Séminaires A3 en 2025

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème inverse posé sur un réseau en forme d'arbre où nous avons sur chaque arête l'équation des ondes avec potentiel, les nœuds externes ont des conditions aux limites de Dirichlet et les nœuds internes suivent la loi de Kirchoff. L'objectif principal est la reconstruction du potentiel partout sur le réseau, à partir de mesures de Neumann sur tous les sommets externes sauf un. En tirant parti de la stabilité Lipschitzienne de ce problème inverse, nous visons à fournir un algorithme de reconstruction efficace basé sur l'utilisation d'une estimation de Carleman globale appropriée. Il s'agit d'un travail commun avec Lucie Baudouin, Maya de Buhan et Emmanuelle Crépeau.

Dans cette présentation, nous nous intéressons aux écoulements stationnaires de fluides visqueux et incompressibles autour d'un obstacle, décrits par les équations de Stokes. On suppose une condition de glissement du fluide au bord de l'obstacle décrit par les conditions de bord de type Navier. Le caractère non borné du domaine de l'écoulement, nous amène à étudier le problème dans le cadre des espaces de Sobolev à poids, afin de contrôler le comportement à l'infini des solutions. Nous présenterons des résultats d'existence et d'unicité de solutions dans ces espaces. Un point clé dans l'analyse est l'établissement d'inégalités de Korn à poids.

We briefly recall the classical ARZ second order model for vehicular traffic, and we describe how it can be modified to take into account the presence of obstacles and heterogeneity of the road. Then, we present some results on the theoretical and numerical investigation of the resulting systems of PDEs. Our approach exploits recent advances on scalar conservation laws with point wise constrained or discontinuous flux, but the particular structure of the system asks for specific technical solutions and some relevant questions remain open.

Meta-materials are artificially designed materials exhibiting specific behaviors that do not exist in nature (for instance, negative permeability or permittivity, near zeros index). There are typically made of a three-dimensional periodic arrangement of small resonators. Metasurfaces can be seen as the bi-dimensional counterpart of those metamaterials: they consist of a two dimensional array of scatterers, whose period and thickness are small in comparaison with the wavelength of the incident wave. A classical example of metasurface is the Faraday Cage, made of a mesh of thin wires, and has the ability to block electromagnetic-waves. In this talk, I will first present the derivation of 2D and 3D asymptotic models that can rigorously approximate the meta-surfaces while ensuring relatively low computational cost. Then, I will also discuss the direct simulation of the full structures based on a domain decomposition approach.

Dans cet exposé je décrirai des résultats relativement récents concernant différents aspects (théorie bien posée, approximation numérique, optique géométrique...) des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques posés dans une bande. La géométrie d'étude classique, celle du demi-espace, constitue une question ancienne qui apparait dans la littérature en 70 avec le travail fondateur de Kreiss. A l'heure actuelle cette géométrie peut être qualifiée de bien comprise grâce aux nombreux travaux qui lui ont été dédiés (Coulombel, Guès, Métivier, Rauch, Secchi, Serre...). Les choses sont néanmoins beaucoup moins tranchées dans la géométrie de la bande qui est une géométrie qui a été quelque peu négligée dans la littérature et ce malgré les applications physiques qu'une telle géométrie peut permettre de considérer (guide d'ondes, vagues dans un canal...). De plus dans un tel cadre la solution développe des phénomènes qui lui sont propres comme par exemple l'auto-interaction des phases. En effet, contrairement à la géométrie du demi-espace où après une réflexion contre le bord du demi-espace un train d'onde va s'échapper à l'infini, dans la géométrie de la bande ce dernier se verra être réfléchi sur l'autre face et sera donc répété périodiquement au cours du temps. Dans cet exposé nous nous pencherons plus en détails sur l'influence d'un tel comportement de la solution sur les différents aspects de la théorie.

We present an extension of the results obtained by Colombo and Perrollaz regarding the set of inverse designs for a class of scalar conservation laws with compact space dependency. The key ingredients are the notion of generalized characteristics of Dafermos and the correspondence with the associated Hamilton-Jacobi equation. Numerical simulations are presented to highlight the differences with the homogeneous case.

In order to describe the behaviour of an elastic material undergoing fracture we can use a variational model and the so-called Mumford-Shah energy defined on a subspace of SBV functions. One difficulty is that the critical points of this energy are difficult to approximate by numerical methods. One can then think of approximating the Mumford-Shah energy by another energy defined on a space of more regular functions (H1-functions) : the Ambrosio-Tortorelli energy. It is known since the pioneer work of Ambrosio-Tortorelli that the minimizers of this energy converge towards minimisers of the Mumford-Shah energy. In this talk we will show that, under an assumption of convergence of the energies, critical points of the Ambrosio-Tortorelli energy also converge to critical points of the Mumford-Shah energy. This is a joint work with Jean-François Babadjian (Université Paris-Saclay) and Vincent Millot (Université Gustave Eiffel Paris-Est Créteil).

