Séminaires en 2021

Le but de cet exposé est de présenter des résultats obtenus en collaboration avec Ansgar Jüngel concernant la construction et l’étude d’un schéma volume fini pour le modèle de diffusion-croisée de Shigesada-Kawasaki-Teramoto (SKT) intervenant en dynamique des populations. Pour cela nous exposerons dans un premier temps une méthode d’entropie permettant d’obtenir des résultats d’existence de solutions faibles positives et globales en temps pour certains systèmes de diffusion-croisée. Puis nous expliquerons comment définir un schéma volume fini pour le modèle SKT préservant cette méthode entropique au niveau discret. Cela nous permettra de prouver l’existence de solutions positives au schéma et sa convergence.

New nonlinear and dispersive equations describing fluid flow in vessels with cylindrical symmetry and viscoelastic walls are derived using asymptotic techniques. The new equations are employed for studies of laminar flow in vessels with non-constant radius. The effects of vessels walls viscoelasticity are also explained.

On s’intéresse aux algorithmes de décomposition de domaines de Schwarz (sans recouvrement) pour le problème de Navier-Stokes incompressible ; on choisit de discrétiser le problème à l’aide de la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui permet de considérer des maillages généraux et de reconstruire à niveau discret les propriétés des opérateurs différentiels continus. On propose des conditions de transmissions appropriées entre sous-domaines pour la vitesse et la pression, qui nous permettent d’établir le caractère bien posé des schémas proposés et la convergence des algorithmes itératifs. On montre comment les flux numériques influencent le problème asymptotique, qui est censé être une discrétisation des équations de Navier-Stokes sur le domaine de calcul entier. Pour terminer, on étudie le comportement de l’algorithme à l’aide de tests numériques.

Lorsqu’on étudie les propriétés ergodiques d’un système, on peut s’intéresser à la dichotomie convergence/divergence des moyennes de Birkhoff pour un ensemble de points de mesure de Lebesgue positive. Dans cet exposé, nous aborderons cette question dans le cas d’un flot linéaire reparamétré sur le tore de dimension , avec deux points d’arrêt. En particulier, nous verrons que le comportement dépend fortement du type diophantien de la pente des lignes de flot. Travail en commun avec Martin Andersson.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la catégorie des représentations lisses d’un groupe p-adique. Une problème naturel est alors de la décomposer en un produit de sous-catégories indécomposables, appelées blocs. Lorsque les représentations sont à coefficients complexes, le théorème de décomposition de Bernstein nous fournit le résultat. Toutefois, lorsque l’anneau des coefficients est , la décomposition en blocs reste mystérieuse. Nous introduirons, pour un groupe réductif fini, la notion de (d,1)-séries. Ces dernières, définies à partir de la théorie de Harish-Chandra et de Deligne-Lusztig, forment une partition des représentations irréductibles. De plus, elles nous permettront d’obtenir la décomposition en l-blocs de la catégorie unipotente d’un groupe p-adique simplement connexe.

In this talk, we study the problem of modelling species interactions in a space that is potentially heterogeneous. After a brief recall on species interactions in ecology and graph theory, we will focus on graphical models, a class of statistical models encoding conditional independence through graphs. Such models are often used in ecological modelling to try to infer species interactions from occurence data. We will use them to build probabilistic models describing colonisation-extinction processes on a spatial network involving several species interacting trough a network. After presenting results on the probabilistic model (dimension reduction using graph orbits), we will study the deterministic approximation and characterize the dynamics analytically in parameter space by introducing the metacommunity capacity concept. Joint work with Wilfried Thuiller, François Munoz, François Massol, Jimmy Garnier and Laurent Vuillon.

Dans cet exposé on s’intéressera aux mesures ergodiques de sous shifts substitutifs et S-adiques. Nous expliquerons les méthodes introduites dans les articles de Bédaride Hilion Lustig afin de décrire ces mesures et leurs nombres.

Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Gustavo Jasso, Sondre Kvamme et Tashi Walde. La correspondance de Hovey permet de construire des structures de modèles sur des catégories abéliennes, ou sur leurs catégories de complexes, à partir d’une simple donnée algébrique. Les catégories homotopiques apparaissant dans la nature (mathématique), par exemple la KK-théorie, ne proviennent pas toujours de catégories de modèles. Ce phénomène est l’une des motivations pour introduire la notion de catégorie de fibrations. Nous montrons une correspondance du type correspondance de Hovey pour les structures de catégorie de fibrations sur les catégories exactes. En application, nous retrouvons des structures triangulées sur certaines catégories quotients apparaissant en théorie des représentations. Le cadre dans lequel nous travaillons est celui des infinies-catégories exactes. Si le temps le permet, je dirai quelques mots à ce sujet.

In this talk, we study the problem of initial data identification for the one-dimensional Burgers equation. This problem consists in identifying the set of initial data evolving to a given target at a final time. Due to the time-irreversibility of the Burgers equation, some target functions are unattainable from solutions of this equation, making the inverse problem under consideration ill-posed. To get around this issue, we introduce a non-smooth optimization problem which consists in minimizing the difference between the predictions of the Burgers equation and the observations of the system at a final time in L^2(R) norm. The two main contributions of this work are as follows. - We fully characterize the set of minimizers of the aforementioned non-smooth optimization problem. - A wave-front tracking method is implemented to construct numerically all of them. One of minimizers is the backward entropy solution, constructed using a backward-forward method.

Récemment Athreya, Lalley, Sapir et Wroten se sont intéressés à l’enchevêtrement des géodésiques d’une surface à courbure négative. Il s’agit de comprendre à quoi ressemble une géodésique de longueur , vue localement dans un voisinage de taille d’un point quelconque de la surface. Dans un travail en commun avec Françoise Pène on retrouve leur résultat principal en appliquant nos travaux sur les processus spatio-temporel de visites aux petits ensembles.

Dans cet exposé, nous nous placerons dans le cadre du trafic piéton et nous présenterons un modèle permettant de décrire la chute de capacité (c’est-à-dire le flux de piétons maximal par unité de temps) d’une sortie de salle lors d’une évacuation. Le modèle repose sur une loi de conservation et la capacité de la sortie est décrite par une contrainte sur le flux, qui est supposée non locale. La chute de capacité se produit pour les hautes densités de piétons exprimant la congestion de la sortie. Par des simulations numériques, nous montrerons que le modèle est capable de reproduire deux effets paradoxales liés à la chute de capacité et qui ont déjà été observés et reproduits expérimentalement : l’effet "Faster-Is-Slower" qui stipule qu’une augmentation de la vitesse des piétons peut entraîner une augmentation du temps d’évacuation, et une variante du "paradoxe de Braess" qui indique que placer un obstacle avant la sortie peut faire diminuer la pression des piétons sur la sortie et entraîner une réduction du temps d’évacuation. Ces travaux sont en collaboration avec Boris Andreianov, Carlotta Donadello et Massimiliano Rosini.

Dans cet exposé j’introduirai d’abord les groupes de Baumslag-Solitar , qui sont les groupes à deux générateurs a et b reliés par la relation . J’expliquerai notamment pourquoi, selon le choix des paramètres entiers et , le groupe peut avoir des propriétés très différentes. J’introduirai ensuite les sous-décalages sur ces groupes : ce sont des ensemble de coloriages du groupe qui respectent des contraintes locales, données par une liste de motifs interdits. On se concentrera sur les sous-décalages de type fini (SFT pour subshifts of finite type), qui sont ceux qui peuvent être décrits par un nombre fini de motifs interdits, et que l’on peut également représenter à l’aide de tuiles de Wang. Je présenterai enfin un survol des résultats en dynamique symbolique sur ces groupes : indécidabilité du problème du domino (peut-on décider si un SFT est vide ou non ?), existence de sous-décalages apériodiques notamment. Exposé basé sur des travaux avec Jarkko Kari et avec Michael Schraudner.

Dans cet exposé on va introduire les foncteurs admissibles de présentation finie mod_adm(E) pour une catégorie exacte . En particulier, on caractérise les catégories exactes de la forme mod_adm(E), et on démontre qu’elles ont des propriétés similaires aux catégories des modules d’une algèbre d’Auslander. Pour une catégorie additive idempotents-complète, on utilise aussi cette construction pour démontrer que les structures exactes sur correspondent à certaines sous-catégories résolvantes dans mod(C). Ceci est un travail en collaboration avec Ruben Henrard et Adam-Christiaan van Roosmalen.

