Séminaires en 2019

Nous analyserons la stabilité d’un milieu dispersif immergé dans le vide (avec condition aux limites de Silver-Müller sur le bord extérieur) ou l’inverse. Le milieu dispersif correspond au couplage entre le système de Maxwell et une équation différentielle ordinaire (du type parabolique). Dans le cas d’un milieu dispersif couplé avec le vide, l’équation différentielle ordinaire est seulement posée sur un sous-domaine du domaine complet. Nous montrerons que ce système est bien-posé et est fortement stable dans un sous-espace fermé de l’espace d’énergie. Nous identifierons également des conditions suffisantes qui garantissent la décroissance exponentielle ou polynomiale de l’énergie dans ce sous-espace.

Un foncteur de Green à bi-ensembles est un monoïde dans la catégorie monoïdale des foncteurs à bi-ensembles. A chaque foncteur de Green à bi-ensembles , on peut associer deux autres foncteurs de Green, son commutant , et son centre . Dans cet exposé, on présentera quelques propriétés de ces deux objets, qui permettent notamment de décomposer la catégorie des -modules en un produit de catégories abéliennes. Il s’agit d’un travail en commun avec Serge Bouc.

In the purpose of approximating the incompressible Euler system with free surface, we present a general framework to construct models comprising non-hydrostatic effects. Hence, a hierarchy of new models is derived by means of a layerwise discretisation approach. To assess these models, we use a rigorous derivation process based on a Galerkin-type approximation along the vertical axis of the velocity -eld and of the pressure. It is also proven that all of them satisfy an energy equality. In addition, we analyse the linear dispersion relation of these models and prove that the latter relations converge to the dispersion relation for the Euler equations when the number of layers goes to infinity. Some numerical approches are proposed to find a balance between accuracy and efficiency.

Je présenterai des résultats récents obtenus en commun avec C. Bonnafé et R. Rouquier sur la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Ces variétés sont associées à un élément du monoïde de tresses d’Artin-Tits d’un groupe de Weyl , et leur cohomologie est un outil essentiel dans la construction des représentations des groupes finis de type de Lie, tels que ou . J’expliquerai l’effet sur leur cohomologie de la translation d’un élément du monoide par le générateur du centre (égal au carré de l’élément de plus grande longueur de ). Cela correspond à un changement de -structure dans une certaine catégorie de faisceaux qui se traduit par de simples décalages explicites de la cohomologie.

This talk focus on the boundary value problem −∆u = c(x)u + μ(x)|∇u|^2 + h(x) , in Ω , u = 0, on ∂Ω. Solutions are searched in the function space H^1_0(Ω) ∩ L^∞(Ω) where Ω ⊂ R^N, N ≥ 2, a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c, h belong to L^p(Ω) for some p > N/2 and μ belongs to L^∞(Ω). In the case where c(x) ≤ α_0 < 0, now referred to as the coercive case, this problem has been studied since the 80’s and the existence of an unique solution is the rule. Recently other cases, in particular assuming that c(x) ≥ 0 or that c(x) changes sign, started to be considered. We shall present some of the main contributions in these non-coercive cases. We will see that both existence and uniqueness may now be lost. The talk is based in joints works with Colette De Coster (Université Polytechnique des Hauts-de-France) and Louis Jeanjean (Université de Franche-Comté).

Soient un corps local non-archimédien, une extension quadratique et une algèbre à division centrale sur . Posons et où désigne le centralisateur de dans . La conjecture de Prasad et Takloo-Bighash relie la -distinction des représentations de carré intégrable de à certaines propriétés sur leur paramètre de Langlands. On commencera par introduire le corps des nombres -adiques comme exemple de corps local non-archimédien et on rappellera les définitions nécessaires au cadre de l’exposé. On vérifiera ensuite cette conjecture pour les cuspidales de niveau 0 de .

L’étude du treillis des idéaux du foncteur de Green à bi-ensembles fait apparaître la notion combinatoire de -groupe fini, qui présente plusieurs caractéristiques inattendues. Dans cet exposé, j’expliquerai comment l’étude des idéaux des foncteurs de Burnside décalés conduit dans le même esprit à la notion de -groupe relatif, et comment les propriétés des -groupes s’étendent aux -groupes relatifs.

Je présenterai quelques-uns des nouveaux problèmes liés à des questions de physiologie et d’invasion biologique abordés lors de ma délégation à l’INRA. J’examinerai leur résolution théorique et numérique à travers des systèmes d’équations paraboliques, hyperboliques et/ou stochastiques.

Nous nous intéressons à l’estimation de la première valeur propre du Laplacien-Dirichlet (). Nous commençons par rappeler les inégalités classiques entre et d’autres quantités, puis nous présentons un diagramme dit de Blaschke-Santallo liant au périmètre et au volume. Ce type de diagrammes permet de visualiser de manière claire les inégalités possibles entre les différentes quantités considérées. Nous terminons l’exposé avec la démonstration de quelques nouveaux résultats sur le diagramme. Ce travail est en cours avec Antoine Henrot et Jimmy Lamboley

Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calcul homologiques et homotopiques. Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les bicomplexes et les complexes filtrés. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de -quasi-isomorphisme, liée à la -ieme page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que la catégorie des bicomplexes admet des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les -quasi-isomorphismes. Si le temps le permet on esquissera un résultat similaire pour les complexes filtrés.

