Séminaires en 2020

To increase the power of a nuclear reactor, steam water quality can be reduced down to 97%. Therefore droplets of liquid form at more than 40 m/s. When pipes are changing direction, those liquid droplets can impact the interior. The high pressure induced by the impact can lead to erosion and damage the pipes. Thus we are interested in estimating the impact pressure by simulating the impact of liquid droplets onto a perfect wall. We use a compressible homogeneous equilibrium model discretized in three steps. To avoid the diffusion of the interface between the two fluids we use a conservative splitting operator approach. It consists in splitting acoustic and transport waves. This allows us to treat separately the two sub-systems. First acoustic system is solved using a Suliciu-like pressure relaxation. Transport system is solved using an anti-diffusive solver, to accurately capture the interface. Finally thermodynamic variables are projected onto thermodynamic equilibrium. We will present numerical results and parallelization strategy using Kokkos library to achieve high performance.

Il a été démontré en laboratoire que certaines espèces de microalgues ont des propriétés intéressantes pour, par exemple, l’épuration de l’eau et la transformation en biofuel. Il est possible de cultiver ces microalgues soit sur des films minces en tapis roulant, soit en bassin ouvert. Avec P.-O. Lamare, J. Sainte-Marie, J. Grenier, H. Bonnefond et Olivier Bernard (équipes inria ANGE et BIOCORE), nous avons proposé des modèles d’EDP couplant la dynamique biologique et hydrodynamique, en vue de l’optimisation du processus de production.

L’espace des fonctions sur à valeurs dans C est naturellement muni d’une transformation de Fourier. Par restriction, elle induit un opérateur de Fourier sur les fonctions sur . Cet opérateur de Fourier a des propriétés très intéressantes, comme celle de distinguer les séries de Lusztig de . Pour tout groupe réductif sur un corps fini et toute représentation du groupe dual on peut transférer en un opérateur de Fourier sur les fonctions sur . Dans cet exposé on discutera de la question du prolongement de tels opérateurs. Cette question est motivée par les travaux de Bravermann-Kazhdan puis de Lafforgue sur l’approche des conjectures de fonctorialité pour les groupes réductifs sur des corps locaux etglobaux par les transformations de Fourier. Il s’agit d’un travail en cours avec Gérard Laumon.

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated" open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

Le groupe des tresses soudées (pures) est une généralisation naturelle du groupe de tresses (pures), en dimension supérieure. C’est un objet riche, qui admet plusieurs descriptions ; il s’identifie notamment au groupe des automorphismes du groupe libre qui envoient chaque élément de la base sur un de ses conjugués. Son quotient par la relation d’homotopie (d’entrelacs) près admet une description algébrique similaire, où l’on remplace le groupe libre par le groupe réduit libre. C’est un groupe nilpotent, dont on peut donner une présentation explicite, comme on le verra dans cet exposé.

Considérons une équation des ondes avec un double puits de potentiel, en dimension 1+1. On appelle les deux minima du potentiel les “vides”. On appelle “kinks” et “anti kinks” les minimiseurs de l’énergie potentielle parmi tous les états reliant les deux vides. Ce sont des états stationnaires du système. On appelle une "paire kink-anti kink" une solution de l’équation des ondes qui converge en temps grand vers une superposition d’un kink et d’un anti kink, séparé par une distance qui tend vers l’infini. On montre que, aux translations dans l’espace-temps près, il existe l’unique paire kink-anti kink. Je vais formuler rigoureusement ce résultat, donner une interprétation variationnelle des paires kink-anti kink, et présenter le schéma de la preuve. Travail en collaboration avec Michal Kowalczyk et Andrew Lawrie.

La méthode de Boltzmann sur réseau est très largement utilisée pour simuler les équations de la mécanique des fluides comme Navier-Stokes incompressible. Jusqu’à présent la prise en compte de l’équation de conservation de l’énergie était difficile et se limitait à une approximation de type Boussinesq. De nouvelles idées ont permis la construction de schémas capables de simuler des systèmes hyperboliques plus généraux et en particulier Euler complet. Dans cet exposé, nous décrirons quelqu’uns de ces nouveaux schémas en nous intéressant particulièrement à la montée en nombre de Mach (problème très sensible des schémas de Boltzmann sur réseau).

Des déformations d’algèbres amassées avec plusieurs paramètres quantiques (algèbres amassées toroidales) apparaissent naturellement dans l’étude des représentations d’algèbres affines quantiques. Par ailleurs, la construction algébrique de l’anneau de Grothendieck quantique par Hernandez suggère que nous pouvons avoir aussi assez naturellement des déformations avec plusieurs paramètres de ces anneaux (anneaux de Grothendieck toroidaux). Ces objets sont fortement liés ; en particulier lorsque les anneaux de Grothendieck fournissent des exemples de catégorification monoïdale d’algèbres amassées. Nous allons construire l’anneau de Grothendieck toroidal pour une algèbre affine quantique simplement lacée et nous allons prouver que, de manière remarquable, pour une certaine catégorie monoidale , il y a une structure naturelle d’algèbre amassée toroidale. Ce travail est en collaboration avec D. Hernandez.