We propose a simple model for a two-phase flow with a diffuse interface. The model couples the compressible Navier-Stokes system governing the evolution of the fluid density and the velocity field with the Allen-Cahn equation for the order parameter. We show that the model is thermodynamically consistent, in particular, a variant of the relative energy inequality holds. As a consequence, we show the weak-strong uniqueness principle, meaning any weak solution coincides with the strong solution emanating from the same initial data on the life span of the latter. Such a result plays a crucial role in the analysis of the associated numerical schemes. The weak-strong uniqueness principle allows us also to perform the low Mach number limit obtaining the standard incompressible model.

On construira des laminations transversalement Cantor sur des espaces compacts définies par des actions libres et minimales de groupes résolubles ayant les deux propriétés suivantes : les relations d’équivalence orbitales ne sont pas affables et les orbites n’ont pas le type de quasi-isométrie d’un groupe de type fini. C’est un travail en collaboration avec Álvaro Lozano Rojo et Matilde Martínez.

Les concepts de vortex et source d’un module indécomposable sont fondamentaux pour la théorie modulaire des représentations de groupes. Les résultats clefs sont le lemme de Higman et la correspondance de Green. Pour cette dernière Carlson, Peng et Wheeler ont montré qu’elle est la restriction d’une paire de foncteurs adjoints entre certains catégories triangulées à certaines sous-catégories additives. Puis, Auslander et Kleiner ont élargi le cadre de correspondance de Green aux paires de foncteurs adjoints entre catégories additives. Dans cet exposé je vais étudier les concepts de vortex, projectivité relative à un sous-groupe, et correspondance de Green au cadre de paires adjointes de foncteurs entre catégories triangulées.

First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.

L’objectif est d’aborder les notions probabilistes utilisées dans l’article. On commencera par des rappels sur les espaces de probabilités, les variables aléatoires et les lois associées avant de s’intéresser succinctement à la notion d’espaces de probabilités standards.

Les foncteurs de Mackey ont suscité beaucoup d’intérêt en théorie des groupes finis en particulier. Dans cet exposé, nous allons présenter la notion de foncteur de Mackey pour un groupe profini en nous basant sur des travaux de Blei-Boltje, de Dress-Siebeneicher et de Nakaoka, et discuter de quelques aspects intrigants de ces foncteurs.

Dans cette présentation je montrerai quelques résultats autour de l’équation de Lifshitz-Slyozov. J’expliquerai comment cette équation de transport couplée à une loi de conservation intégrale, qui prend ses origines dans des problèmes de physique statistique, a été amenée à être reconsidérée en prenant en compte une condition de bord pour ses applications à la biologie. Après une introduction sur ces aspects de modélisation, je parlerai des limites d’échelles qui permettent de « trouver » la condition de bord. Puis, je montrerai par un traitement des courbes caractéristiques comment construire une solution et en extraire certaines informations. Je terminerai par quelques questions ouvertes.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment l’utilisation de techniques d’analyse fonctionnelle peut permettre d’analyser la croissance asymptotique des degrés des itérés d’une application rationnelle de l’espace projectif de dimension . Les éléments présentés seront issus d’un travail en commun avec Charles Favre.

Soit un groupe réductif réel ou -adique. Un objet important de la théorie des représentations de est le « dual tempéré » de — l’ensemble des classes d’équivalence de représentations irréductibles tempérées de . Ce dual tempéré est naturellement muni d’une topologie. Pour la décrire, la stratégie la plus classique est de passer par l’étude de la -algèbre réduite. Les composantes connexes du dual tempéré apparaissent comme les spectres de certains « blocs » de cette -algèbre. Pour les groupes réductifs réels, A. Wassermann a montré en 1987 que ces blocs ont tous, à Morita-équivalence près, une structure très belle et très simple qui encode les phénomènes de réductibilité des représentations induites. Ce résultat lui permit de vérifier la conjecture de Baum-Connes-Kasparov pour les groupes réductifs réels, et révéla l’existence d’une structure géométrique très simple pour chaque composante connexe du dual tempéré. Pour les groupes -adiques, l’existence d’une structure analogue ne va pas du tout de soi. Elle a été établie, pour certains exemples de blocs simples de groupes simples, par R. Plymen et ses étudiants. Je présenterai un travail avec Anne-Marie Aubert qui (1) donne une condition nécessaire et suffisante, en termes des R-groupes de Knapp-Stein-Silberger, pour l’existence d’un théorème de structure « à la Wassermann », et (2) détermine explicitement les composantes qui vérifient cette condition pour les groupes symplectiques, orthogonaux ou unitaires sur un corps p-adique.

Dans cette présentation, nous nous intéressons à l’évolution d’un pathogène, qui libère des spores afin de contaminer des populations de vignes. Ces spores sont elles-mêmes structurées en trait phénotypique, permettant au pathogène de muter en changeant de trait. De ce modèle d’épidémiologie évolutive ainsi obtenu, nous discutons dans un premier temps l’existence d’équilibre endémique. Puis, en introduisant un petit paramètre ε caractérisant la variance du noyau de mutation, nous décrivons la forme asymptotique des équilibres, selon ε. En particulier, nous montrons que la distribution des spores converge vers une mesure de Dirac concentrée autour du maximum d’une fonction de fitness du pathogène, pour chacune des populations de vignes. De cette description asymptotique, nous déduisons un résultat d’unicité pour l’équilibre endémique, à l’aide d’un argument de degré topologique.

L’existence de neurones spécifiques, appelées cellules de grille, permettant à un mammifère de cartographier l’espace dans lequel il évolue, a été mise en évidence en 2005 par Hafting, Fyhn, Molden, Moser et Moser pour lesquels ils ont reçu le Prix Nobel de Physiologie ou Médecine en 2014. Chez les rats, ces neurones s’allument sur un réseau triangulaire (aussi appelé hexagonal) lors de leur déplacement. Dans cet exposé, j’expliquerai tout d’abord comment définir l’erreur d’encodage de l’information transitant dans le cerveau à partir de ces neurones. Le modèle présenté est basé sur une distribution spatiale Gaussienne périodique (sur un réseau) de l’information ainsi que sur l’hypothèse que les neurones sont indépendants et suivent une loi de Poisson. L’erreur d’encodage sera exprimée en terme de fonctions thêtas du réseau, solutions de l’équation de la chaleur sur le tore plat. Après avoir expliqué les différentes propriétés connues de ces fonctions thêtas - travaux en collaboration avec Mircea Petrache (UPC Chili) et Hans Knüpfer (Université de Heidelberg) -, différents éléments théoriques et numériques concernant la minimalité de l’erreur d’encodage pour le réseau triangulaire seront exposés. Mots-Clés : Mathématiques Biologiques, Neuroscience, Calcul des Variations, Energies de réseaux, Théorie de l’Information, Equation de la chaleur, Optimisation.

Finite topological rank systems is a class of minimal subshifts that are a generalization of substitutive subshifts and that includes many of the classical minimal systems of zero entropy (e.g. interval exchanges, linearly recurrent subshifts and some Toeplitz sequences). In this talk I am going to present recent results concerning automorphisms and factors of systems of finite topological rank and discuss some of the related open problems.

Dans cet exposé, nous discuterons la notion d’homotopie entre espaces topologiques : une définition propre de ce qu’est une "déformation continue". Pour étudier cette relation, nous introduirons dans un premier temps le groupe fondamental et les groupes d’homotopie supérieurs d’un espace. Une classe spéciale d’espaces (les CW-complexes) sur laquelle les groupes d’homotopie caractérisent l’homotopie sera également décrite. Dans un second temps, nous définirons les fibrations de Serre, qui sont un analogue des suites exactes courtes dans le monde topologique. A une telle fibration est attachée une suite exacte longue d’homotopie, un puissant outil de calcul. On en déduira en particulier qu’une fibration de Serre à fibres contractile est une équivalence faible d’homotopie, un résultat important pour la suite.