Ceci est un travail en commun avec : Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

Soit X un sous-ensemble fini d’un espace euclidien, donné par le résultat d’une expérience scientifique. Si l’on croit que X cache une structure topologique intéressante (par exemple s’il est proche d’une sous-variété M) et que l’on essaye de la comprendre, alors on dit que l’on fait de l’Analyse Topologique des Données. Plutôt que de reconstruire (au type d’homotopie près) la sous-variété sous-jacente M à partir de X (procédure instable et difficile en grande dimension), la théorie de l’homologie persistante permet d’estimer l’homologie (singulière) de M à partir de X, à travers ce que l’on appelle le diagramme de persistance de X. J’expliquerai dans cet exposé le formalisme algébrique dans lequel s’exprime cette théorie, avec des exemples de nature topologique.

Sur l’exemple historique de la tresse , un élément de Garside dans un monoïde est un élément , ou une famille d’éléments , dont les diviseurs donnent une décomposition canonique pour tous les éléments de . On décrira cette approche dans le cas du monoïde de Thompson , proche d’un monoïde commutatif libre avec diviseurs de , et dans celui, plus compliqué combinatoirement, d’un monoïde qui est une sorte d’amalgame de et du monoïde tresses (thèse d’Emilie Tesson).

On revisite la dérivation classique des équations de Saint-Venant à partir de Navier-Stokes, pour mieux comprendre l’origine des termes de friction. Une analyse fine du profil vertical de vitesse montre que l’on peut obtenir un terme de frottement en superposant une couche visqueuse proche du fond et une couche de fluide parfait. Le prix à payer est une équation supplémentaire dans le modèle intégré, l’avantage est un terme de friction dynamique, qui permet de prendre en compte un certain déphasage entre le frottement et le fond, qui a une grande importance dans les phénomènes d’érosion.

Some results on complex analysis in several variables : First of all, I will recap the notion of holomorphic function in one variable with some specific results like maximum principle, zeros theorem, etc... Next, I will introduce the concept of holomorphy in several variables and I will show the similarities and differences between one variable and several variables. Finally, (if I have time), I will present the Weirstrass theorem and the hartogs extension theorem.

We consider a repetition procedure to construct gentle algebras out of a given gentle bound quiver. I would like to show how their Avella-Alaminos-Geiss invariants are determined by those of the original one, and how this repetition can be expressed by an upper-triangular matrix algebra. I will also mention a few cases where this procedure preserves derived equivalences.

Segmentation and registration are cornerstone steps of many imaging situations : while segmentation aims to identify relevant constituents of an image for visualization or quantitative analysis, registration consists of mapping salient features of an image onto the corresponding ones in another. Instead of treating these tasks linearly one after another, so without correlating them, we propose a unified variational model, in a hyperelasticity setting, processing these two operations simultaneously. More precisely, in this work, we address the issue of designing theoretically well-motivated joint segmentation/registration methods capable of handling large deformations while keeping them physically feasible. The shapes to be matched are modeled as isotropic, homogeneous and hyperelastic materials. In a first model, the objects to be aligned are viewed as Saint-Venant Kirchoff materials. The goal is to minimize a functional containing a nonlinear-elasticity-based regularizer and a dissimilarity measure that relates local and global (i.e. region-based) information, since relying on weighted total variation and nonlocal shape descriptors inspired by the piecewise constant Mumford-Shah model. Theoretical results emphasizing the mathematical and practical soundness of the model are provided, among which existence of minimizers, connection with the segmentation step, nonlocal characterization of weighted semi-norms, asymptotic results and Γ-convergence properties. In a second model, we propose segmenting and registering a whole dataset of images to a same image that will be an unknown of the problem and that will be considered as a meaningful statistical representation of the dataset. In a variational framework, the structures to be aligned are viewed as Ogden materials and the segmentation is based on the Potts’ model which allows for a partition in more than two regions. We then approximate our deformation maps in a linear space to perform a Principal Component Analysis and study the main modes of variations in our initial dataset. Both theoretical results and preliminary numerical results are provided. This is a joint work with Noémie DEBROUX and Carola SCHÖNLIEB, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, U.K., and John Aston, Statslab, University of Cambridge, U.K.. This work is co-financed by the European Union with the European regional development fund (ERDF, HN0002137) and by the Normandie Regional Council via the M2NUM project.

L’algèbre de Hecke et ses catégorifications L’algèbre de Hecke est un objet central de la théorie des représentations. C’est une déformation de l’algèbre du groupe d’un système de Coxeter quelconque qui apparaît naturellement dans différents contextes, notamment dans la théorie des représentations des groupes finis de type de Lie (dans ce cas on considère un groupe de Weyl, et le paramètre de déformation q est spécialisé au nombre de points du corps fini considéré). Dans cette algèbre, Kazhdan et Lusztig ont mis en évidence une base canonique qui est à l’origine des polynômes qui portent leurs noms, et ont formulé des conjectures devenues classiques (concernant notamment la positivité des coefficients de ces polynômes, et leur lien avec certaines formules de caractères). Les réponses à ces questions ont été trouvées par des techniques différentes qui ont néanmoins un trait commun : la construction et l’étude de ce qui s’appelle une catégorification de l’algèbre de Hecke. Dans l’exposé on rappellera les notions de base pour la définition de l’algèbre de Hecke et des polynômes de Kazhdan-Lusztig, et pour la formulation des conjectures. Ensuite, on donnera des exemples de catégorifications (de nature géométrique ou algébrique) et on mentionnera comment on peut les utiliser pour répondre à ces questions.

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble D :={(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1} qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes. Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

La thématique sous-jacente à cet exposé est l’étude des représentations du groupe symétrique. Plus généralement, on peut étudier les algèbres d’Ariki-Koike, également appelées algèbres de Hecke cyclotomiques de type . Un théorème de Dipper-Mathas donne une équivalence de Morita entre algèbres d’Ariki-Koike. En pratiques, ce théorème assure qu’il suffit d’étudier les représentations des algèbres d’Ariki-Koike pour certains choix de paramètre seulement. Une démonstration de ce résultat peut se faire à l’aide du formalisme des algèbres de Hecke carquois. C’est cette approche que nous adoptons afin d’énoncer un théorème d’équivalence de Morita dans le cadre des algèbres de Hecke cyclotomiques de type .Pour cela, on a unifié plusieurs définitions d’algèbres qui jouent le rôle des algèbres de Hecke carquois pour le type .