The objective here is a derivation of fully discrete entropy inequalities, which can serve as energy estimates. To address such an issue, we first propose a technique of artificial viscosity to make entropy preserving any first-order finite volume scheme. The required entropy inequality then comes from a suitable control a the artificial viscosity, which control the smoothness of the approximated solutions. This first results are remarkable and they furnish a required estimation to study for the entropy stability of the well-known hydrostatic reconstruction type methods to approximate the weak solutions of the shallow water model.

Le classifiant d’un groupe est un espace topologique, , encodant de nombreuses propriétés du groupe. Notamment, l’homologie singulière de l’espace est isomorphe à l’homologie du groupe , et les -fibrés principaux sont classifiés par les classes d’homotopie d’applications continues de but . Ces deux propriétés en font un objet central à la fois en théorie des groupes et en topologie algébrique. L’espace est seulement défini à homotopie près, et plusieurs modèles différents sont connus, en terme d’espaces topologiques, de CW-complexes ou d’ensembles simpliciaux. Cependant, aucun modèle de comme complexe simplicial n’est connu, bien que des résultats "classiques" de théorie de l’homotopie garantissent que de tels modèles doivent exister pour tout groupe . Dans cet exposé, après avoir introduit les notions de classifiants de groupe et de complexes simpliciaux, on présentera une construction explicite associant à tout groupe un complexe simplicial modélisant . Ce résultat est l’objet d’un travail en cours avec Ivan Marin.

Sperm whales have the loudest sonar in the animal kingdom. However, they are too large and heavy to have their head scanned. In order to validate a model made from vague organ geometry and rough estimation of mechanical parameters, I used recorded clicks to evaluate the synthetic clicks created by this model. I will first present the techniques used to locate sperm whales using a multi hydrophone antenna, and linked recorded clicks to their emitter using segmented video. I will then recall the techniques use to simulate wave propagation. Finally I will present the results of a wave propagation in the head of a sperm whale , and how to improve it, using the recorded clicks.

Les équations de Saint-Venant modélisent les mouvements d’un fluide de faible épaisseur. Les applications sont nombreuses : model océanique, atmosphérique, sédimentation, ... Elles sont généralement résolues en utilisant un schéma en temps explicite (ex : méthode de Runge-Kutta ou Forward-Backward). Le coût en calcul par itération est faible mais le pas de temps est contraint par une condition CFL et un grand nombre de pas de temps doit être effectué. Au contraire, les schémas implicites (ex : θ-schéma) permettent d’utiliser de grands pas de temps cependant un système doit être résolu à chaque itération et ces schémas produisent de la dissipation et de la dispersion numérique. Dans cet exposé, je considérerai les Intégrateurs Exponentiels comme alternative. Ces schémas seront analysés sur l’équations de Saint-Venant linéarisée autour d’un état d’équilibre. Nous étudions en particulier les propriétés de précision et de stabilité de ces méthodes. Les résultats sont comparés à ceux obtenus, dans un cadre semblable, avec un schéma explicite ou implicite. Le coût en calcul est mesuré ainsi que l’influence du pas de temps. Récemment, les intégrateurs exponentiels ont été implémentés sur les équations de Saint-Venant sur une sphère en rotation. De récents cas tests permettent d’analyser les propriétés du schémas pour la propagation d’ondes sphériques.

Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d’un solide dans un fluide visqueux incompressible. On s’intéresse ici à l’évolution d’un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d’énergie.

The property of controllability for the wave equation has been intensively studied, mainly in a smooth framework ( smooth metric and smooth domain ). In this lecture, I will present some results on observability/control for the wave equation with rough coefficients. More precisely, we prove that the property of exact internal or boundary controllability for a wave equation with smooth coefficients is stable with respect to Lipschitz perturbations of the metric. We also consider the case of a C^1 metric ( the hamiltonian field is only continuous ) and we prove the propagation up to the boundary, of semi-classical measures support. The generalized Geometric Control Condition is then sufficient for exact control. This talk comes from joint works with J. Le Rousseau ( Univ. Paris 13 ) and N. Burq ( Univ. Paris Sud ).

Les cristaux photoniques sont des matériaux ayant une structure périodique qui leur permet de contrôler la propagation de la lumière. Du fait de la complexité de la structure (reflexions multiples dues à la périodicité du matériaux), des phénomènes d’interférences destructives peuvent apparaitre à certaines fréquences. Plus précisément, il existe des intervalles de fréquences où des rayons lumineux monochromatiques ne peuvent pas se propager. Par ailleurs, l’introduction de perturbations (linéiques) dans ces milieux peut générer des modes guidés se propageant le long des perturbations. Dans cet exposé, nous étudions des matériaux périodiques particuliers constitués d’un maillage de tubes minces. Nous considérons d’abord le cas de tubes disposés périodiquement dans deux directions orthogonales. A l’aide d’une analyse asymptotique, nous montrons alors que l’introduction d’un défaut linéique dans la structure permet de créer des modes guidés. Nous nous intéressons ensuite au cas d’une structure présentant une symétrie hexagonale (matériaux en nid d’abeille) et nous montrons quelques propriétés remarquables de ce milieu. Le travail présenté est issue d’une collaboration avec Sonia Fliss.