Les ensembles ordonnés de Tamari possèdent une symétrie cachée : leur catégorie dérivée est Calabi-Yau fractionnaire, c’est-à-dire qu’une certaine puissance du foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage. La première démonstration de ce résultat repose sur l’existence d’une famille d’objets indécomposables sur laquelle on comprend bien l’action du foncteur de Serre. Cette famille est très jolie, mais sa construction est assez technique, elle se base sur trois objets combinatoires : les arbres non-croisés, les `intervalle-posets’ de Châtel et Pons et les intervalles exceptionnels dans les ensembles ordonnés de Tamari. Dans cet exposé, je vais présenter les premières étapes d’une nouvelle démonstration qui se basera sur la théorie des représentations des algèbres de carquois. Cela devrait donner une démonstration plus conceptuelle qui se généralisera à d’autres familles d’ensembles ordonnés.

Nous considérons l’équation de Schrödinger (stationnaire) non-linéaire dans le demi-espace avec des conditions au bord du type Dirichlet non-homogènes. Nous analysons l’existence, la non-existence et la multiplicité de solutions bornées, régulières et positives. Nous montrons que l’existence et la multiplicité dépendent de manière décisive de la valeur au bord et aussi de la dimension. Le séminaire est basé sur un travail en collaboration avec Tobias Weth.

Renormalisation is a main focus of the theory of one-dimensional complex dynamics. It is connected to the central conjectures on the density of hyperbolicity and the local connectivity of the Mandelbrot set. For quadratic polynomials, there are two different types of renormalisations — primitive and satellite types. The primitive renormalisation has been successfully studied over the past few decades; the corresponding maps exhibit tame dynamical behaviour. The satellite type has a very different nature and remained mostly mysterious until recently. In this talk, we discuss the wide range of possibilities for the dynamics in presence of infinitely many satellite renormalisation structures.

In this talk, the configuration space of marked points on the complex plane is considered. We investigate a decomposition of this space by so-called Gauss-skizze i.e. a class of graphs being forests. These Gauss-skizze, reminiscent of Grothendieck’s dessins d’enfant, provide a totally different real geometric insight on this complex configuration space, which under the light of classical complex geometry tools, remains invisible. Topologically speaking, this stratification is shown to be a Goresky–MacPherson stratification. We prove that for Gauss-skizze, classical tools from deformation theory, ruled by a Maurer—Cartan equation can be used only locally. We show as well, that the deformation of the Gauss-skizze is governed by a Hamilton—Jacobi differential equation. Finally, a Gauss-skizze operad is introduced which can be seen as an enriched Fulton—MacPherson operad, topologically equivalent to the little 2-disc operad. The combinatorial flavour of this tool allows not only a new interpretation of the moduli space of genus 0 curves with n marked points, but gives a very geometric understanding of the Grothendieck—Teichmuller group. 1er avril 2021

Dans leur papier de 2015, Dolbeault, Esteban et Loss ont démontré la symétrie des maximiseurs de l’inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg en dehors de la zone de Felli-Schneider à l’aide de flots et d’entropies (généralisées) bien choisis. Un des points importants de leur approche est que l’inégalité de CKN peut être vue comme une inégalité de Sobolev dans une variété à poids. On exploite ce fait, ainsi que l’équivalence classique entre l’inégalité de Sobolev sur l’espace euclidien et sur la sphère à travers la projection stéréographique, afin de démontrer d’autres inégalités sur des variétés à poids. C’est une jolie (et nouvelle) application de la méthode de Bakry-Émery. (Travaux en cours avec Louis Dupaigne et Ivan Gentil (ICJ, Lyon))

La dynamique des populations d’agents pathogènes qui envahissent de nouvelles régions reste une préoccupation majeure pour les biologistes et les mathématiciens. Des recherches approfondies sont principalement menées par le biais de la modélisation mathématique pour reconstruire la dynamique passée de l’espèce exotique. Dans cet exposé, nous présentons une approche mécanistico-statistique permettant de dater et de localiser l’invasion d’une espèce exotique et de décrire d’autres paramètres épidémiologiques comme par exemple, le paramètre de diffusion, de reproduction et de mortalité. L’approche utilisée est basée sur (i) un sous-modèle couplé réaction-diffusion-absorption qui décrit la dynamique des épidémies dans un domaine hétérogène et (ii) un sous-modèle stochastique qui représente le processus d’observation. Ensuite, nous estimerons conjointement les conditions initiales (date et site) et les paramètres épidémiologiques en utilisant un cadre Bayésien par le biais d’un algorithme d’ échantillonnage ’adaptive multiple importance sampling algorithm’. Nous montrerons les résultats obtenus dans ce cadre sur la base d’abondantes données post-introduction recueillies pour établir un plan de surveillance de l’expansion de Xylella fastidiosa, une bactérie phytopathogène détectée en Corse du Sud en 2015. Néanmoins, cette approche pourrait être appliquée à d’autres espèces post-émergentes afin de favoriser une réaction rapide.

Rank one systems are a class of dynamical systems arising in the late 60’s and form a rich class of examples and counter-examples in ergodic theory. Notably, the Chacon map was the first known example of a weakly mixing transformation which is not mixing. However, a complete classification of their dynamical properties still remains open. From the topological dynamics viewpoint, we consider symbolic models of rank one systems. In this talk, we will discuss dynamical properties of symbolic rank one systems such as mixing, the existence of continuous and measurable eigenvalues, topological factors and the topological rank.

Les complexes simpliciaux sont utilisés en topologie algébrique pour le calcul d’invariants. Nous commencerons par une présentation géométrique de cette notion avant d’adopter un point de vue ensembliste avec les complexes simpliciaux abstraits. À cette donnée combinatoire, on associe un espace topologique : sa réalisation géométrique. Nous présenterons également une autre réalisation issue de la théorie des probabilités. Nous terminerons cet exposé en essayant de comparer le type d’homotopie de ces espaces topologiques. Pour cela, nous considérerons l’application naturelle qui a une variable aléatoire associe sa loi de probabilité.

I will talk about alternative viewpoints on "local compactness". Many examples motivate contemplating this concept further. For example, there is a proof of Riemann-Roch for algebraic curves over a finite field using Poisson summation on the adèles. The underlying Haar measure only exists if the adèles are locally compact. This is true if (and only if) the base field is finite. But Riemann-Roch works over all fields. Can this proof be generalized to all fields ? Or, in 1968, Tate gave a coordinate-independent definition of the residue of a -form on algebraic curves. To avoid coordinates, he uses a locally linearly compact topology. Beilinson generalized this to all dimensions, but the topology gets replaced by a more involved concept (essentially iterated Tate categories). This suggests to analyse more deeply how local compactness enters into these constructions and how this can be generalized. I will give a vaguely historical introduction to this circle of ideas and some recent developments.

In this talk, I will demonstrate our approach towards constructing a slightly regularized version of the hyperbolic system of nonlinear shallow water equations. The particularity of our approach is that we succeed in regularizing solutions without introducing nor dispersion neither dissipation into governing equations. Moreover, the regularized system formally possesses the energy conservation law as long as a Hamiltonian formulation (though, a non-canonical one). The obtained system was shown to possess cusped travelling waves. The numerical behaviour and mathematical properties of the derived system will be highlighted within the limits of our current understanding. More precisely, the local well-posedness theory seems to be complete and the energy dissipation mechanism for weakly singular solutions seems to be equally understood. The latest developments over general (but smooth) bottoms will be presented as well. This work was done in collaboration with Professors D. Clamond, D. Mitsotakis and R. Pego.

Dans cet exposé, motivé par l’étude de triangulations équivariantes des tores maximaux des groupes de Lie, par rapport à l’action du groupe de Weyl, on s’intéresse au cas général des groupes de Coxeter finis et l’on définit, pour ces groupes, des variétés qui jouent le rôle de tores. Dans un premier temps, nous verrons comment construire explicitement une triangulation équivariante d’un tore maximal d’un groupe de Lie compact. Nous utilisons naturellement le vocabulaire des données radicielles et l’alcôve fondamentale (ou une subdivision) pour y parvenir. La combinatoire obtenue a un sens pour tout groupe de Coxeter fini irréductible ; il est donc naturel de se demander s’il s’agit d’une information géométrique. Dans un second temps, on définit des extensions des groupes non cristallographiques, qui jouent le rôle de groupe affine, mais qui sont en réalité hyperboliques compacts. En considérant un sous-groupe convenable de l’extension, on construit une variété compacte hyperbolique et une triangulation donnant le complexe souhaité, qui prolonge le cas des groupes de Weyl. Nous terminerons en donnant quelques propriétés de ces variétés et notamment leur représentation d’homologie.