Ce travail est commun avec Manuel Saorin. L’ensemble des structures de -module sur un espace vectoriel de dimension finie forme une variété affine sur laquelle un groupe algébrique agit. Les orbites correspondent aux classes d’isomorphisme. Un module dégénère vers un module si appartient à l’adhérence de Zariski de l’orbite de .

Zwara et Riedtmann montrent que ceci est équivalent à l’existence d’une certaine suite exacte de modules. Remplaçant les suites exactes par les triangles distingués on obtient un concept de dégénérescence pour les catégories triangulées. Il était connu depuis longtemps que l’objet zéro d’une catégorie triangulée dégénère vers tous les objets . Suivant une idée de Yoshino, le concept à caractère géométrique a été généralisé aux catégories triangulées dans un travail avec Manuel Saorin. A cette fin une théorie de déformations a été développée, et on a montré que cette théorie de dégénérescence géométrique est équivalente, sous certaines conditions, à la version algébrique.

Dans cet exposé on présente une étude systématique des dégénérescence de l’objet zéro. Quant au concept géométrique, contrairement au cas des modules, on a dû admettre des structures de déformations avec torsion. Il s’avère que les dégénérescences provenant des structures de torsion correspondent exactement aux dégénérescences de l’objet zéro. Quant au concept algébrique on montre que les dégénérescences de zéro sont à la base de toute autre dégénérescence, et on clarifie le lien avec les objets qui disparaissent dans le groupe de Grothendieck.

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti)

Les groupes quantiques apparurent au milieu des années 1960 comme cas particuliers de déformations de certaines algèbres de Lie : il s’agit alors d’algèbres non-commutatives, munie d’une structure similaire à celle des algèbres de fonctions d’un groupe, munie de certaines propriétés que nous détaillerons, et dont nous donnerons les quelques premiers exemples historiques. Dans la suite de l’exposé, nous nous concentrerons sur une version beaucoup plus récente des groupes quantiques (aspects topologiques et mesurables), dotées de nombreuses constructions similaires aux groupes topologiques classiques (mesure de Haar, représentation, classification des représentations, théorème de Peter-Weyl, dualité de Tannaka-Krein), que nous détaillerons. Enfin, dans une dernière partie, nous montrerons les liens qui existent entre géométrie non-commutative et les groupes quantiques, illustrant ainsi l’utilité de ces derniers en tant que groupes de symétrie de certaines-variétés non-commutatives.

Dans sa forme historique, le théorème de Whitehead dit qu’un morphisme entre CW-complexe admet un inverse à homotopie près si et seulement si il induit un isomorphisme sur tout les groupes d’homotopies. A priori, ce résultat n’a de sens que dans le cas des espaces topologiques mais la théorie des catégories modèles permet de le comprendre comme un cas particulier d’un phénomène général. Après une introduction sur la notion de catégorie modèle, on verra à travers des exemples comment définir des "groupes d’homotopies" et comprendre le théorème de Whitehead dans une catégorie modèle. On appliquera ensuite ces observations à la construction d’une catégorie modèle pour les espaces stratifiés.

Dans cet exposé on fera un petit tour d’horizon des différentes méthodes de quasi-réversibilité depuis le livre fondateur de Lattès et Lions de 1967. En particulier, on illustrera ces méthodes sur le très classique problème de Cauchy du Laplacien, qui nous servira de fil rouge. Dans sa version originale, la méthode de quasi-réversibilité consiste à remplacer le problème mal-posé d’ordre 2 par une famille de problèmes bien-posés d’ordre 4 dépendant d’un petit paramètre de régularisation. On montrera les avantages des formulations mixtes et on s’attardera sur le choix du paramètre de régularisation en fonction de l’amplitude du bruit.

In 1987, Deligne proved a type of Riemann-Roch theorem, which aims to relate geometric and arithmetic properties of compact Riemann surfaces endowed with smooth hermitian metrics. When trying to apply this result to the case of modular curves, we find that there is a crucial hypothesis that is not satisfied : the Poincaré metric does not behave nicely and has singularities at some points. The purpose of this talk is to present a method, called analytic surgery, which we can use to avoid these singularities and get a variation of Deligne’s results. Some unexpected applications stem from these considerations, such as explicit values of some derivatives of Selberg zeta functions.

Etant donné un treillis distributif fini , la catégorie des correspondances généralisées (à valeurs dans ) a pour objets les ensembles finis et pour flèches de vers les applications ; un foncteur de correspondances généralisées sur un anneau commutatif k est alors un foncteur de cette catégorie vers la catégorie des -modules, c’est-à-dire une représentation -linéaire de cette catégorie. Dans un tel contexte, l’étude des foncteurs simples est généralement fructueuse ; la situation présente n’échappe pas à cette règle puisque non seulement l’étude des foncteurs simples est intéressante per se, généralisant notamment des résultats connus pour « le » treillis à deux éléments, mais encore elle permet d’obtenir des résultats, notamment d’engendrement fini et de stabilisation, valables pour tous les foncteurs de correspondances généralisées.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’impact de la géométrie sur la solvabilité de l’équation non-linéaire de Helmholtz. Nous montrerons en particulier que, dans l’espace hyperbolique,cette équation admets des solutions pour une classe de non-linéarités plus large que dans le cas euclidien. Nous obtiendrons également des contre-exemples aux inégalités de Strichartz dans l’espace hyperbolique. Travail en collaboration avec Rainer Mandel.