Dans l’article "On category O of a rationnal cherednik algebra", Ginzburg, Guay, Opdam, Rouquier établissent une équivalence de catégorie entre une catégorie de modules sur l’algèbre de Cherednik d’un groupe de réflexions complexe dont la définition s’inspire des travaux de Bernstein, Gelfand et Gelfand sur les algèbres de Lie semi-simple et la catégorie des modules d’une algèbre de Hecke. En suivant les idées introduites dans cet article, nous établissons des résultats similaires pour d’une part une extension de l’algèbre de Hecke par l’algèbre de Hecke d’un normalisateur d’un sous groupe de réflexions complexe définies par I.Marin dans "Lattice extension of a Hecke algebra" et d’autre part pour une extension par treillis de l’algèbre de Hecke d’un groupe de réflexions complexe. Nous relions ensuite ces deux approches.

La notion de cristal associé à une représentation irréductible d’une algèbre de Lie, introduite dans les années 90 par Kashiwara, Lusztig et Littelmann, donne une description combinatoire simple du caractère associé à cette représentation. La partie dominante de ce caractère admet une graduation subtile où les dimensions des espaces de poids sont remplacées par leurs q-analogues naturels (polynômes de Kostka, -analogues de Lusztig). Le but de l’exposé sera de présenter un modèle combinatoire pour la partie dominante de ces caractères. Ce modèle en donne une décomposition "atomique" : chaque atome étant la somme formelle des poids dominants inférieurs ou égaux à un poids dominant donné. Cette décomposition est conjecturalement compatible avec la graduation précédente pour les type classiques et j’expliquerai pourquoi la conjecture est vraie en type . C’est un travail en commun avec C. Lénart (Albany USA).

L’exposé se base sur l’article « The additive completion of the biset category » (Ibarra, Raggi, R., 2018), où l’on reprend le travail de thèse de Jesús Ibarra (soutenue en 2014), qui malheureusement a arrêté les mathématiques depuis. Dans l’article on complète et précise les résultats de la thèse d’Ibarra, pour donner une description de la complétion additive de la catégorie de biensembles comme une catégorie dont les objets sont des fractions de dénominateur un groupe fini, et de numérateur un ensemble fini sur lequel ce groupe agit. Cette catégorie est de plus symétrique, monoïdale, auto-duale et possède une décomposition de Krull-Schmidt pour les objets.

Ce séminaire sera l’occasion de tester les possibilités techniques pour présenter un séminaire avec des contraintes fortes de limitation de présence. Il aura lieu dans la salle séminaire et retransmis via RENATER. Si le temps me le permet, je présenterai également des résultats récents obtenus avec F. Durand, S. Donoso et A. Maass sur une grande classe de dynamiques minimales sur l’ensemble de Cantor : les systèmes de rang fini. Cette classe regroupe les odomètres, les codages d’échange d’intervalle, les systèmes subsititutifs,... Nous donnons une caractérisation de ces systèmes qui nous permet d’élargir la famille de ces exemples et la relie aux systèmes . Nous en déduisons également des propriétés combinatoires notables. La présentation devrait être auto-contenue mais, faute de temps, pas excellemment préparée.

Un topos de Grothendieck est une catégorie équivalente à une catégorie de faisceaux d’ensembles sur un site de Grothendieck. Les topos sont pertinents pour étudier des théories cohomologiques comme la cohomologie étale des schémas par exemple. Les topos supérieurs permettent de traiter de la théorie de l’homotopie sur un site de Grothendieck. On montrera comment la théorie de l’homotopie des espaces topologiques peut être revisitée à l’aide de ce formalisme (suivant des travaux de D. Dugger et D. Isaksen). Cette approche s’applique au cadre des variétés algébriques et donne des modèles pour l’homotopie motivique (toujours d’après D. Dugger et D. Isaksen). On expliquera que cette approche s’adapte aux espaces stratifiés et donne un cadre naturel pour étudier la cohomologie d’intersection d’un point de vue homotopique. En particulier on montrera comment des résultats récents sur la représentabilité de la cohomologie d’intersection en termes d’espaces de lacets infinis stratifiés (obtenus en collaboration avec D. Tanré) s’insère dans ce paysage.