Dans cet exposé, nous étudions une classe de problèmes d’évolution dissipatifs, déterminés par des réseaux complexes de systèmes de réaction-diffusion. Après avoir présenté des conditions qui garantissent l’existence de solutions globales, nous montrons que la dynamique asymptotique en temps long de ces réseaux complexes peut être décrite par une famille d’attracteurs exponentiels et donnons plusieurs estimations de leur dimension fractale. Des conditions suffisantes de synchronisation du réseau sont également discutées. Nous nous intéressons enfin à plusieurs applications de cette classe de problèmes, avec entre autres un modèle de comportements humains et un modèle d’espèces en compétition vivant en habitat fragmenté.

La dimension moyenne métrique a été introduite et étudiée par Lindenstrauss et Weiss (2000) comme un analogue dynamique de la dimension de Minkowski. Dans cet exposé, je discuterai plusieurs principes variationnels pour la dimension moyenne métrique en termes d’entropie locale.

Je présenterai l’étude de la limite singulière d’une équation d’Allen-Cahn stochastique avec un terme de diffusion non linéaire. On considère le cas d’un bruit régulier qui est la dérivée d’un mouvement brownien approché. On démontre que le problème limite fait intervenir le mouvement par courbure moyenne stochastique, en étendant des résultats d’Alfaro, Antonopoulou, Karali et Matano qui, à leur tour ont étendu les résultats de Funaki et Weber. Je présenterai tout d’abord une preuve pour la génération de l’interface et ensuite un résultat de mouvement d’interface en construisant des sous et sur-solutions adaptées. Ce travaille a été effectué en collaboration avec Danielle Hilhorst, Yong Jung Kim et Hyun Joon Park.

We show that a topologically mixing Anosov flow on a dimensional compact manifold is exponential mixing with respect to any equilibrium measure with Holder potential. This is a joint work with Masato Tsujii.

In this talk, we will discuss about the contractibility of the group of automorphisms of a nonatomic probability space. This result is due to Michael Keane. One interesting point is that he uses an argument from the study of dynamical systems : Poincaré’s recurrence theorem. In a first part, through examples, we will introduce some basic questions and properties in dynamics. We will also take a closer look at Poincaré’s result. In a second part, we will see in details the proof of Keane’s theorem. In particular, we will see how Poicaré’s statement is used and how we build our homotopy for the contractibility.

Une structure projective sur une surface fermée est une structure géométrique modelée sur la sphère de Riemann, dont les changements de cartes sont des transformations de Möbius. On s’intéresse aux structures projectives branchées, c’est-à-dire avec des singularités coniques d’angles multiples de . Le but de cet exposé est de présenter une caractérisation des représentations d’un groupe de surface fermée dans qui sont l’holonomie d’une structure projective branchée dont la combinatoire de branchement est fixée.

L’histoire des méthodes numériques d’intégration en temps de problèmes d’évolution remonte au moins aux travaux de Runge et Kutta au début du siècle précédent, si ce n’est à Euler lui-même. Le formalisme des méthodes à un pas consiste à construire, à partir d’une approximation de la solution exacte du problème au temps , une approximation de la solution exacte au temps . Ces méthodes, quand elles sont implicites, conduisent à la résolution a chaque étape d’un système d’équations, en général non linéaire. Avec Ingrid Lacroix-Violet, nous avons développé une classe de méthodes linéairement implicites, c’est-à-dire pour lesquelle le calcul de à partir de ne recquiert que la résolution d’un système linéaire (même si l’équation d’évolution est, elle-même, non linéaire). De plus, nous avons analysé l’ordre de ces méthodes et proposé des moyens de construire de telles méthodes d’ordre arbitrairement élevé. L’enjeu de cet exposé est de présenter la construction et l’analyse de ces méthodes, dont on montrera également que certaines permettent de traiter des EDP d’évolution ainsi que leurs discrétisations en espace, en prenant pour exemple des équations de la chaleur et de Schrodinger non linéaires.

Nous verrons comment la théorie de Doeblin-Harris pour l’étude des semi-groupes de Markov peut-être étendue au cadre non-conservatif via une technique de renormalisation d’inspiration probabiliste. Cette méthode permet d’obtenir des résultats quantitatifs de type Krein-Rutman pour des EDP linéaires qui préservent la positivité. Nous illustrerons le résultat général sur des équations non-locales qui apparaissent en dynamique des populations.

Filamentous fungi form a very large family of species that play an important role in different ecosystems. In this talk, we will present a stochastic bi-type growth-fragmentation model for the expansion of the network of filaments of a filamentous fungus. Motivated by the identification of simple descriptors that characterize the growth of the network, we will study the longtime behaviour of the corresponding mean measure (or first moment semigroup). In addition, we will obtain a law of large numbers that relates the long term behaviour of the stochastic process to the limiting distribution of the mean measure. In the particular model we consider, which depends on only parameters, all the quantities needed to describe this asymptotic behaviour are explicit, which paves the way for parameter inference based on data collected in lab experiments. The talk is based on a joint work with V. Bansaye (CMAP) and A. Véber (MAP5) and it is part of the NEMATIC project on "Growing and branching networks: Analysis, modelling and simulation of multiscale spatial exploration, spreading and morphogenesis under constraints". In particular, when it comes to the understanding of the mechanisms of growth of the mycelial network and to modelling choices, we profited from the interactions with F. Chapeland-Leclerc, G. Ruprich-Robert et E. Herbert (LIED, Univ. de Paris).

An important task in computational group theory is the construction of small bases of finite permutation groups. Halasi and Maróti have shown that under favorable conditions there always exists a base of size 3. In my talk I will introduce a generalized base for every abstract finite group without the presence of a group action. These bases are instead attached to a prime p. Building on Halasi-Maroti’s result, I showed that every p-solvable group has such a generalized base of size 3. I will also put forward a new conjecture on the existence of small generalized bases.

Dans cet exposé, je montrerai que les applications puissances, les applications de Tchebychev et les exemples de Lattès sont les seules fractions rationnelles quadratiques dont tous les multiplicateurs sont dans l’anneau des entiers d’un corps quadratique imaginaire donné. En particulier, ceci donne une réponse positive à une question de Milnor dans le cas des fractions rationnelles quadratiques.

Dans cet exposé, nous conclurons ce groupe de travail en donnant les idées expliquant pourquoi l’application , qui à une variable aléatoire associe sa loi de probabilités, est une fibration de Serre. Après avoir rappeler le contexte, nous commencerons par traiter le cas plus simple où l’ensemble à partir duquel on forme notre complexe simplicial est de cardinal 2. Puis, nous regarderons aussi les arguments lorsque est de cardinal fini quelconque ou même infini. Enfin, nous en déduirons que est une équivalence faible homotopique.

Dans le cadre de la théorie duale des groupes de Coxeter, nous étudions les groupes d’intervalles associés aux éléments de quasi-Coxeter dans un groupe de Coxeter fini. Nous identifions si ces groupes d’intervalles sont des groupes de Garside. Nous établissons aussi des présentations de ces groupes en utilisant les diagrammes de Carter admissibles. Cela nous permet d’obtenir de nouvelles présentations de certains groupes d’Artin et d’identifier les groupes d’intervalles qui sont isomorphes aux groupes d’Artin associés.

Après avoir brièvement rappelé le contexte des modèles multi-agents, nous mettrons en évidence l’importance du caractère non symétrique du système permettant d’identifier la valeur du consensus, puis d’obtenir le taux optimal (pour une donnée initiale quelconque) de convergence exponentielle vers ce consensus.

D’après la théorie classique, une perturbation suffisamment petite d’un système hamiltonien intégrable non-dégénéré admet une collection de tores invariants, dont la dynamique restreinte est conjuguée à celle d’une rotation par un vecteur diophantien. Dans cet exposé nous discuterons le problème inverse suivant : dans quelle mesure les systèmes perturbés sont déterminés par leurs collections de tores invariants associés ? Nous prouverons que cette collection caractérise complètement le hamiltonien perturbé et nous montrerons certaines des implications dynamiques sur les systèmes dont ses collections de tores invariants partagent certaines caractéristiques communes.