Les règles de branchement du groupe symétrique en caractéristique 0 se déduisent de l’étude d’un graphe combinatoire appelé graphe de Young. En caractéristique positive, de telles règles sont aussi contrôlées par un graphe combinatoire remarquable issu de la théorie des représentations des groupes quantiques. Dans cet exposé, nous étudions divers problèmes de branchement concernant des algèbres liés aux groupe symétriques (algèbres de Hecke, de Ariki Koike ou Algèbres de Cherednik rationnelle) et nous présentons les objets combinatoires qui permettent de les étudier. Nous donnerons aussi quelques applications liées à la théorie des représentations de ces algèbres.

Lors qu’on doit approcher la solution d’un problème en dimension élevée, on est confronté au phénomène de la malediction de la dimension, qui rend l’utilisation des méthodes classiques de discretisation impossible. Les méthodes tensorielles sont une classe de méthodes, actuellement très étudiées, pour approcher la solution des problèmes en dimension élevée. Dans la plupart des méthodes proposées, le nombre de termes dans la decomposition tensorielle est fixé à l’avance. L’objectif des travaux exposés est de définir des méthodes tensorielles dans lesquelles le nombre des termes (le rang du tenseur) et les termes sont définis de façon à respecter un critère de précision donné, pertinent au problème étudié. Le premier travail proposé est la discretisation des equations de Vlasov-Poisson par une méthode tensorielle adaptative qui respecte la nature hamiltonienne du problème. Les résultats obtenus ont motivé la mise au point de méthodes adaptatives où le tenseur est divisé, à l’aide d’une structure d’arbre hiérarchique, en sous tenseurs.

L’algèbre des diagrammes de Brauer est une extension de l’algèbre de groupe du groupe symétrique, et est son analogue pour la dualité de Schur-Weyl associée aux groupes orthogonaux et symplectiques. Cette algèbre a été généralisée aux groupes de Weyl de type ADE par Cohen, Frenk et Wales dans les années 2000, et par Chen à tous les groupes de réflexions dans les années 2010. Cet exposé présentera cette algèbre, des développements récents sur le sujet, ainsi que les problèmes à résoudre pour prolonger son étude.

The object of this talk is the study of substitutive sequences, i.e. infinite sequences obtained by the iteration of a morphism defined on a finite set of letters. We will focus on the following question : given a primitive substitutive sequence , does there exist a letter that occurs in arithmetical progression ? In other words, does there exist a letter and two integers and such that for all  ? Our method mainly relies on the relationship between constant arithmetical subsequence and eigenvalues associated to the underlying dynamical system. Its study leads to a necessary condition for the existence of constant arithmetical subsequence. We will then explain a method to compute algorithmically the set of rational eigenvalues associated to a substitution. We can then deduce, given an integer , if the sequence x contains a letter in arithmetical progression of period .

Cluster algebras come with a canonical partial basis : the cluster monomials. Extending this partial basis to a full basis has been one of the central problems in the theory giving raise to a varied zoo of constructions. In this talk we will explain how Lie theory can be used to relate them.

Specifically, after recalling the basic definitions, we will explain how any acyclic cluster algebra can be seen as the ring of coordinates of a suitable double Bruhat cell in the associated Kac-Moody group. Under this identification we will interpret cluster monomials as generalized minors —certain functions on a Kac-Moody group defined in terms of its representations— and explain how one can use generalized minors to extend cluster monomials to a continuous family of bases of the cluster algebra in the affine cases.

This talk is based on joint works with D. Rupel and H. Williams.

La résolution numérique de problèmes de propagation d’ondes avec des méthodes d’éléments finis est coûteuse en temps de calcul et en mémoire. En pratique, il est indispensable de réduire autant que possible la taille du domaine de calcul en introduisant une frontière artificielle (transparente) dans le modèle, et de coupler le schéma numérique avec une méthode de décomposition de domaine (DDM) pour permettre une résolution efficace sur des machines parallèles. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents sur l’utilisation de conditions aux limites absorbantes d’ordre élevé (HABC) sur des domaines de calcul avec des coins. Deux stratégies pour traiter les coins seront présentées et comparées sur base de résultats numériques. L’une d’elle permet de traiter parfaitement les coins avec des angles droits. Dans un deuxième temps, j’expliquerai comment cette stratégie peut accélérer une méthode de décomposition de domaine (de type Schwarz optimisé) pour des partitions du domaine avec des points de jonction. Ces travaux sont réalisés en collaboration avec Christophe Geuzaine et Xavier Antoine.

On s’intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations.

In the local representation theory of finite groups, a vertex of an indecomposable -module is a minimal subgroup such that is isomorphic to a direct summand of a module induced from . This definition can be adapted to the Hecke algebra of the symmetric group at a root of unity and its quasi-hereditary cover, the category of the Cherednik algebra at a corresponding parameter. I will explain how studying the vertices of the latter module category leads to a new proof of the Dipper-Du Conjecture over (previous proofs are due to Du and Whitley) classifying the vertices of the Hecke algebra.

Lors de cet exposé, je présenterai un type particulier d’inclusions différentielles du premier ordre appelés processus de rafle perturbés. Après quelques rappels sur leur caractère bien posé, je proposerai un schéma numérique adapté. Puis, en m’aidant des outils d’analyse convexe et d’optimisation, je montrerai son ordre de convergence.