Les théories simpliciales d’homotopie ramènent l’étude des espaces topologiques à l’étude de structures combinatoires, ensuite épaissies par des simplexes : c’est ce qu’on appelle leur réalisation géométrique. Considérant, par description barycentrique, un simplexe de dimension n comme l’espace des mesures de probabilité sur un espace à n éléments, on est naturellement amené à introduire l’espace de variables aléatoires discrètes correspondant, et à l’utiliser en remplacement des simplexes pour fournir une nouvelle réalisation géométrique. L’application qui à une variable aléatoire associe sa loi de probabilité fournit un lien naturel entre les deux constructions, que nous décrirons dans les trois cadres usuels : celui des complexes simpliciaux, celui des ensembles simpliciaux, et celui des ensembles pré-simpliciaux. Cela permet notamment d’obtenir une description topologique simple et naturelle de l’espace classificant d’un groupe discret.

Dans cet exposé, je m’intéresserai au comportement en temps long de schémas numériques pour des équations de convection-diffusion. Il s’agira de schémas linéaires et non linéaires de type volumes finis à 2 points puis de schémas non linéaires DDFV (volumes finis en dualité discrète). Les résultats obtenus s’appuient sur des estimations d’entropie et des inégalités fonctionnelles discrètes.

Generalizing from finite groups to finite categories, a biset category may be contructed whose objects are the finite categories and whose morphisms are linear combinations of bisets (known also as distributors, and as profunctors) for these categories. The linear functors to the category of abelian groups are then biset functors, defined on finite categories in general, not just finite groups. We discuss how the parametrization of simple biset functors becomes more complicated when the groups are allowed to be categories. For groups, the simple biset functors S are parametrized by pairs where is a group and is a simple module for . The parametrization has the property that is a minimal group on which is non-zero, and there is a unique such group , up to isomorphism. The parametrization is aided by the fact that groups are isomorphic in the biset category, if and only if they are isomorphic as groups, as well as other things : the decomposition of bisets, due to Bouc, as a composite of standard bisets ; and the fact that ’essential algebra’ of a group H in the biset category is a copy of the group ring of . We discuss the way these properties fail in the context of bisets for categories. Even before we discuss this failure, we must formulate what we mean by things such as the outer automorphism group of a category, the essential algebra, and a standard biset. Along the way we discover some unexpected structure

In the last years, measure solutions to PDE, in particular to model populations, have drawn much attention. The talk will be devoted to the presentation of a recent, unusual result in this field, that we obtained with Pierre Gabriel. First, I will expose some wellposedness and asymptotic results for two famous population equations in the L^p and measure frameworks, and explain the critical case that interested us. Then, I will define the notion of solution we used, and if needed, recall some basic definitions about semigroups. Moving to the proof itself, I will present the main steps of the proof of the wellposedness of the problem, that relies on a duality relation used to build a solution expressed as a semigroup acting on an initial measure. Then, I will go a little more into details of the demonstration of the asymptotic behaviour, namely a convergence in total variation norm toward an oscillating measure.

Le but de la théorie classique des systèmes dynamiques est de décrire le comportement des orbites "typiques" pour des systèmes "typiques". Considérons une variété compacte et lisse et prenons notre dynamique dedans l’espace des difféomorphismes . Pour obtenir une description au sens statistique d’une orbite "typique", la notion de mesure physique devient très importante. On dit qu’une mesure de probabilité invariante pour un difféomorphisme est une mesure physique s’il existe un ensemble de points dans , avec volume positif, appelé le bassin statistique de , telle que la suite converge vers . C’est une question encore ouverte et centrale de savoir si pour un "typique" dans , il existe des mesures physiques et si l’union des bassin des ces mesures est un ensemble de volume total dans . Un gros succès obtenu dans cette direction se trouve dans la théorie des systèmes hyperboliques, où l’existence, la finitude et de riches propriétés géométriques des mesures physiques sont assurés. Vu que les systèmes hyperboliques sont loin d’être "typique" dans , on peut poser une question plus simple, mais contenue dedans ce gros projet : est-ce qu’une dynamique typique peut avoir une mesure physique pathologique, comme par exemple un Dirac porté par un point fixe non-attractif ? Avec Pierre-Antoine Guihéneuf (IMJ-Université Paris Sorbonne) et Pablo Guarino (UFF-Niterói, Brésil) on regarde cette question en topologie . On montre que pour en ensemble résiduel de , s’il existe un point fixe telle que est une mesure physique et si le bassin statistique de est aussi dense dans un ouvert de , alors doit être un point topologiquement attractif. Dans cet exposé, je parlerai de ce résultat et aussi de divers exemples de difféomorphismes ayant une mesure physique de Dirac qui ont motivé notre étude. En particulier, je raconterai un nouvel exemple que nous avons construit, pour lequel le bassin de la mesure physique de Dirac est un ensemble de volume positif mais nulle parte dense.