Constant-shape substitutions are a multidimensional generalization of constant-length substitutions which have been extensively studied in the past years (criteria of ergodicity, entropy, mixing and spectral properties). In this talk we will present some recent results about the normalizer group of substitutional dynamical systems generated by constant-shape substitutions, which is a group extension of the automorphism group of a topological dynamical system, and some other related results such as rigidity properties of these homomorphisms.

La planification et la gestion des réseaux de distribution d’électricité a pour objectif l’acheminement de l’électricité depuis le réseau de répartition jusqu’aux consommateurs, tout en garantissant un bon niveau de qualité, de sécurité et un coût le plus bas possible. La meilleure stratégie de gestion peut alors être vue comme la solution d’un problème d’optimisation, où l’on cherche à minimiser une fonction représentant un objectif économique ou technoéconomique, sous certaines contraintes physiques du réseau. Cet exposé sera divisé en deux parties. Dans la première partie, on présentera deux problèmes d’optimisation issus de la modélisation macroscopique du réseau, dans laquelle la spatialité du réseau n’est pas considérée. Ensuite on proposera un algorithme de type fenêtre glissante permettant de réduire le temps de calcul. Dans la deuxième partie, on étudiera un problème d’optimisation issu de la modélisation microscopique du réseau où la topologie du réseau est décrite de manière réaliste. Ce problème est non-convexe et donc très difficile à résoudre. On propose alors une relaxation convexe de ce problème après l’avoir écrit sous forme matricielle. On démontre deux résultats portant sur les conditions pour que cette relaxation soit exacte.

In representation theory, double centraliser property is an important property for a module (bimodule), it plays a fundamental role in many theories. In this paper, we further introduce this property to complexes in derived categories of finite dimensional algebras, we called derived double centraliser property. Characterizations for complexes with the derived double centraliser property in derived categories of hereditary algebras are given. In particular, all complexes with such property in derived categories of upper triangular matrix algebras are classified.

Jasmin Raissy : "Une approche géométrique aux courbes paraboliques" (résumé : la dynamique d’un germe de fonction holomorphe tangente à l’identité au voisinage de l’origine est bien comprise en dimension , grâce au Théorème de la fleur de Leau-Fatou. La situation en dimension supérieure est plus délicate. Je présenterai les généralisations connues du Théorème de la fleur de Leau-Fatou aux germes holomorphes tangents à l’identité en plusieurs variables complexes, où les pétales sont remplacés par des courbes paraboliques. En particulier, je présenterai une preuve plus géométrique des résultats fondamentaux obtenus par Écalle et Hakim sur l’existence des courbes paraboliques. Cette approche permet de donner des développements asymptotiques pour la paramétrisation des courbes paraboliques dans un voisinage donné du point fixe. Ce travail est en commun avec Xavier Buff). Laurent Niederman : "Trajectoires co-orbitantes quasi-périodiques dans le problème des trois corps planétaires" (résumé : les trajectoires des satellites Janus et Epimetheus autour de Saturne sont parmi les plus curieuses du système solaire. Ces satellites échangent leurs orbites tous les quatre ans. On donne une preuve rigoureuse de l’existence d’orbites quasi-périodiques (donc stables) avec cette propriété d’échange dans le problème des trois corps grâce à la théorie . Travail en collaboration avec Philippe Robutel et Alexandre Pousse). Dominique Schneider : "Vitesse de convergence dans le théorème ergodique : est-elle une valeur critique ?" (résumé : soit un espace probabilisé. Soit une application mesurable qui préserve la mesure , i.e. , . Le quadraplet est appelé Système Dynamique. On peut ainsi définir sur une isométrie par , pour . Plus généralement, sera une contraction de . On se donne l’échelle d’ordre de grandeur pour . \textbf{But} : trouver des conditions sur la paire , où où est la tribu engendrée par les fonctions fixes sous l’action de , afin d’avoir . Nous discuterons le cas . Travail en collaboration avec Romuald Ernst). François Béguin : "Un exemple de dynamique non-uniformément hyperbolique issu de la Relativité Générale" (résumé : les espaces-temps spatialement homogènes sont des modèles simplifiés de l’Univers en Relativité Générale. L’évolution temporelle de la géométrie de ces espace-temps est décrite par le flot d’un champ de vecteurs en dimension . Ce champ de vecteurs possède un attracteur étrange que l’on pourrait décrire informellement comme ≪ une pelote infinie de connections de selles, avec une dynamique non-uniformément hyperbolique ≫. Je décrirai ce système, ce qui est connu et ce qui est conjecturé sur sa dynamique, ainsi que les liens avec une vieille conjecture de Relativité Générale affirmant que ≪ la géométrie des espaces-temps génériques oscille de manière chaotique quand on se rapproche de leur singularité initiale (Big-Bang) ≫).

La planification et la gestion des réseaux de distribution d’électricité a pour objectif l’acheminement de l’électricité depuis le réseau de répartition jusqu’aux onsommateurs, tout en garantissant un bon niveau de qualité, de sécurité et un coût le plus bas possible. La meilleure stratégie de gestion peut alors être vue comme la solution d’un problème d’optimisation, où l’on cherche à minimiser une fonction représentant un objectif économique ou technoéconomique, sous certaines contraintes physiques du réseau. Cet exposé sera divisé en deux parties. Dans la première partie, on présentera deux problèmes d’optimisation issus de la modélisation macroscopique du réseau, dans laquelle la spatialité du réseau n’est pas considérée. Ensuite on proposera un algorithme de type fenêtre glissante permettant de réduire le temps de calcul. Dans la deuxième partie, on étudiera un problème d’optimisation issu de la modélisation microscopique du réseau où la topologie du réseau est décrite de manière réaliste. Ce problème est non-convexe et donc très difficile à résoudre. On propose alors une relaxation convexe de ce problème après l’avoir écrit sous forme matricielle. On démontre deux résultats portant sur les conditions pour que cette relaxation soit exacte.

From every Anosov flow in dimension it is possible to construct infinitely many others via Dehn-Goodman-Fried surgery. Similarly to the theorem of Lickorish-Wallace stating that any (closed orientable and connected) -manifold is obtained by Dehn surgeries on the -sphere, conjecturally the same thing happens for (transitive with orientable foliations) Anosov flows in dimension . Motivated by this question, in a joint article with C.Bonatti we propose a dynamical game on the plane as a means to understand the foliations of an Anosov flow after surgery. In this talk, I will introduce this dynamical game on the plane together with some interesting questions around it and their relation with Anosov flows in dimension .

Nous considérons différentes classes de graphes, des plus généraux à ceux induits par une fonction, sur différents types d’espaces topologiques. Notre question centrale est de savoir quand un tel graphe admet un coloriage continu à deux couleurs. Pour l’étudier, il est important de pouvoir comparer ces graphes, ce qui se fait par le biais des quasi-ordres induits par soit les homomorphismes continus, soit les homomorphismes injectifs continus. Nous donnons des propriétés structurelles de ces quasi-ordres. Nous verrons que les systèmes dynamiques discrets apportent de nombreuses informations intéressantes pour y parvenir. En particulier, cette analyse précise la position de la relation d’équivalence de conjugaison des homéomorphismes minimaux du Cantor.

Je présenterai quelques problèmes importants de dynamique arithmétique en expliquant d’où ils tirent leurs formulation et j’expliquerai quelles solutions partielles apportées à ces problèmes.

In this presentation, I will review modeling and data analysis for the female reproductive system, putting emphasis of the intrinsic multiscale nature of this system. At the anatomical level, model efforts have been put to model the temporal fluctuations of the main key players of the reproductive neuro-endocrine system, based on delayed or stochastic differential equations. At the tissular and cellular level, I will present several population dynamical models applied to ovarian follicles development in mammals. The ovarian follicles are the basic anatomical and functional units of the ovaries. One ovarian follicle consists of a population of somatic cells sheltering the germ cell. Deterministic and stochastic structured population dynamics are thus natural object to describe the growth of the somatic cell population inside an ovarian follicle, thereby giving tools to understand the dynamics of follicle growth and maturation. Then, I will present a multiscale model describing the evolution of the population of follicles within the ovaries, focusing on the interactions between follicles all along the reproductive life. This model is a first step and is intended to be further enriched taking into account both dynamics at the anatomical and intra-cellular level. We performed a model reduction based on a separation of time scale, and show qualitative adequacy with biological data of our reduced model.