Travail en commun avec James Parkinson (Université de Sydney)

La théorie de Kazhdan-Lusztig pour les groupes de Weyl (affines) dans le cas des "paramètres égaux" est bien comprise grâce à une interprétation géométrique de certains objets. Cette interprétation permet notamment de montrer que les polynômes de Kazhdan-Lusztig sont à coefficients positifs. Dans le cas des paramètres inégaux, il n’y a plus d’interprétation géométrique et la positivité tombe en défaut même dans des exemples très simples. En s’inspirant du cas des paramètres égaux, Lusztig a formulé une série de conjectures qui capturent les propriétés essentielles des objets de cette théorie dans le cas des paramètres inégaux. Dans cet exposé, après avoir introduit ces conjectures, je présenterai quelques idées qui permettent de les prouver dans le cas des groupes de Weyl affines de rang 2.

Nous considérons plusieurs classes d’intégrales variationnelles à double phase conduites par des potentiels non homogènes. Nous étudions les équations d’Euler associées et soulignons quelques nouvelles propriétés. Nous signalons des phénomènes de concentration du spectre, des résultats de non-existence, des effets combinés de termes de réaction et d’absorption, des énergies à double phase conduites par des opérateurs anisotropes de Baouendi-Grushin. L’analyse développée dans cet exposé étend le cadre abstrait correspondant aux certains cas standard associés à l’opérateur p(x)-Laplace, à l’opérateur de courbure moyenne généralisée ou à l’opérateur différentiel de capillarité à exposant variable. Ces résultats complètent les contributions pionnières de P. Marcellini et G. Mingione dans le domaine des intégrales variationnelles à croissance variable. Nous abordons également certaines perspectives et problèmes ouverts.

We will present some of the fundamental ideas of algebraic topology up to the developement of simplicial sets and a scratch simplicial sheaf cohomology, starting from intuitive points of view.

Les algèbres aimables (en anglais « gentle algebras ») forment une classe d’algèbres associatives aux bonnes propriétés homologiques, particulièrement puisque cette classe est stable par équivalence dérivée. Elles apparaissent naturellement dans l’étude du basculement itéré, dans la catégorification des algèbres amassées et, plus récemment, dans l’étude des catégories de Fukaya de certaines surfaces avec bord.

La théorie des représentations des algèbres aimables s’étudie au moyen de mots sur leur carquois de Gabriel, qui eux-mêmes se traduisent par des courbes sur une certaine surface. C’est ce « modèle géométrique » que nous présenterons dans cet exposé. Nous verrons qu’il donne une description fine de la catégorie dérivée d’une algèbre aimable, qu’il mène à une classification de leurs objets basculants et bousculants, et qu’il permet la définition d’un invariant dérivé numérique complet pour les algèbres aimables. (Ces deux derniers résultats sont issus d’un travail en cours avec C.Amiot et S.Schroll).

Pour décrire l’agrégation de particules les unes aux autres par ajout une à une, deux formalismes, l’un discret (le système de Becker-Döring, 1937) l’autre continu (le système de Lifshitz-Slyozov, 1954) ont été introduits, historiquement appliqués au phénomène de changement de phase en physique de type gélation. Plus récemment, nous avons appliqué ces modèles à de nouvelles questions issues de la biologie, venant de la polymérisation des protéines qu’on observe dans de nombreuses maladies, en en particulier Alzheimer. Ces systèmes ont un comportement physique qui ne relève pas de la transition de phase, ce qui nous a conduit à étudier ces systèmes avec de nouvelles hypothèses sur les coefficients de réaction et à en proposer des variantes.

We consider a Crank-Nicolson scheme to approximate analytical solutions to the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation (gBBM) with white noise dispersion. This equation reads, for , the one-dimensional torus , where is a standard real valued Brownian motion and o is the so-called Stratonovich product. We choose a functional space in which the problem is well posed and we study the strong error order of the time-discrete approximation. Due to the presence of a brownian motion we prove that the strong error order of this Crank-Nicolson scheme is 1 instead of 2 for the determinist equation.

Electrical impedance tomography (EIT) is an imaging technique that reconstructs the conductivity distribution of a body using electric currents. It is known to be an ill-posed inverse problem and so, EIT has been studied extensively and remains an area of active research. In this talk, metaheuristic algorithms are introduced as an alternative way of solving EIT.

Garside structures were developed in order to better understand Artin groups and their generalizations. Finite-type Artin groups admit two types of Garside structures corresponding to their standard and dual presentations. Concerning Euclidean Artin groups, François Digne established Garside structures for two families of these groups by using their dual presentations. Recently, Jon McCammond established that none of the remaining dual presentations (except for one additional case) correspond to Garside structures. He and Robert Sulway also identified Euclidean Artin groups as subgroups of other Garside groups, thereby clarifying some of their properties. In this talk, shifting attention from dual presentations to other presentations for type , I will construct standard Garside structures for this type of Euclidean Artin groups.

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur le caractère métrique de l’équation de Hamilton-Jacobi avec obstacle (HJO). J’introduirai une nouvelle formule explicite de la distance intrinsèque associée à HJO, qui montre comment est ce qu’une stratégie de type ‘’le meilleur du pire’’ est inhérente à cette équation pour gérer l’obstacle. Certaines applications concernant les formes d’un tas de sable ou un lac débordant sur un paysage arbitraire de hauteur variable seront présentées pour motiver les résultats. L’exposé vise également des discussions de certaines questions encore ouvertes sur la dynamique correspondante, en proposant de nouvelles orientations basées sur le transport optimal de masse et des dynamiques de type gradient flot dans des espaces métriques.