Un problème d'optimisation topologique pour le mécanique des fluides consiste à déterminer la localisation et les paramètres physiques d'un solide au sein d'un fluide afin de minimiser un critère. Les effets de flottabilité seront pris en compte avec le système de Navier-Stokes sous l’approximation de Boussinesq couplé à une équation d'advection-diffusion pour la température. Dans cet exposé, on présentera un résultat d'existence d'au moins une localisation optimale pour un problème d'optimisation topologique visant à minimiser un critère général. Des exemples numériques seront également proposés afin d'illustrer quelques difficultés inhérentes à la résolution numérique de ce type de problème d'optimisation. L'exposé terminera avec l'optimisation topologique d'un canal asymétriquement chauffé permettant de modéliser un mur Trombe dont on cherchera une forme optimisée permettant, conjointement, de maximiser les transferts thermiques tout en minimisant les pertes de charge.

On commencera par rappeler les origines des lois de conservation hyperboliques et on fournira quelques exemples classiques issus de divers domaines d'applications. On exposera ensuite rapidement la théorie des solutions entropiques qui permet de prendre en compte la présence d'ondes de choc et d'obtenir un semigroupe de solutions. Dans ce cadre fonctionnel, il est alors facile de voir que l'évolution devient irréversible. Dans une seconde partie on va s'intéresser au cadre des lois de conservation scalaires unidimendisionnelles lorsque le flux est spatialement non homogène. On explicitera la correspondance avec les solutions de viscosité d'une équation de Hamilton-Jacobi. On présentera au passage une solution du problème de Cauchy pour les deux équations. On montrera en particulier les difficultés spécifiques au cadre non homogène et comment les résoudre. Dans une dernière partie, on exposera des résultats de contrôle en boucle fermée. En effet, en plus des solutions constantes, le cadre des solutions entropiques permet d'obtenir l'existence de solutions stationnaires intéressantes: les chocs dont la vitesse de propagation est nulle. Même dans le cadre scalaire unidimensionnel, ces équilibres sont instables. On montrera comment utiliser les données aux bords pour les stabiliser asymptotiquement à vitesse exponentielle.

Dans cet exposé, nous présenterons une hiérarchie de modèles mathématiques pour la simulation numérique de structures fines actives dans un fluide visqueux et son application à la clairance mucociliaire. Notre objectif est, d'une part, de simuler précisément de grandes forêts de cils et d'analyser leur effet sur l'écoulement et, d'autre part, d'étudier l'ensemble du processus dans l'arbre bronchique. Dans un modèle 3D, nous décrivons les cils individuellement et étudions leurs actions conjointes sur le fluide (constitué de la PCL et du mucus). Le modèle est construit sur 1. une paramétrisation du mouvement prescrit des cils incluant l'onde métachronale qui traverse la forêt, 2. des forces hydrodynamiques évaluées par la slender body theory associées à la représentation 1D des cils, 3. la persistance de la structure bifluide par un mécanisme de tension superficielle entre la couche périciliaire et le mucus. Il en résulte un problème de Stokes 3D non local avec des termes source singuliers, en raison de l'action des cils 1D sur le fluide. À partir du modèle 3D, nous justifions également un modèle 1D moyenné en espace, décrivant la dynamique de la vitesse moyenne du mucus propulsé par les cils : le modèle 1D inclut non seulement la motilité ciliaire mais aussi l'influence de l'air comme mécanisme de transport du mucus. Dans le cadre d'un arbre bronchique symétrique construit sur les données morphométriques, le modèle 1D permet notamment d'étudier la dynamique du mucus dans l'arbre bronchique (de la trachée jusqu'aux générations pré-acinus) et le transfert de mucus entre générations, pour différents régimes de respiration (respiration normale ou exercice). Les deux modèles (3D, 1D) permettent d'étudier l'influence de paramètres critiques (rhéologie, motilité ciliaire, densité de cils, taux de sécrétion de mucus, air...) sur l'efficacité du transport.

Les tenseurs sont des objets qui apparaissent naturellement dans la discrétisation de problèmes en grande dimension. Les trains de tenseurs sont un format de tenseurs qui généralisent naturellement la SVD pour les tenseurs. Je présenterai comment les trains de tenseurs peuvent être appliqués pour la résolution d’EDP en grande dimension ou pour des problèmes elliptiques en petite dimension. Je finirai par quelques contributions sur la gestion des symétries avec les trains de tenseurs.

Plasma sheaths are inhomogeneous equilibrium that form when a plasma is in contact with an absorbing wall. We prove linear and non linear stability of a kinetic sheath equilibrium for a Vlasov-Poisson type system in a bounded interval. Notably, in the linear setting, we obtain exponential decay of the fluctuation provided the rate of injection of particles at equilibrium is smaller that the rate of absorption at the wall. In the non linear setting, we prove a similar result for small enough equilibrium and small localized perturbation of the equilibrium.

TBA

T.B.A.

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