La dynamique topologique des feuilletages est bien développée. Il y a un analogue d’orbite périodique, d’ensemble limite, de récurrence, et même d’entropie topologique, d’après les travaux de Ghys, Langevin et Walczak. Cette entropie mesure l’écartement des feuilles d’un feuilletage dans la direction transverse. Il n’en est pas de même de la théorie ergodique des feuilletages. En particulier, il n’existe pas de version satisfaisante d’entropie mesurée pour les feuilletages, et on a peine à imaginer une façon de détecter la séparation des feuilles à l’aide de mesures (qu’elles soient harmoniques, ou invariantes par certaines dynamiques tangentes aux feuilles). Par exemple est-il possible d’obtenir un principe variationnel pour les feuilletages ? Dans cet exposé, je discuterai une approche réalisée avec Jiagang Yang (UFF, Niteroi) pour attaquer ce problème.

In this talk we will discuss a class of affine algebraic varieties associated with positive braids, their cluster structures and their relation to open Bott-Samelson varieties. I will begin by explaining our motivation which comes both from symplectic topology and from the study of link invariants such as HOMFLY-PT polynomials. Then we will discuss how the study of differential graded algebras associated with certain Legendrian links turns out to be related to the algebraic geometry of Richardson varieties in type A. I will illustrate our results and conjectures concerning this interplay between topology and algebraic geometry with the example of open positroid varieties in Grassmannians. If time permits, I will briefly explain conjectural links between certain stratifications of braid varieties and cluster structures on their coordinate rings. This is joint work with Roger Casals, Eugene Gorsky, and José Simental.

En profitant du contexte des "Population Balance Equations" ou bien visant le cas particulier des équations de la coagulation-fragmentation on voudra commenter et réviser quelques aspects en rapport avec les lois de conservation hyperboliques, notamment l’approximation par des zéro-limites visco-capillaires. On portera une attention particulière sur l’approche quasi-linéaire des équations de coagulation, non-locales, de Smoluchowski.

La théorie de la dimension permet de décrire la taille des espaces métriques et de mesures. Dimension de Hausdorff, de recouvrement, de paquets, et des quantités analogues locales et globales pour les mesures, donnent plusieurs définitions de la dimension qui coïncident sous certaines conditions de régularité. Qu’en est-il des espaces de dimension infinie ? Quelle quantité remplace la dimension ? Nous proposons la notion d’échelle qui englobe contient une partie importante de la théorie de la dimension et de plus permet de définir des quantités analogues aux dimensions citées précédemment, puis de comparer ces différentes définitions entre elles. En particulier, la théorie des échelles permet de calculer la taille et la régularité au sens des échelles de certains espaces de fonctions différentiables ou encore du mouvement Brownien.

The aim of this talk is to introduce some notions in the study of a function’s dynamics. Through the example of the map on [0,1] parametrized by in [0,1], we will discuss about Feigenbaum’s parameters. This will bring us to talk about hyperbolicity and to see what happens in this case. Lastly, we will explain that there are plenty of non-hyperbolic parameters in term of measure and we will talk about Fatou’s hyperbolic conjecture and my thesis work where the goal is to show that even so, those parameters can be approached by hyperbolic ones.

On présentera dans cet exposé une nouvelle stratégie pour approcher des solutions de problèmes de Riemann dans le cadre de systèmes hyperboliques de lois de conservation. L’idée étant de considérer le problème de départ comme limite d’un système de dispersion-diffusion, reformulé selon l’approche de la viscosité de Dafermos. Un changement de variable permet de réécrire le problème d’EDP sous la forme d’un système d’EDO. Ce dernier est discrétisé par un schéma aux différences finies d’ordre 4. Des cas tests permettent de valider la méthode et de retrouver des solutions non classiques de problèmes de Riemann. Ce travail a été réalisé en collaboration avec C. Berthon, M. Bessemoulin-Chatard et F. Foucher.

In this talk, we will consider the angular component of multipliers of repelling cycles of a hyperbolic rational map in one complex variable. Oh-Winter have shown that these angles of multipliers uniformly distribute in the circle . Motivated by the sector problem in number theory, we show that for a fixed , almost all intervals of length contains a multiplier angle with the property that the norm of the multiplier is bounded above by a polynomial in . This is joint work with Hongming Nie.

Intersection (co)homology is a way to enhance classical (co)homology, allowing us to use a famous result called Poincaré duality on a large class of spaces known as stratified pseudomanifolds. There is a theoretically powerful way to arrive at intersection (co)homology by a classifying sheaves that satisfy what are called the Deligne axioms. There is a successful way to construct a simplicial intersection (co)homology, exposed in the works of D. Chataur, D. Tanré and M. Saralegi-Araguren, but a simplicial manifestation of the Deligne axioms has remained under shadows until now. This talk draws on constructions made by these authors, showing a simplicial manifestation of the Deligne axioms. This consists on presenting categories of "simplicial sheaves", localizing them appropriately and then stating "simplicial Deligne axioms". All this for different simplicial structures one can encounter. We finalize by presenting sheaves that satisfy the axioms on simplicial complexes.

Les algèbres de Brauer ont été introduites par Brauer en 1937 comme l'objet dual aux groupes orthogonaux et symplectiques dans le contexte de la dualité Schur-Weyl. La forme originale de l'algèbre de Brauer est une extension naturelle de l'algèbre de groupe du groupe symétrique. Il a fallu jusqu'à 1988 pour que leur structure soit complètement décrite par Wenzl. Depuis, de nombreux efforts ont été déployés pour définir des telles algèbres correspondant aux autres types de groupes de Coxeter, mais aussi pour des groupes de réflexions complexes. En 2011, Chen a donné une définition uniforme d'une algèbre de Brauer, associée à chaque groupe de réflexions complexes fini, qui généralise beaucoup d'algèbres de type de Brauer existantes. Dans cet exposé, nous parlerons du contexte qui a conduit à l'algèbre de Brauer-Chen et nous allons discuter quelques résultats concernant sa structure.

La conjecture de Sarnack dit que la suite de Möbius est orthogonale à tous les systèmes dynamiques d’entropie nulle. A l’autre extrémité, il y a des systèmes dynamiques auxquels n’est orthogonale aucune suite (non-triviale). Nous qualifions ces systèmes Bohr-chaotiques. La Bohr chaoticité est un invariant topologique et tout système Bohr-chaotique est d’entropie strictement positive. Nous prouvons que la Bohr-chaoticité est partagée par les systèmes admettant un fer a cheval qui possèdent nécessairement des points homocliniques, et aussi partagée par les systèmes algebriques principaux dont certains n’admettent pas de fer a cheval. D’autre part, les systèmes uniquement ergodiques ne sont pas Bohr-chaotiques (c’est aussi le cas pour les systèmes ayant au plus un nombre dénombrable de mesures ergodiques, un résultat récemment prouvé par Matan Tal). Il s’agit des travaux en commun avec Shilei FAN (Wuhan), Valery RYZHYKOV (Moscou), Klaus SCHMIDT (Vienne), Weixiao SHEN (Shanghai) et Evgeny VERBITSIY (Leiden).

Dans le cadre de la radiologie interventionnelle, les médecins sont amenés à naviguer des outils, comme des cathéters, à l’intérieur du réseau vasculaire du patient. Pour se repérer ils disposent d’appareils d’imagerie par rayon X en temps réel (2D) ainsi que des reconstructions 3D de l’anatomie d’intérêt. Pour que les interventions se déroulent correctement, les appareils d’inmagerie se doivent d’être le plus précis possible et les techniques telles que le traitement d’images, la classification ou la prédiction peuvent être mises au service des médecins. Ainsi lorsque le réseau vasculaire est facilement détectable, on cherche à l’annoter automatiquement pour fournir au cours de l’intervention une carte détaillée des vaisseaux et de leur voisinage. Pour réaliser cette annotation, nous utilisons une approche basée atlas, consistant à construire une représentation fiable d’une base de données que l’on cherchera à aligner sur un nouveau cas à annoter. Plus on arrivera à aligner l’atlas sur la cible, plus l’annotation résultante sera simple. De plus l’analyse statistique des déformations peut conduire à une génération de données synthétiques réalistes. Dans cette présentation je parlerai de la construction d’un atlas dans le framework des Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping. Puis je présenterai comment gérer les changements de topologies que l’on trouve lors du recalage des arbres vasculaires : les changements dans l’ordre des bifurcations et les différences entre un atlas simplifié et un vrai arbre à annoter.