Les algèbres aimables, associées à un carquois, sont des algèbres qui admettent une description simple, et qui donnent de bonnes propriétés aux modules sur ceux-ci. Leur description peut nous amener à une combinatoire vaste, dont l’interprétation amène à des résultats qui n’auraient pas été aussi simple d’obtenir autrement. En travaillant les dissections dualisables de surface qui leur sont associées, nous nous positionnerons dans un cas particulier parmi les dissections dualisables de polygone, et nous présenterons la combinatoire des accordéons, qui sont associés aux marches maximales sur le carquois bourgeonnant associé à la dissection. Nous allons ici, au long de cette discussion, présenter les différents aspects de cette combinatoire, au travers plusieurs jeux autour des carquois qui font leur structure. Et nous mettrons en évidence quelques résultats combinatoires et leur interprétation au sens des représentations.

Une correspondance entre deux ensembles finis est un sous-ensemble de leur produit direct. Les correspondances peuvent être composées et cela donne naissance à la catégorie des ensembles finis et correspondances. Un foncteur de correspondances est une représentation linéaire de cette catégorie. Les foncteurs de correspondances simples sont paramètrés par des triples où est un ensemble fini, est une relation d’ordre sur , et est un module simple pour l’algèbre du groupe . Nous décrirons pour quels triples le foncteur simple associé est projectif. Le lien étroit avec la théorie des treillis sera aussi expliqué et exploité.

Il s’agit d’un travail commun avec Serge Bouc.

In microwave imaging, we try to reconstruct the refractive index in a domain from boundary measurements. Those who were here these last years may remember that I already wrote an algorithm to localize perturbations with a good precision. This year, we are interested in another topic, the uniqueness question : does this inverse problem admit a unique solution ? Good question ! We will try to answer it, with a brand new theoretical result, and a theoretical and numerical tool allowing us to have a constructive proof. As slides will be in English, I’ll allow myself to talk in French. Your ears will surely be thankful for this decision. Identifiabilité d’un Problème Inverse et Quasi-Réversibilité En imagerie micro-ondes, on cherche à reconstruire l’indice de réfraction d’un domaine avec des mesures surfaciques. Ceux qui étaient là les années précédentes ont déjà pu voir que j’arrivais à localiser des perturbations assez fidèlement. Cette année, on change de sujet, et on s’intéresse à l’identifiabilité : ce problème inverse admet-il une solution ? Bonne question ! Nous allons justement tenter d’y répondre, avec un tout nouveau résultat théorique, et un outil aussi bien théorique que numérique qui rend la preuve constructive.

(Avec Maria Cumplido, Volker Gebhardt et Bert Wiest.) Le complexe de courbes est un objet géométrique classique associé à une surface donnée. Le groupe modulaire de la surface (groupe d’automorphismes modulo déformation) agit sur le complexe de courbes par isométries, et ça permet de montrer des propriétés algébriques du groupe. Cela s’applique au cas particulier des groupes de tresses.

Les groupes d’Artin-Tits sont une généralisation algébrique naturelle des groupes de tresses. Ceux de type sphérique partagent beaucoup de propriétés avec les groupes de tresses, mais un tel groupe ne peut pas être vu, en général, comme le groupe modulaire d’une surface. Néanmoins, on verra qu’il existe un analogue algébrique du complexe du courbes, un espace géométrique sur lequel un groupe d’Artin-Tits de type sphérique agit par isométries : le complexe des sous-groupes paraboliques irréductibles.

Dans cet exposé on introduira cet objet, et on montrera que l’intersection de sous-groupes paraboliques est un sous-groupe parabolique (une vieille conjecture), et que ces sous-groupes forment un treillis par rapport à l’inclusion. On essaie de généraliser quelques propriétés des groupes de tresses à tous les groupes d’Artin-Tits de type sphérique, en utilisant leur action sur ces complexes.

Après une introduction des ordres de convergence forts et faibles pour des équations aux dérivées partielles stochastiques, je montrerai comment on peut obtenir ces ordres pour des approximations numériques de l’équation d’Allen-Cahn stochastique. La difficulté principale réside dans la non-linéarité qui n’est pas globalement Lipschitz. Cette difficulté est contournée via une méthode de splitting lorsque le flot non-linéaire peut être résolu explicitement.

We will see through the example of the Wright-Fisher model how an appropriate rescaling allows us to approximate a sequance of Markov chains by a diffusion process.

Cet exposé traitera de théorie des représentations modulaires des groupes finis. Le but est d’y présenter une classification des modules de source triviale dans les blocs à groupes de défaut cycliques se basant sur les résultats de trois travaux plus ou moins récents :

la classification des blocs à groupes de défaut cycliques à équivalence de source près par Linckelmann (1996) ; la description de la distance d’un module indécomposable au bord du carquois stable d’Auslander-Reiten d’une algèbre d’arbre de Brauer par Bleher-Chinburg (2002) ; la classification des modules relevables dans les blocs à groupes de défaut cycliques par Hiß-Naehrig (2012). Par les résultats de Janusz (1969) les modules indécomposables des blocs à groupes de défaut cycliques sont paramétrés par trois paramètres : un chemin sur l’arbre de Brauer, une orientation et une multiplicité. On décrira donc les modules indécomposables de source triviale par la donnée de ces trois paramètres. Il s’agit d’un travail en commun avec Gerhard Hiß.

In this talk, I will introduce the very basics of representation theory of complex algebraic groups through the theory of Armand Borel and André Weil. The main idea is to give an explicit description of irreducible rational representations of an algebraic group (associated to a dominant integral weight) using almost only the geometry of the flag variety , and more precisely the cohomology of some line bundles on it. As a warm up, I will recall the theory of representations of finite groups, which reduces (on at least) to the theory of characters. Then, I shall move on to the algebraic group case, with some reminders on basic algebraic geometry, and then explain the strategy of Borel and Weil. If time permits, I will finish by giving the extension of this by Raoul Bott, and by investigating the case of , whose irreducible rational representations fall all at once, using Borel-Weil theorem.