In 1992, Dress, Siebeneicher and Yoshida introduced the Frobenius-Wielandt morphism (FW morphism), defined from the Burnside ring of a cyclic group C to the Burnside ring of a finite group G of order |C|. Their intention was to give a precise conceptual interpretation of the observation that many elementary group-theoretic results can be derived from the fact that various invariants of an arbitrary group are closely related to the same invariant evaluated for the cyclic group C. Among other properties, they investigated the relation of the FW morphism with the operations of restriction, induction, inflation and fixed points. In this talk we will see what can we say about its relation with tensor induction and deflation and, while doing this, we will see its relation with induction from a different perspective.

Dans l’optique d’une collaboration, je présenterai rapidement mes travaux passés. Ma recherche consiste essentiellement à utiliser la modélisation et les mathématiques appliquées pour étudier des problèmes physiques complexes avec des couplages multi-physiques ( comportement mécanique, robotique, écomatériaux, scanner 3D de bâtiments). Je présenterai en particulier un travail sur le flambage de structures élasto-endommageables : modèles standards généralisés, flambage naissant, comportement post-critique pour un problème de type intégro-différentiel. Je conclurai par une brève description du projet que je souhaiterais développer. Il s’agit d’approfondir l’analyse élastique de forme dans des espaces euclidiens de dimension n (« elastic shape analysis »). Cela consiste pour caractériser une courbe à utiliser la fonction SRVF (« square-root velocity function »). Cette SRVF est ensuite interprétée comme un point d’une hypersphère dans un espace hilbertien. Cela donne ensuite un cadre mathématique pour reconnaitre, comparer et déformer des courbes 3D. Les applications sont nombreuses, notamment en santé.

Je vous présenterai en avant-première l’exposé de ma soutenance de thèse. On s’intéresse à certaines suites infinies de caractères, que l’on engendre à l’aide d’itérations des morphismes particuliers appelés substitutions. Pour de telles suites, on cherchera s’il existe une lettre qui se répète périodiquement. On distinguera deux cas, selon que la substitution considérée soit de longueur constante ou non. Dans ce but, on utilisera des procédés provenant de l’étude des systèmes dynamiques topologiques, en particulier les valeurs propres associées à de tels systèmes. Une autre partie de l’exposé portera sur l’étude de la substitution permettant d’engendrer une sous-suite extraite d’une suite substitutive, et notamment du lien entre les valeurs propres des matrices qui y sont associées. This talk is the presentation of my PhD’s defense. It will be in french. The topic is a class of infinite sequence of symbols generated by the iteration of certain type of morphisms called substitutions. For such sequences, we want to check if a letter appears periodically. We will consider two cases : whether the substitution is of constant length or not. We will use some tool that comes from dynamical systems, especially the eigenvalues associated to such systems. An other part of the talk is devoted to the study of the substitution that generate a sequence extracted periodically from a substitutive one, and in particular the link between the eigenvalues of the underlying matrices.

Je présenterai une preuve simple et courte de l’inégalité de Sobolev avec constante optimale. J’expliquerai ensuite la genèse de cette preuve : l’inégalité de Sobolev est une inégalité de convexité faisant intervenir deux entropies de Renyi le long du flot de l’équation de diffusion rapide. Ce dernier peut être réinterprété comme un flot gradient dans l’espace de Wasserstein muni d’une structure (formelle) de variété riemannienne. J’introduirai au passage deux outils : le calcul de Bakry-Emery et le calcul d’Otto. Travail en collaboration avec Ivan Gentil et Simon Zugmeyer.

On montre la finitude des points périodiques pour une application de Hénon définie sur un corps de fonctions. Je définirai tous les objets et ferai un état de l’art sur la propriété de Northcott sur les corps globaux (en collaboration avec Thomas Gauthier).

Gentle algebras are algebras arising as certain quotients of path algebras of quivers. One of the interesting features of gentle algebras is that there is a combinatorial classification of their indecomposable modules. Another deep fact about gentle algebras is that they are stable under derived equivalences ; recent advances have led to a classification of gentle algebras up to derived equivalence. After recalling the relevant notions, the main goal of the presentation will be to introduce a mutation operation on gentle algebras and their modules, inspired by the reflection functors that exist for hereditary algebras, which give a very explicit and concrete way to pass from modules for one gentle algebra to modules for (some) derived equivalent gentle algebras.

In this talk, I will present some results from our recent joint work with Matthew Gelvin [1]. Let be a finite group and an algebraically closed field of char- acteristic . In this work, we define the notion of a Dade -module as a generalization of endo-permutation modules for p-groups. We show that under a suitable equivalence relation, the set of equivalence classes of Dade - modules forms a group under tensor product, and the group obtained this way is isomorphic to the Dade group defined by Lassueur [2]. We also consider the subgroup of generated by relative syzygies , where is a finite -set. Let denote the group of superclass functions defined on the p-subgroups of . There are natural generators of . We prove that there is a well-defined group homomorphism : that sends to . The main theorem of this work is the verification that the subgroup of consisting of the dimension functions of k-orientable real representations of lies in the kernel of . In the proof we consider Moore -spaces which are the equivariant versions of spaces which have nonzero reduced homology in only one dimension.