Le but de ma thèse est de construire des décompositions cellulaires explicites d'espaces apparaissant en théorie de Lie, équivariantes pour l'action du groupe de Weyl . Dans cet exposé, on se concentre sur la variété de drapeaux réelle de . Plus précisément, nous étudions trois décomposition cellulaires -équivariantes de la variété de drapeaux de . La première a pour point de départ le graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson, la deuxième utilise le fait que le revêtement universel de est la 3-sphère et donne un complexe de chaînes cellulaires particulièrement simple. La troisième repose sur un domaine fondamental de Dirichlet-Voronoï, défini en utilisant uniquement une métrique riemannienne normale homogène sur . Ainsi, cette méthode semble généralisable aux autres variétés de drapeaux. Nous donnons quelques résultats préliminaires dans ce sens.

Les dynamiques conservatives modélisent des situation sans déperdition d’énergie. En présence de frottements, les dynamiques deviennent conformément symplectique : la forme symplectique décroît le long des orbites. Contrairement à ce qui se passe dans le cas conservait, il peut exister des attracteurs. Dans un travail commun avec Jacques Féjoz, nous nous sommes intéressés aux variétés invariantes de ces dynamiques, et avons montré une curieuse relation entre l’entropie topologique de la dynamique restreinte et l’isotropie (pour la forme symplectique) de la sous-variété invariante.

Cross-diffusion systems are non-linear parabolic system, modelling the evolution of densities or concentrations of multicomponent populations in interaction. They may be derived by random walk on lattices, in a microscopic scaling, or as limit of linear parabolic diffusion systems, at a mesoscopic level. In this talk, we propose the rigorous passage from a weak competitive reaction-diffusion system towards a reaction-cross-diffusion system, in the fast reaction limit. The resulting limit system shows a starvation driven cross-diffusion term. The main ingredients used to prove the existence of global solutions are a family of energy functionals and compactness arguments. However, we also investigate the linear stability of homogeneous steady states of those systems and rule out the possibility of Turing instability. Then, no pattern formations occur. To conclude, numerical simulations are included, proving the compatibility with the theoretical results.

Nous présenterons la méthode des level set (ou courbes de niveau) pour l’optimisation topologique de structures, avec des résultats récents pour des modèles physiques non linéaires comme le contact, la plasticité ou la fracture. Ces derniers résultats sont issus de la thèse de Jeet Desai récemment soutenue, obtenus en collaboration avec Grégoire Allaire.

The main of this thesis is to study the representation theory of two algebras. These algebras are extensions of Hecke’s algebras defined by I. Marin. The first one is the Hecke algebra of the normalizer of the reflection subgroup of a finite complex reflections group. It is an extension of the Hecke algebra of the reflection subgroup. The second one is a quotient algebra of the semi-direct product algebra of the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups by a complex reflection group. It is an extension of the Hecke algebra of a complex reflection group. We establish two equivalences of categories. The first one between the category of finite dimensional modules over the Hecke algebra of a normalizer to a quotient category of a category associated to Cherednik algebra of a normalizer. Then we establish an equivalence of categories between the category of finite dimensional modules over to a quotient category of a category associated to a Cherednik algebra of the semi-direct of the Möbius algebra by a complex reflection group. More precisely, we start by defining a Cherednik algebra for the group algebra of the normaliser. Then we define a family of Dunkl-Opdam operators adapted to this context. We establish a Dunkl embedding, allowing to link the modules on the Cherednik algebra of the normaliser with the modules on the algebra of -equivariant differential operators. We define a -category adapted to this context. Finally, we construct a functor and show that it induces an equivalence of categories. We then carry out the same work in the case of the extension by the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups. We define a Cherednik algebra adapted to this context, a new family of Dunkl-Opdam operators. Furthermore, we prove a Dunkl embedding. We define a new category and a functor , we prove that it induces an equivalence of categories.

Cluster categories were introduced in 2006 by Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov in order to categorify acyclic cluster algebras without coefficients. Their construction was generalized by Amiot and Plamondon to arbitrary cluster algebras associated with quivers (2009 and 2011). A higher dimensional generalization is due to Guo (2011). Cluster algebras with coefficients are important since they appear in nature as coordinate algebras of varieties like Grassmannians, double Bruhat cells, unipotent cells,…. The work of Geiss-Leclerc-Schröer often yields Frobenius exact categories which allow to categorify such cluster algebras. In this talk, we will present the construction of the Higgs category (generalizing GLS' Frobenius categories E) and of the relative cluster category (generalizing the derived category of E). The Higgs category is no longer exact but still extriangulated in the sense of Nakaoka-Palu (2019). If time permits, we will show how the higher-dimensional version of our constructions are related to Iyama's higher Auslander-Reiten theory.

In this talk, I will present the work of my thesis : the study of equivariant algebraic topology of spaces arising in Lie theory with respect to an action of the Weyl group, such as maximal tori and flag manifolds. More precisely, the goal is to produce explicit equivariant cellular structures on these spaces. This is done in order to compute derived global sections functors in their equivariant derived categories. After a brief reminder on equivariant cellular structures, I will investigate the case of maximal tori of Lie groups, equipped with their Weyl group actions. We will exhibit equivariant simplicial structures on maximal tori in general ; the construction of which depends on the character lattice of the torus. Next, we will see that the notion of "torus" also makes sense for non-crystallographic Coxeter groups. Specifically, to any non-crystallographic Coxeter group W, one can associate a compact W-triangulated manifold T(W), which plays the role of a torus. The construction of T(W) is quite similar to the construction of tori, except that it involves a hyperbolic extension of W, while an affine extension is needed in the crystallographic case. We will review the construction of T(W), and some of its properties. Then, I’ll move on to flag manifolds. After a quick introduction to flag manifolds in general, I will focus of the first non-trivial example : the manifold F(R) :=SL_3(R)/B. More precisely, I will present three different S_3-equivariant cellular structures on it. The first one uses the so-called GKM graph of the symmetric group S_3. Though quite ad-hoc, this first structure allows to describe the mod 2 cohomology algebra of F(R), as an F_2[S_3]-algebra, using transverse real algebraic subvarieties of F(R). The second structure is built using the fact that the universal cover of F(R) is the 3-sphere that is, F(R) is a "spherical space form". I will explain how this point of view suggests a generalization. The third structure is obtained by considering a Dirichlet-Voronoi fundamental domain for S_3 acting on F(R), itself constructed from a normal homogeneous Riemannian metric on F(R). Such a metric always exist on other flag manifolds and this Dirichlet-Voronoi approach seems generalizable to higher cases. I will finish by giving some preliminary results in this direction.

Le changement climatique induit un « déplacement » des zones géographiques adaptées à la survie de chaque espèce. La migration naturelle des espèces végétales ne permet pas toujours de suivre le déplacement des conditions climatiques qui leur sont adaptées. Face à ce problème, une solution envisagée est la migration assistée. L’idée est d’implanter une espèce à un endroit où elle est peu ou pas présente, soit pour encourager et accélérer sa migration naturelle, soit pour la placer dans un climat plus favorable et éviter son extinction. Cette méthode appelle à de nombreuses questions : pour quelles espèces ? Où implanter ces espèces ? Et quand ? Quel sera l’effet de planter une espèce à un endroit ? L’ampleur du problème appelle à la création de méthodes informatiques rapides et précises. Nous verrons comment des méthodes algébriques pourront nous permettre de nous passer des simulations de survie-dispersion usuellement utilisées en écologie mais coûteuses en temps de calculs. Cela se fera en particulier par l’association de théorie des graphes et de probabilités. Nous verrons également comment ce cadre peut nous permettre de remonter à l’origine de certaines espèces invasive sur un continent.