Etant donnés un entier premier , un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle et un sous-groupe de Borel standard de , il a été prouvé par Paskunas que la restriction à encodait de nombreuses informations sur les représentations lisses irréductibles du groupe à valeurs dans un corps algébriquement clos de caractéristique p. Malheureuse- ment, les preuves de Paskunas reposent très fortement sur certaines spécifici- tés combinatoires du groupe , qui permettent notamment d’exploiter assez directement l’action d’un opérateur de Hecke sphérique très particu- lier, mais laissent très peu d’espoir quant à un passage à d’autres groupes. Elles peuvent être partiellement transposées à quelques exemples de groupes quasi-déployés de rang 1, mais ce n’est vraiment pas très satisfaisant en l’état. Dans cet exposé, nous expliquerons comment, dans un travail en com- mun avec J. Hauseux, nous proposons une réinterprétation des résultats de Paskunas à l’aide du foncteur parties ordinaires d’Emerton. Ceci nous per- met d’en obtenir une généralisation pour tout groupe de rang relatif 1, et ouvre des perspectives intéressantes pour les groupes de rang supérieur. En particulier, nous prouvons que pour de tels groupes, la restriction d’une re- présentation lisse irréductible supercuspidale à un sous-groupe parabolique minimal standard est toujours irréductible.

This work is concerned with an asymptotic analysis, in the sense of -convergence, of a sequence of variational models of brittle damage in the context of linearized elasticity. The study is performed as the damaged zone concentrates into a set of zero volume and, at the same time and to the same order , the stiffness of the damaged material becomes small. Three main features make the analysis highly nontrivial : at fixed, minimizing sequences of each brittle damage model oscillate and develop microstructures ; as , concentration of damage and worsening of the elastic properties are favoured ; and the competition of these phenomena translates into a degeneration of the growth of the elastic energy, which passes from being quadratic (at fixed) to being linear (in the limit). Consequently, homogenization effects interact with singularity formation in a nontrivial way, which requires new methods of analysis. In particular, the interaction of homogenization with singularity formation in the framework of linearized elasticity appears to not have been considered in the literature so far. We explicitly identify the -limit in two and three dimensions for isotropic Hooke tensors. The expression of the limit effective energy turns out to be of Hencky plasticity type. We further consider the regime where the divergence remains square-integrable in the limit, which leads to a Tresca-type model.

The purpose of this presentation is to describe on an example how to get a numerical scheme by using the relaxation method. The aim of this method is to make fast and easy the resolution of a Riemann problem, which is an essential ingredient to build a finite volume scheme. Also, we will see a technique to improve the scheme’s order before ending by some numerical results

Travail en commun avec Anthony Henderson et Thomas Gobet. En 2017 j’ai défini une algèbre "de Hecke" déformant l’algèbre de groupe du normalisateur d’un sous-groupe de réflexions d’un groupe de réflexions complexes. Dans ce travail en cours, nous étudions sa structure. Dans le cas particulier d’un groupe de réflexions réel, nous montrons qu’elle se déduit d’une structure de produit semi-direct au niveau des groupes de tresses associés au groupe de réflexions et à son sous-groupe, respectivement.

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble D :=(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1 qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes. Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

In this talk we will discuss some classical results about the Inverse Galois Problem, such as Hilbert’s irreducibility theorem, the correspondence between Riemann surfaces and extensions of the field of rational functions in one complex variable and, finally, Riemann’s existence theorem.

Dans cet exposé on se propose de rappeler trois constructions classiques de la cohomologie singulière des espaces : une version simpliciale, une version faisceautique et une version homotopique. Des travaux récents de Holstein et Lurie, qui généralisent la correspondance de Riemann-Hilbert, ont mis en lumière des relations très profondes entre l’approche faisceautique et l’approche simpliciale. On présentera ces travaux et si le temps le permet on expliquera comment ces résultats peuvent s’étendre au cadre stratifié et permettent d’envisager une approche homotopique à la théorie des faisceaux pervers.

The present talk is devoted to the notion of identifiability in a spatial model describing the propagation of the chikungunya disease in the framework. This model is a coupling model of reaction-diffusion and ordinary differential equations systems. Some of its parameter values are unknown and must be estimated from some input-output measurements. However, before putting in place an estimation procedure, an identifiability study is required to ensure that the parameter values of the mathematical model can be uniquely inferred from the available measurements. The identifiability study of the chikungunya model is done from an elimination procedure providing relations called input-output polynomials and linking the unknown parameters, the inputs and the outputs of the model. From these polynomials, a numerical procedure is proposed to give a first initial guess of the unknown parameters.

The aim of this talk is to present the existence results for a class of quasi- linear elliptic problems in a two-component domain and L1 data. I will first give the necessary definitions and assumptions, including the defini- tion of a renormalized solution. I will then discuss the sketch of the proof of the existence of a renormalized solution. Our main goal is to perform the homogenization process to this class of equations, so I will also present a very brief introduction to the theory of homogenization.

We will introduce the notion of directional dynamical cubes and directional regionally proximal relation defined via these cubes for a minimal -system. We will see the structural properties of systems that satisfy the so-called unique clsoing parallelepiped property and we characterize then in several ways. Finally, we will completely describe distal -systems that satisfy the unique closing parallelepiped property and provide explicit examples.

Let be a finite quasi-simple group, i.e. is equal to its commutator subgroup, and is simple modulo its center. Now suppose that is embedded into a finite classical group via an absolutely irreducible representation of which is not realizable over a smaller field (than the one underlying ). We discuss the question of when the normalizer of in is a maximal subgroup of . We show that the answer, in general, is positive, if the degree of the embedding of in is as small as possible. This is part of the Aschbacher program for determining the maximal subgroups of the finite classical groups.

