog of Dress' definition of a Mackey functor for biset functors.

On se donne une algèbre de Lie et une sous-algèbre de Lévi. À quelle condition deux -modules irréductibles peuvent-ils avoir des inductions à isomorphes ? Il est assez facile de voir qu'une condition suffisante est que les deux plus haut poids pour l associés sont conjugués sous l'action d'un élément du groupe de Weyl de qui est aussi un automorphisme du Diagramme de Dynkin de . Dans un travail en commun avec J. Guilhot, nous conjecturons que la réciproque est vraie et prouvons cette conjecture dans différents cas. L'exposé fera également le lien avec des problèmes analogues apparaissant dans des contextes différents notamment lorsque les coefficients de branchement sont remplacés par des multiplicités tensorielles ou des nombres de décomposition.

Nous présentons dans cet exposé la construction de nouvelles représentations intégrables pour l'algèbre toroïdale quantique (double affinisation du groupe quantique), appelées représentations l-extrémales. Leur définition a été proposée par D. Hernandez en 2009, en s'inspirant des travaux de Kashiwara sur les représentations extrémales des algèbres affines quantiques. L'application principale, comme dans la théorie de Kashiwara, est la construction de représentations de dimension finie de l'algèbre toroïdale quantique, obtenues par spécialisation du paramètre quantique aux racines de l'unité.

Both the representation ring of a group and its Burnside ring provide useful information about the group. In this talk we define a new concept that involves both ideas, and explore some of its properties. The talk will be accessible to people with a solid understanding of groups, possibly at the college level (we'll give a very brief introduction to representations, Burnside rings, character tables and tables of marks).

Soit un groupe fini et un corps commutatif. Considérons l’extension transcendante pure de engendrée par des indéterminées indexées par les éléments du groupe. Le groupe opère sur par . Dans un article publié en 1917 Emmy Noether a posé la question de savoir si le sous-corps des éléments -invariants de est lui aussi une extension transcendante pure de . On sait maintenant que la réponse peut être positive ou négative ; elle dépend à la fois du groupe et du corps de base . Akira Masuoka (Tsukuba) et moi avons récemment étendu le problème de Noether aux algèbres de Hopf de dimension finie et montré que pour une certaine classe d’algèbres de Hopf la réponse au problème de Noether généralisé est positive. Dans mon exposé j’énoncerai le problème de Noether généralisé, montrerai son rapport avec le problème de Noether classique et détaillerai le résultat obtenu.

Soit le groupe , pour un corps -adique, et un sous-groupe de Levi maximal de . Pour des raisons d’ordre arithmétique, il est intéressant de s’intéresser aux représentations (complexes) lisses irréductibles de qui sont -distinguées, i.e. qui admettent une forme linéaire non nulle -invariante sur leur espace. Par aileurs, les représentations lisses iréductibles de sont construites à partir des représentations dites cuspidales. On donnera une classification des représentations "génériques" -distinguées de , en termes de représentations cuspidales -distinguées.

Le calcul des nombres de Betti des variétés de représentations des groupes fondamentaux de surfaces de Riemann épointées dans des groupes réductifs complexes est un vieux problème qui a commencé avec les travaux de Hitchin (1987 pour ) et qui intervient dans de nombreuses branches des mathématiques (topologie de basse dimension, théorie des cordes, et plus récemment théorie des formes automorphes/intégrales orbitales). Dans cet exposé je vais expliquer comment aborder ce problème via la théorie des représentations complexes des groupes réductifs sur des corps finis.

Soit une variété fermée orientée connexe. Chas et Sullivan ont défini un produit et un coproduit sur , l'homologie des lacets libres sur M à coefficients dans un corps En étudiant ce loop coproduit, je démonterai que si la fibration des lacets libres est homologiquement trivial, i.e. est surjectif, alors la caractéristique d'Euler de M est divisible par la caractéristique du corps (ou est un point).

Les « crochets doubles de Poisson » sur des algèbres sont des versions non-commutatives des crochets de Poisson qui ont été introduites par M. Van den Bergh. Nous verrons comment l’intersection de courbes sur une surface à bord définit un crochet double sur l’algèbre de son groupe fondamental, raffinant ainsi le crochet de Goldman et son lien avec la structure de Poisson usuelle sur la variété des représentations de ce groupe. En dimension , et en utilisant les idées de la topologie des cordes de M. Chas & D. Sullivan, nous obtiendrons aussi un crochet double de Gerstenhaber sur l’homologie de l’espace des lacets d’une n-variété à bord. (Travaux en collaboration avec V. Turaev.)

la notion d’algèbre à factorisation est une structure algébrique apparue originellement dans les travaux de Beilinson-Drinfeld qui est celle décrivant les observables des théories des champs quantiques. Si on ajoute l’adjectif topologique, on obtient une structure équivalente à celle d’algèbre associative (partiellement) commutative à homotopie près (appelée En-algèbre en topologie) et permettant d’étudier parfois plus simplement l’algèbre homologique associée à ces algèbres. Dans cet exposé on décrira ces algèbres à factorisation "topologiques" et on donnera un modèle de constructions Bar itérées pour ces objets qui sont intermédiaires entre celle, bien connue, des algèbres associatives (non-itérable) et celle des algèbres commutatives (itérable à volonté).