Pour les surfaces de Riemann compactes la vitesse de mélange du flot horocyclique découle aisément de l’étude de représentations unitaires irréductibles du groupe d’isométries du plan hyperbolique et du trou spectral. Dans le cas des revêtements abéliens infinis il n’y a pas de trou spectral et l’étude se ramène à la contribution des représentations proches de la représentation triviale. On montre également que pour une suite croissante de revêtements abéliens finis quelconque les spectres autour de la représentation triviale se redistribuent par rapport à une mesure absolument continue. Travail en collaboration avec D. Ravotti.

Intersection (co)homology is a way to enhance classical (co)homology, allowing us to use a famous result called Poincaré duality on a large class of spaces known as stratified pseudomanifolds. There is a theoretically powerful way to arrive at intersection (co)homology by a classifying sheaves that satisfy what are called the Deligne axioms. Parallel to this, it is common knowledge in algebraic topology that simplicial structures make for good representations of topological spaces. There is a successful way to construct a simplicial intersection (co)homology exposed in the works of D. Chataur, D. Tanré and M. Saralegi-Araguren, but a simplicial manifestation of the Deligne axioms has remained under shadows until now. This exposition draws on constructions made by these authors, showing a simplicial manifestation of the Deligne axioms. This consists on presenting categories of "simplicial sheaves", localizing them appropriately and then stating "simplicial Deligne axioms". All this for different simplicial structures one can encounter. We finalize by presenting sheaves that satisfy the axioms on simplicial complexes.

Il est connu qu’un homéomorphisme conservatif (c’est-à-dire sans point errant) de la sphère, qui a un nombre fini de points périodiques, est une pseudo rotation irrationnelle autour de deux points fixes. Une caractérisation des homéomorphismes conservatifs du tore ayant un nombre fini de point périodiques est également connue, exprimée également via des modèles-types. Nous donnerons dans l’exposé une caractérisation dans le cas des surface de genre , le modèle type étant donné par un flot de translation minimal.

Our work is devoted to the development and implementation of second-order well-balanced Lagrange-projection numerical methods for hyperbolic partial differential equations. In particular, the Lagrange-projection formalism entails a decomposition of the acoustic and transport terms of the model, while the well-balanced property represents the ability of the scheme of preserving the stationary solutions of the model. In this talk we mainly focus on the numerical approximation of the shallow-water system coupled with the Exner equation, where the latter expresses the evolution in time of the bed elevation. It is known that it is not a trivial task to numerically simulate the resulting shallow-water-Exner model, as a decoupled scheme could lead to the presence of spurious oscillations in the numerical outputs. In addition, when considering the Lagrange-projection formalism, while it is clear how to decompose the shallow water system, this is not true when it comes to the Exner equation. For this reason we investigate different possible numerical strategies.

Les algèbres de Hecke apparaissent en théories des représentations des groupes réductifs finis comme algèbre des doubles par l'action d'un sous groupe de Borel d'un groupe de Chevalley. On peut également les définir comme quotient de l'algèbre de groupe du groupe de tresses associé. C'est cette définition qui sera utilisée dans le cas d'un groupe de réflexions complexe fini. Les algèbres de Hecke ont été utilisés pour la construction d'invariants polynomiaux des nœuds comme le polynôme de Jones et HOMFLYPT. Dans les années 60, Yokonuma introduit une généralisation des algèbres de Hecke dans le cadre des groupes réductifs finis. Cela permet de définir de nouveaux invariants de noeuds. En 2014, Juyumaya et Aicardi définissent une sous algèbre de l'algèbre de Yokonuma Hecke de type A, appelée algèbre Braids and Ties ce qui leur permet de définir de nouveaux invariants de noeuds. En 2016, I.Marin remarqua que cette algèbre peut être vue comme une extension de l'algèbre de Hecke de type A par le treillis des sous groupe de réflexions du groupe symétrique. Cela va le conduire à définir pour tout groupe Coxeter une extension de l'algèbre d'Iwahori-Hecke. Construction qu'il généralisera par la suite au cas des groupes de réflexions complexe finis. Dans cet exposé, nous explorerons ses différentes constructions. Puis nous étudierons le travail de Ginzburg, Guay, Opdam et Rouquier qui ont relié certaines représentations des algèbres de Cherednik avec les représentations de dimension finies de l'algèbre de Hecke associé à un groupe de réflexions complexe.

On propose une interprétation des opérateurs d’amortissements et des techniques de stabilisation de schémas numériques en termes de filtres passe-haut ou passe-bas, suivant les situations. A cet effet, on effectue des décompositions des signaux en parties basses et hautes fréquences, lorsque la discrétisation est effectuée en éléments finis ou en différences finies. Ces techniques permettent de construire de nouveaux opérateurs discrets d’amortissement ou de stabilisation, nous les appliquons aux équations de Cahn-Hilliard, Korteweig-de Vries et Kuramoto-Sivashinsky.

Un groupe d’homéomorphismes de la droite est localement mobile si pour tout intervalle ouvert, le sous-groupe dès éléments fixant le complémentaire y agit sans points fixes. Un résultat classique de Rubin implique qu’un tel groupe n’admet qu’une seule action qui déplace localement, à conjugaison près. Quid des autres actions sur la droite ? Sous une condition de finitude sur le groupe, vérifiée par exemple par le groupe de Thompson , on obtient qu’elles proviennent d’actions sur des arbres réels planaires, fixant un point du bord, qui de plus, se souviennent de l’action de référence sur la droite. Il s’agit d’un travail en commun avec J. Brum, N. Matte Bon et C. Rivas.

In a seminal paper titled "Analysis Situs", Henri Poincaré lays the foundation of algebraic topology. His approach is revolutionary as he uses algebraic objects (invariants) in order to distinguish non-homeomorphic spaces. This talk will focus on the homology groups, a notion defined in order to prove the Poincaré duality. We will begin by presenting the historical context which led to their introduction. Then, we will adopt the modern approach and define simplicial homology. There exists numerous homology theories, we quickly explain how they are related. Finally, we show why the Poincaré duality fails on singular spaces and present the solution proposed by Goresky and MacPherson in order to restore it. If time permits, I’ll talk about my thesis on the Hochschild cohomology on intersection cohomology.

The numerical simulation of non-Newtonian viscoelastic fluids flow is a challenging problem. One of the well known problems is the so called High Weissenberg Number Problem, i.e. the instability of the numerical solution for high values of Weissenberg number. To avoid this situation, often is added the stress diffusion term into the transport equations for viscoelastic stress tensor. Although there is physical, fluid microstructure based argument on addition of such term into the constitutive model, the additional term affect the solution of the problem and special care should be taken to keep the modified model consistent with the original prob- lem. In this work, application of a new tensorial artificial diffusion stabilization was tested. The steady solution is searched by solving an unsteady problem by a time-marching method, where the steady state is recovered for t → ∞, subject to stationary boundary conditions. Instead of the classical addition of artificial stress diffusion term it was used the modified additional term which is only present during the transient phase and should vanish in when approaching the stationary case. The steady solution is not affected by such vanishing artificial term, however the stability of the numerical method is improved.

Nous introduisons une propriété, « la récurrence positive forte », pour les difféomorphismes d’une variété compacte, afin d’étudier la partie non-uniformément hyperbolique de sa dynamique. Nous montrons qu’elle est satisfaite pour les difféomorphismes de surface d’entropie topologique non nulle. Nous en déduisons la décroissance exponentielle des corrélations et un théorème central limite pour les mesures d’entropie maximale. C’est un travail en collaboration avec J. Buzzi et O. Sarig.

(Travail en commun avec G. Bellamy, C. Bonnafé, B. Fu, P. Levy, E. Sommers) En 2000, Arnaud Beauville a introduit la notion de singularité symplectique, et a soulevé le problème de classifier les singularités symplectiques isolées ayant un groupe fondamental local trivial (cette dernière condition permet d’exclure les singularités obtenues comme quotient par un groupe fini d’automorphismes symplectiques). En fait, il a demandé s’il y avait des exemples au-delà des adhérences d’orbites nilpotentes minimales dans les algèbres de Lie simples. Je vais décrire une famille d’exemples de dimension 4 liés aux groupes diédraux, qui peuvent être obtenus de différentes manières : éclatement d’une singularité quotient, espace de Calogero-Moser, ou revêtement de degré d’une singularité sous-sous-régulière dans un cône nilpotent de ... les variétés de carquois de Nakajima faisant le lien entre les deux dernières. Nous avions rencontré le cas dans le cône nilpotent de type .