Dans cet exposé nous allons rappeler la procédure de Long et Moody pour construire des représentations linéaires des groupes de tresses et nous allons l’adapter au cas des groupes des tresses de cercles (ou w-tresses). Ce sera l’occasion à la fois de présenter les groupes de tresses de cercles et leurs différentes définitions et de revenir sur des représentations des groupes de tresses, célèbres (Burau, BKL...) ou peu connues (TYM), et des problèmes qu’on rencontre quand on cherche de les étendre à d’autres groupes dans lesquels les groupes de tresses se plongent « canoniquement ».

Le couplage entre le système respiratoire et le système cardio-modérateur peut être modélisé par deux équations de Van der Pol couplées. Certains cas de respirations pathologiques, telle la respiration de Cheyne-Stokes, peuvent également être modélisés par ces équations en ajoutant un forçage. Ainsi, l’étude des solutions d’une large classe d’équations analytiques singulièrement perturbées, à laquelle appartiennent les équations de Van der Pol forcées, permettrait de modéliser une assistance respiratoire optimale. Dans le cas d’un système analytique, il est toujours possible de calculer un développement asymptotique formel de la solution. Cependant, ce développement n’est, en général, pas convergeant et n’est pas nécessairement proche d’une vraie solution. Je présenterai la preuve de l’existence de solutions formelles de type Gevrey qui approchent bien de vraies solutions.

Symbolic substitutions are a way of forming non-periodic sequences which still exhibit a remarkable regularity, characterised by a hierarchical structure on all length-scales. In a sense, they are globally very well-ordered. The question then is how do their dynamical properties change as we introduce local disorder? I will first review symbolic substitutions, their dynamical systems and their Rauzy fractals. I will then introduce ’random substitutions’. They allow us to construct hierarchical sequences which are still globally well-ordered, but are locally disordered on all length-scales, characterised by positive entropy. We will see that Pisot random substitutions still have Rauzy fractals that can tell us something about their dynamical systems but with a much richer metric structure. I’ll also report on some recent results concerning the mixing properties and measures of maximal entropy for random substitution subshifts, and I will present many open problems along the way.

We introduce a new model in population dynamics that describes two species sharing the same environmental resources in a situation of open hostility. The interactions among these populations is described not in terms of random encounters but via the strategic decisions of one population that can attack the other according to different levels of aggressiveness. This leads to a non-variational model for the two populations at war, taking into account structural parameters such as the relative fit of the two populations with respect to the available resources and the effectiveness of the attack strikes of the aggressive population. The analysis that we perform is rigorous and focuses on the dynamical properties of the system, by detecting and describing all the possible equilibria and their basins of attraction. Moreover, we will analyze the strategies that may lead to the victory of the aggressive population, i.e. the choices of the aggressiveness parameter, in dependence of the structural constants of the system and possibly varying in time in order to optimize the efficacy of the attacks, which take to the extinction in finite time of the defensive population. The model that we present is flexible enough to also include technological competition models of aggressive companies releasing computer viruses to set rival companies out of the market. This is a joint work with E. Affili, S. Dipierro and L. Rossi.

Let be a convex planar domain; is it possible to deform in such a way that the length of every periodic orbit of the billiard system inside is preserved? Isometric deformations trivially satisfy this prescription; we say that is dynamically spectrally rigid if no other deformation satisfies this prescription. It has been conjectured by Sarnak in the early 1990’s that every (convex) domain with smooth boundary should be spectrally rigid. In this talk we will see the proof that any sufficiently (finitely) smooth -symmetric strictly convex domain sufficiently close to a circle is dynamically spectrally rigid (within -symmetric domains). Our strategy associates to each domain a corresponding Linearized Isospectral Operator. Studying functional properties (injectivity) of this operator gives information about spectral rigidity of the associated domain. We show that this property holds for every domain sufficiently close to the circle. The construction is explicit and generalizations are expected in further work in progress. Moreover, thanks to the concrete nature of the functional-analytic problem, numerical explorations and computer-assisted approaches have been successfully investigated.

Le but de cet exposé est de présenter "l’hypothèse du cobordisme". Ce théorème établit une correspondance entre les théories des champs quantiques et topologiques (TCQT) et les objets dualisants d’une certaine catégorie. Les TCQT, issues de la physique, nous intéressent car elles nous renseignent sur la structure des variétés et permettent d’en extraire des invariants. Les notions intervenant dans ce théorème seront progressivement définies dans cette présentation. On terminera par une application de ce résultat.

In developmental biology, the mechanisms by which an organ knows when it has reached its adult size and shape and stops growing are still poorly understand. Among a lot of explanations, the role of mechanical feedback has emerged. In some tissue, mechanical forces such as stretching and compression may arise during the development due to segregation of different type of cell. We propose a model for two interacting populations of cells which avoid mixing. The dynamics is driven by pressure and cohesion forces on the one hand and proliferation on the other hand. To prevent the mixing of the populations the model incorporates a repulsion force that enforces segregation. We study the influence of the model parameters thanks to one-dimensional simulations using a finite-volume method. In addition, following earlier works on the single population case, we show that the model approximates a free boundary Hele Shaw type model that we characterise using both analytical and numerical arguments. Finally, on two dimensional simulation we observe the the mechanical stress arising in the in biological tissue.