L’homologie des foncteurs (i.e. l’algèbre homologique dans des catégories de foncteurs) sur une catégorie convenable permet de calculer l’homologie stable des groupes linéaires, des groupes orthogonaux ou des groupes symplectiques. Par contre, l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus est peu connue. Selon les cas, on dispose de résultats d’annulation, de plusieurs calculs en bas degré obtenus par Satoh et de classes explicites construites par Kawazumi. L’homologie des foncteurs des groupes libres dans les groupes abéliens devrait permettre de mieux comprendre l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Dans cet exposé, après avoir expliqué la motivation précédente à l’étude de cette homologie des foncteurs, je donnerai quelques résultats récents la concernant. D’une part, j’expliquerai que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans la sous-catégorie des foncteurs polynomiaux (résultat obtenu en collaboration avec Djament et Pirashvili) et d’autre part je donnerai le calcul explicite des groupes d’extensions entre les puissances tensorielles composées avec l’abélianisation.

Dans ce travail avec Jacques Thévenaz (EPFL), nous développons la théorie des représentations des ensembles finis et des correspondances : étant donné un anneau commutatif , soit la catégorie dont les objets sont les ensembles finis, et les morphismes les combinaisons k-linéaires de correspondances. Soit la catégorie des foncteurs à correspondances (sur ), i.e. la catégorie des foncteurs -linéaires de vers la catégorie des k-modules. La catégorie est une catégorie abélienne.

Dans un tel cadre, il est crucial de connaître, pour un objet donné de la catégorie , l’algèbre de ses endomorphismes essentiels : c’est ce que nous avons fait dans notre travail précédent sur l’algèbre des relations essentielles sur un ensemble fini, où nous décrivions en particulier tous les modules simples pour cette algèbre. Cette description conduit à un paramétrage des foncteurs à correspondances simples par des triplets formés d’un ensemble fini , d’une relation d’ordre sur , et d’une représentation -linéaire irréductible du groupe d’automorphismes de .

Une classe importante de foncteurs à correspondance provient des treillis finis : a un tel treillis , nous associons le foncteur des "fonctions d’un ensemble fini vers ". Nous définissons une catégorie k-linéaire de treillis pour laquelle cette construction devient un foncteur -linéaire pleinement fidèle. Nous montrons également que le foncteur est projectif si et seulement si est distributif. Le cas où est un treillis totalement ordonné est particulièrement intéressant :l’algèbre d’endomorphismes de est naturellement isomorphe à un produit direct d’algèbres de matrices sur . En particulier, si est un corps, et un ordre total sur , le foncteur simple paramétré par est également projectif et injectif.

En général, nous obtenons une description du foncteur simple indexé par le triplet : nous choisissons d’abord un treillis dont l’ensemble ordonné des éléments irréductibles est isomorphe à . Nous introduisons ensuite un sous-ensemble de , contenant , et invariant par le groupe d’automorphismes de . Alors le foncteur simple apparaît comme quotient de , et ses évaluations peuvent être calculées très précisément en fonction de et de . Il en résulte en particulier une formule donnant, pour chaque ensemble fini , la dimension de .

Cet exposé sera une introduction à la théorie de l’homotopie d’intersection. L’homotopie d’intersection est la base d’un programme dont l’objectif est la construction et le calcul de nouveaux invariants topologiques pour les espaces singuliers (variétés algébriques singulières, quotients de variétés différentiables sous l’action d’un groupe de Lie). Ce programme est initié par Goresky et MacPherson dans le cadre de l’homologie d’intersection. On expliquera les objectifs de ce programme, ainsi que des résultats obtenus en collaboration avec Martin Saralegui (Lens) et Daniel Tanré (Lille1) qui fondent une approche à l’homotopie d’intersection et réalisent une série des objectifs initiaux de Goresky et MacPherson.

Les algèbres Koszul sont bien connues et ont été très étudiées. Elles ont été généralisées en 2001 par Roland Berger, qui a introduit les algèbres -Koszul. Cela signifie que si on écrit l’algèbre sous forme d’un quotient d’une algèbre tensorielle , l’idéal peut être engendré par des éléments de degré et que les modules projectifs dans une résolution projective graduée minimale de peuvent être engendrés dans des degrés spécifiques dépendant de . De plus, l’algèbre est engendrée en degrés , et .

Cette notion a depuis été généralisée de plusieurs manières. Nous nous sommes intéressés à deux d’entre elles :

- une algèbre est dite si elle est graduée et si l’algèbre est engendrée en degrés , et [Cassidy-Shelton] ; - une algèbre est dite -déterminée si l’idéal peut être engendré par des éléments de degrés et , où est un entier, et si les modules projectifs dans une résolution projective graduée minimale de peuvent être engendrés dans des degrés spécifiques dépendant de et [Green-Marcos]. Le but de cet exposé est de donner des exemples de telles algèbres, parmi les algèbres de graphes de Brauer, et de comparer les algèbres de graphes de Brauer qui sont et celles qui sont -déterminées.

Il s’agit d’un travail en commun avec E.L. Green, S. Schroll et N. Snashall.

Le but de cet exposé sera de démontrer un lien nouveau entre la théorie de l’intersection des espaces de modules de courbes de genre 0 et l’algèbre homotopique. Plus précisément, je montrerai que l’action du groupe de Givental sur les théories de champs cohomologiques de genre 0, dit aussi algèbres hypercommutatives ou variétés de Frobenius, s’inscrit fidèlement dans la théorie de la déformation des algèbres de Batalin—VIlkovisky. Ceci permet de montrer deux conjectures de Kontsevich sur l’action de Givental et la trivialisation de l’action du cercle. Aucun prérequis n’est nécessaire ; je rappellerai toutes les définitions des objets en jeu. [Travail en commun avec Vladimir Dotsenko and Sergei Shadrin. Référence : arxiv.org/1304.3343]