Séminaires en 2009

A la fin des années 80, Happel et Linkelmann ont construit, indépendamment l'un de l'autre, une structure triangulée sur la catégorie stable d'une algèbre symétrique de dimension finie sur un corps. Rickard a ensuite montré que cette structure triangulée pouvait s'obtenir comme quotient de la catégorie dérivée. Dans cette exposé, on montrera comment cet exemple s'inscrit dans un cadre général tant au niveau de la construction de la structure triangulée qu'au niveau de l'obtention à partir de la catégorie dérivée.

Le probleme est de construire des arbres binaires de taille qui soient éloignes vis-à-vis de la distance de rotation, ce qui équivaut à construire des expressions parenthésées à n variables éloignées vis-à-vis du déplacement de parenthèses par associativité, ou encore des triangulations d'un -gone éloignées vis-a-vis de l'échange de diagonales. On presentera la magnifique solution de Sleator-Tarjan-Thurston basée sur la géometrie hyperbolique, qui est optimale mais valable seulement pour grand (non effectif), ainsi qu'une solution combinatoire récente basée sur la notion de séparatrice dans les associaèdres, qui est (pour le moment) non optimale, mais valable pour tout .

Let be a small category and a field. We consider the category algebra and the classifying space . We are interested in the Hochschild cohomology ring and the ordinary cohomology ring . Our main result establishes a split surjection from to , generalizing . As an application, we show there exist finite-dimensional algebras whose Hochschild cohomology rings modulo nilpotents are not finitely generated.

Garside groups are generalisations of the well-known Artin braid groups. Basically, the class of Garside groups captures the fundamental algebraic properties of braid groups and separates them from properties arising from a specific geometrical or topological context. The most fundamental characteristics is the existence of the greedy normal form. I will start by recalling the greedy normal form for braids and by explaining how this idea is abstractly formulated in the Garside group setting. We will then look at some invariants of conjugacy classes which were introduced to solve certain computational problems in Garside groups. In the second part of the talk, we will see that the theoretical properties of these established invariants are in some sense unsatisfactory. This will lead us to the definition of what appears to be a more natural theoretical structure. The presented results are joint work with Juan Gonzalez-Meneses.

Nous demontrons que l'integrale -adique d' Igusa-Weil est aussi la fonction generatrice du nombre de classes dans les groupes classiques. Comme cas particulier nous retrouvons le resultat connu de Satake sur le nombre de classes d'Hermite pour . A titre d'exemple nous traitons le nombre de classes a droite de .(Travail en commun avec Fritz Grunewald).

Le définition de Rouquier des familles de caractères, définies par Lusztig pour les groupes de Weyl, a rendu possible la généralisation de cette notion aux groupes de réflexions complexes ou, plus précisément, aux algèbres de Hecke cyclotomiques associées aux groupes de réflexions complexes. On démontre que les familles de caractères ont la propriété de semi-continuité et dépendent seulement d'une donnée numérique du groupe, ses "hyperplans essentiels". Grâce a cette propriété, on réussit à déterminer les familles de caractères de toutes les algèbres de Hecke cyclotomiques de tous les groupes de réflexions complexes.

Nous décrivons une nouvelle présentation pour les groupes de réflexions complexes de type et leurs groupes de tresses. Un diagramme pour cette présentation est proposé. La présentation est celle d'un monoïde qui se trouve fournir une structure de Garside. Une étude fine de la combinatoire de cette structure conduit à la décrire comme post-classique. (Travail en collaboration avec Ruth Corran.)

Les systèmes de fusion saturés sont des axiomatisations de la structure p-locale d'un groupe fini ou d'une algèbre de bloc. Carles Broto, Ran Levi et Bob Oliver associent à un système de fusion saturé sur un p-groupe fini S, un (S,S)-bi-ensemble caractéristique. Ces bi-ensembles caractéristiques sont raffinés par Ragnarsson à des idempotents caractéristiques dans l'anneau double de Burnside des -bi-ensembles à coefficients p-complétés. Dans cet expose je présente un travail en collaboration avec Kari Ragnarsson, qui donne une nouvelle vision des systèmes de fusion saturés à travers les idempotents caractéristiques. Plus précisément, nous allons voir que tout système de fusion saturé peut être reconstruit à partir de son idempotent caractéristique. De plus, ces derniers sont précisément les idempotents dans l'anneau double de Burnside satisfaisant une certaine relation de type réciprocité de Frobenius. Donc nous obtenons une bijection entre les systèmes de fusion saturés et les idempotents dans l'anneau double de Burnside satisfaisant cette réciprocité de Frobenius.

Une algèbre amassée A est en particulier un anneau commutatif, munie d'une structure combinatoire additionnelle : amas, variables d'amas, etc ... Il est naturel de se demander si A peut être vue comme l'anneau de Grothendieck d'une catégorie tensorielle C, compatible en un certain sens avec la structure amassée. J'expliquerai des exemples de cette situation étudiés dans un travail récent commun avec David Hernandez. Les catégories qui apparaissent sont des catégories de représentations de dimension finie d'algèbres affines quantiques.

In the representation theory of finite groups, the theory of blocks with abelian defect group seems to be the `simplest' case, in that the control of global information by the normalizer of the defect group is at its strongest. In this talk I will discuss some recent progress on the famous conjecture of Broué, and some other recent work on understanding the structure of blocks with abelian defect group.

Saturated fusion systems are categories satisfying important features of fusion in finite groups. Many group-theoretical concepts and results have been translated into the language of fusion systems, and give a starting point for their investigation. We will define minimal fusion systems in a way that every non-solvable fusion system has a section which is minimal. As I will explain, minimal fusion systems can be seen as a generalization of the so called N-groups. These were first classified by Thompson, and his work set a pattern for the classification of finite simple groups. I will report on the current progress of a project, which aims to investigate minimal fusion systems for arbitrary primes, and to classify minimal fusion systems over -groups.