On sait développer un réel dans une base entière (base 10, base 2...), mais il est aussi possible de développer un réel en base non entière. Cependant, l’écriture d’un réel dans une telle base n’est pas unique. Dans cet exposé, on présentera une écriture particulière d’un réel en base strictement compris entre 1 et 2 (écriture dite gloutonne, ou greedy). On regardera le développement en base d’un point de vue dynamique, avec l’obtention d’une expression d’une mesure de probabilité invariante et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Ce point de vue peut être généralisé au cas aléatoire, qui permet d’obtenir tous les développements en base d’un réel .

The present talk will be devoted to some fully nonlinear long-wave models. It is always tempting to increase their range of validity by applying the Bona-Smith-Nwogu trick or alike. However, a direct application of this ’enhancement’ procedure usually destroys the Galilean invariance and/or the total mechanical energy conservation properties. In this talk, we shall illustrate how to perform this operation carefully by preserving all fundamental physical properties of the resulting system and achieving the initial goal.

The mod p local Langlands correspondence is well-understood for , but is still very mysterious in other cases. In this talk, I will discuss some results on the mod correspondence for when is a finite unramified extension of , in the context of the Buzzard-Diamond-Jarvis conjecture. This is joint work in progress with Haoran Wang.

The variable exponent spaces have been extensively studied later, together with the effect of their properties on the variable exponent problems. A substantial part of this increased interest is due to the large range of real-life applications that can be generated by such problems. This presentation will shortly refer to these research developments with the mention that it will also touch a less-covered subject, the one of the Robin problems cast on non-smooth domains.

Animals, including humans, are able to learn new spatial locations after a single visit [1,2,4]. This property, also termed one-shot learning, is challenging to capture in artificial agents in biologically realistic set-ups, and its underlying mechanisms are in the focus of ongoing experimental and theoretical research. I will present an approach to modelling spatial learning and navigation of an agent in a circular open field maze, using Temporal Difference learning (TD learning), adapted from [3]. I will discuss the performances of this model and compare them to performances of rodents in the lab. I will then present possible improvements that I have been working on as part of my PhD. [1] Bast, T., Wilson, I. A., Witter, M. P., and Morris, R. G. (2009). PLoS biology. [2] Buckley, M.G. and Bast, T., 2018. Hippocampus. [3] Frémaux, N., Sprekeler, H. and Gerstner, W., (2013), PLoS computational. [4] Steele, R.J. and Morris, R.G.M. (1999). Hippocampus.

Given a finite group and a faithful irreducible -module , such that divides , does have a regular orbit on ? Here, we are particularly interested in the case where is a covering group of an almost simple group whose socle is sporadic : We classify the pairs for which has no regular orbit on , and determine the minimal base size of in its action on .

In the talk, we will give some indications why the above questions are interesting at all, how this kind of classification problem can be attacked from the group theoretical side, and which computational methods are involved in the end. This is joint work with J. Fawcett, E. O’Brien, and R. Wilson.

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti).

In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology, algebraic geometry and differential geometry behave as they "run round" a singularity. As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from "running round singly". It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification ; the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we "run round" a path encircling a singularity. The failure of monodromy can be measured by defining a monodromy group : a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we "run round" in one dimension. Lack of monodromy is sometimes called polydromy.

In this seminar, we deal with a reaction-diffusion boundary-value problem that describes the evolution of allele frequencies at one locus under the action of migration and selection. We also assume no flux of genes across the boundary. The investigations on positive non-constant stationary solutions is a decisive step to explore the dynamics of migration-selection models. Hence, we consider the Neumann problem associated with a second-order nonlinear differential equation with a factored reaction term as a product of a sign-indefinite function and a logistic-type nonlinearity. We discuss how these factors influence the number of positive solutions.

For a a given natural number, what is the probability that a creates k carries when it is added to an another natural number ? To answer this question, we look at the sum-of-digits function and at some sets defined by this function. Of course, everything depends on the base where you are writing numbers. Several articles exist such as Jordan Emme and Pascal Hubert’s one which shows that, in a sense, the probability law tends towards a normal law when a is written in binary. In this talk, we will generalize the beginning of their paper by showing an equivalent of the variance.

La correspondance qui à un groupe fini associe le groupe des unités de son anneau de Burnside est un foncteur de bi-ensembles sur le corps à deux éléments. Démontrer la simplicité de la restriction de ce foncteur aux groupes d’ordre impair équivaut à démontrer le théorème de Feit-Thompson. A défaut d’une telle preuve directe ;-) , j’utiliserai le théorème de Feit-Thompson pour déduire des propriétés de certains foncteurs de bi-ensembles en caractéristique 2.

L’apparition d’une singularité (blow-up ou discontinuité) est bien comprise pour beaucoup de lois de conservation hyperboliques. Elle peut en effet être quantifiée par des arguments de type EDO pour une classe de problèmes incluant l’équation de Burgers généralisée et les équations d’agrégation-diffusion incluant notamment le cas de Keller-Segel parabolique-elliptique 1D. Il est bien plus délicat de comprendre le comportement à petite échelle des couches visqueuses dans des régularisations paraboliques (classiques ou fractionnaires) de ces lois de conservation. Nous donnons des estimées précises pour les normes de Sobolev et nous en déduisons des informations sur les incréments et le spectre d’énergie, quantités pertinentes pour la théorie de la turbulence. De plus, nos résultats sont toujours valables en présence d’un forçage additif aléatoire. A notre connaissance, il s’agit des seules estimées précises de ce type connues à ce jour pour des solutions d’EDP non linéaires à petit paramètre. Le travail sur les équations de type agrégation-diffusion est une collaboration en cours avec Piotr Biler et Grzegorz Karch (Wroclaw) et Philippe Laurençot (Toulouse).