The voting system that is most commonly used in political elections (the first-past-the-post system FPTP) has major defects : for example, it yields compromising dilemmas and tactical voting. Does there exist voting systems that do not share these defects ? Is there even an optimal system, say with respect to robustness to manipulability ? Mathematics provide certain pieces of answer to these questions. My talk will present some of these results and describe certain voting systems that are considered more relevant and more democratic that the usual FPTP. The presentation should be very accessible, as it only relies on rather elementary mathematics.

Un des objectifs de ces travaux en cours faits en collaboration avec L. Foissy, P.-L. Giscard et M. Ronco est de construire de manière algébrique les chemins d’un graphe donné à partir des chemins élémentaires que sont les cycles simples et les chemins auto-évitants. Il existe une construction combinatoire déterminée par P.-L. Giscard, S.J. Thwaite et D. Jaksch. Leur construction repose sur les règles de suppression de boucles de Lawler et un produit de greffe décrit par P.-L. Giscard. Malheureusement, le produit ne satisfait pas la relation d’associativité, la relation pré-Lie ou la relation de crochet de Lie. Nous avons donc construit un coproduit co-pré-Lie à partir des règles de Lawler et du produit que nous avons étendu en algèbre de Hopf. L’objectif de cet exposé sera de présenter cette algèbre de Hopf. Nous commencerons d’abord par définir les règles de suppression de boucles de Lawler et le produit . Nous expliciterons ensuite le coproduit pré-Lie et la structure d’algèbre de Hopf construite sur les chemins de graphes. Nous expliquerons enfin, via un morphisme d’algèbres de Hopf, comment considérer les chemins à partir de chemins spéciaux appelés cactus.

Dans cet exposé je présenterai des travaux autour de la modélisation mathématique de fluides complexes actifs dans lesquels l’activité provient de structures fines appelées cils. C’est le cas par exemple du mucus bronchique, mis en mouvement par le battement coordonné de cils nappant les parois des bronches. Ce mécanisme, appelé transport mucocilaire, est nécessaire à l’évacuation des impuretés inhalées et de nombreuses pathologies - asthme, bronchite chronique - résultent de son dysfonctionnement. L’étude de ce mécanisme comporte des aspects de modélisation, d’analyse et de calcul, en lien avec des applications potentielles en médecine. Notre objectif est de proposer un outil d’analyse et de simulation numérique permettant d’étudier l’impact sur ces fluides biologiques du battement des cils et la dépendance de certains paramètres comme leur densité ou la viscosité du fluide. Étant donné que nous souhaitons pouvoir faire des simulations à grand nombre de cils, il nous faut considérer un modèle d’interaction fluide-structure impliquant un coût de résolution réduit, mais suffisamment complet pour permettre de reproduire les mouvements collectifs émergeant dans ces fluides. Je présenterai deux modèles de différente complexité, ainsi que différentes stratégies numériques pour les résoudre, et je montrerai les dynamiques collectives reproduites par nos simulations.

Une suite -automatique est une suite qui peut être calculée par un automate fini de la manière suivante : le -ième terme de la suite est fonction de l’état atteint par l’automate après lecture de la représentation de l’entier en base . Ces suites peuvent également être obtenues à partir du point fixe d’une substitution de longueur . Je montrerai qu’il existe des familles de suites automatiques qui, malgré leur description très simple, ont les mêmes corrélations d’ordre qu’une suite i.i.d. de symboles choisis uniformément au hasard. Plus précisément, pour tout entier , et pour tout couple de symboles, la proportion asymptotique d’entiers pour lesquels est égale à , où est le nombre de symboles. La preuve repose sur des ingrédients simples et se généralise à des suites multi-dimensionnelles. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Thomas Stoll et Pierre-Adrien Tahay.

Embedding calculus of Goodwillie and Weiss is a certain homotopy theoretic technique for studying spaces of embeddings. When applied to the space of knots this method gives a sequence of knot invariants which are conjectured to be universal Vassiliev invariants. This is remarkable since such invariants have been constructed only rationally so far and many questions about possible torsion remain open. In this talk I will present some explicit computations and outline why these knot invariants are surjections. This confirms one half of the universality conjecture, and confirms it rationally, and p-adically in a range. We also prove some missing cases of the Goodwillie—Klein connectivity estimates.

L’apparition d’oscillations stables dans un réseau de neurone est un des phénomènes clefs du fonctionnement d’un cerveau, humain ou animal. Ces comportements périodiques autonomes ont été observées dans de nombreuses études et il a été prouvé qu’elles jouent un rôle majeur dans des phénomènes vitaux comme la respiration. S’il arrive que l’activité spontannée soit le fait de neurones qui oscillent de façon intrinsèque, il arrive qu’une activité complexe prennent forme par le seul jeu des interractions entre les neurones. Ce second cas est très difficile à comprendre sans l’aide de modèles mathématiques simples, cohérents et auto-contenus. Dans cet exposé, je présenterai plusieurs modèles aux dérivées partielles non-linéaires qui proviennent de techniques de champ moyen appliquées à des systèmes de particules. Je m’attarderai en particulier sur le modèle dit Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire (une équation de type Fokker-Planck non-linéaire et non-locale) pour lequel nous avons récemment démontré, mes collaborateurs, mes collaboratrices et moi-même, des résultats partiels sur l’existence et la forme d’oscillations périodiques stables.

Dans cet exposé j’expliquerai des résultats et des techniques de renormalisation pour la famille de Hénon. Les conséquences de ces résultats enrichissent le zoo des phénomènes apparaissant dans les familles d’allure de Hénon, avec pour locus des laminations de codimensions finies. Les techniques seront basées sur de la dynamique réelle et complexe sur des algèbres de Banach.

Les foncteurs de bi-ensembles simples sur un corps F sont paramétrés par les couples , où est un groupe fini, et une représentation simple sur du groupe d’automorphismes extérieurs de . Lorsque F est un corps de caractéristique 0, je décrirai certaines conséquences sur la structure de et résultant de l’existence d’une extension non-scindée entre des simples paramétrés par et . Je décrirai aussi toutes les extensions du foncteur simple paramétré par (isomorphe au foncteur des représentations rationnelles à coefficients dans ) par un foncteur simple arbitraire. Je montrerai comment des résultats similaires peuvent être établis lorsque est un corps de caractéristique 2 pour les foncteurs restreints aux groupes d’ordre impair.

L’objectif de ces travaux est de construire et analyser des schémas numériques capables de discrétiser les solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques avec terme source. La propriété principale recherchée dans ces travaux est la préservation de l’asymptotique, c’est-à-dire que les schémas développés doivent rester précis en régime de diffusion, à savoir en temps long et terme source raide. La première partie de cet exposé est consacrée à la présentation d’un résultat de convergence numérique rigoureux pour un schéma discrétisant les solutions du p-système. Le taux de convergence ainsi obtenu est exprimé explicitement et est en accord avec les résultats déjà connus dans les cadres continu et semi-discret. La seconde partie de cet exposé est dédiée à la présentation de deux schémas préservant l’asymptotique pour les équations de Saint-Venant avec terme source de friction de Manning. A la différence du p-système, l’opérateur de dérivation intervenant dans la limite de diffusion est non linéaire, ce qui rend plus difficile le développement de schémas capables de la préserver. La première méthode exposée est développée à partir d’une discrétisation HLL dans laquelle de la viscosité numérique bien choisie a été ajoutée pour que, à la limite, celle-ci discrétise l’asymptotique correcte. Le deuxième schéma présenté est, lui, construit de sorte à ce que tous les états stationnaires soient préservés. Je montrerai qu’une simple modification dans la discrétisation du terme source permet également à ce schéma de préserver la limite de diffusion. Ce travail exhibe un lien entre la préservation des états stationnaires et celle de l’asymptotique de diffusion qui sont, à la base, deux propriétés de natures très différentes.

Non-statistical dynamics are those dynamical systems for which a large subset of points in the phase space (positive measure subset) have non-statistical behavior, meaning that the orbit of these points does not have asymptotic distribution in the phase space. We introduce two new classes of these kinds of dynamics: non-statistical rational maps on the Reimann sphere and non-statistical Anosov-Katok maps of the annulus. We then give a general formalization of the notion of "statistical (in)stability" and show how it is connected to the existence of non-statistical dynamics in a general family of maps.

We are trying to understand the variation of the sum of digits when we add a fixed integer written in base  : it gives informations on the number of carries created during such an addition. We are particularly interested in the asymptotic properties of this variation : for which density is the variation a particular integer ? To answer this question, we will place ourselves in a more general space than the natural numbers : the -adic integers and more precisely, in the context of the odometer. We will take the opportunity to introduce the very practical Rokhlin towers of this dynamical system. Finally, we will state a CLT related to the above question and which extends a result of Emme and Hubert. On cherche à comprendre la variation de la somme des chiffres quand on ajoute un entier écrit en base  : elle donne des informations sur le nombre de retenues créées pendant une telle addition. On s’intéresse en particulier aux propriétés asymptotiques de cette variation : pour quelle densité la variation vaut elle un certain entier relatif ? Pour y répondre, on se placera dans un cadre plus général que les entiers naturels : les entiers -adiques et plus précisément, dans le cadre de l’odomètre. On en profitera pour introduire les très pratiques tours de Rokhlin de ce système dynamique. Enfin, on énoncera un TCL en lien avec la question plus haut et qui étend un résultat de Emme et Hubert.