Séminaires A3 en 2021

Le but de cet exposé est de présenter des résultats obtenus en collaboration avec Ansgar Jüngel concernant la construction et l’étude d’un schéma volume fini pour le modèle de diffusion-croisée de Shigesada-Kawasaki-Teramoto (SKT) intervenant en dynamique des populations. Pour cela nous exposerons dans un premier temps une méthode d’entropie permettant d’obtenir des résultats d’existence de solutions faibles positives et globales en temps pour certains systèmes de diffusion-croisée. Puis nous expliquerons comment définir un schéma volume fini pour le modèle SKT préservant cette méthode entropique au niveau discret. Cela nous permettra de prouver l’existence de solutions positives au schéma et sa convergence.

New nonlinear and dispersive equations describing fluid flow in vessels with cylindrical symmetry and viscoelastic walls are derived using asymptotic techniques. The new equations are employed for studies of laminar flow in vessels with non-constant radius. The effects of vessels walls viscoelasticity are also explained.

On s’intéresse aux algorithmes de décomposition de domaines de Schwarz (sans recouvrement) pour le problème de Navier-Stokes incompressible ; on choisit de discrétiser le problème à l’aide de la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui permet de considérer des maillages généraux et de reconstruire à niveau discret les propriétés des opérateurs différentiels continus. On propose des conditions de transmissions appropriées entre sous-domaines pour la vitesse et la pression, qui nous permettent d’établir le caractère bien posé des schémas proposés et la convergence des algorithmes itératifs. On montre comment les flux numériques influencent le problème asymptotique, qui est censé être une discrétisation des équations de Navier-Stokes sur le domaine de calcul entier. Pour terminer, on étudie le comportement de l’algorithme à l’aide de tests numériques.

In this talk, we study the problem of modelling species interactions in a space that is potentially heterogeneous. After a brief recall on species interactions in ecology and graph theory, we will focus on graphical models, a class of statistical models encoding conditional independence through graphs. Such models are often used in ecological modelling to try to infer species interactions from occurence data. We will use them to build probabilistic models describing colonisation-extinction processes on a spatial network involving several species interacting trough a network. After presenting results on the probabilistic model (dimension reduction using graph orbits), we will study the deterministic approximation and characterize the dynamics analytically in parameter space by introducing the metacommunity capacity concept. Joint work with Wilfried Thuiller, François Munoz, François Massol, Jimmy Garnier and Laurent Vuillon.

In this talk, we study the problem of initial data identification for the one-dimensional Burgers equation. This problem consists in identifying the set of initial data evolving to a given target at a final time. Due to the time-irreversibility of the Burgers equation, some target functions are unattainable from solutions of this equation, making the inverse problem under consideration ill-posed. To get around this issue, we introduce a non-smooth optimization problem which consists in minimizing the difference between the predictions of the Burgers equation and the observations of the system at a final time in L^2(R) norm. The two main contributions of this work are as follows. - We fully characterize the set of minimizers of the aforementioned non-smooth optimization problem. - A wave-front tracking method is implemented to construct numerically all of them. One of minimizers is the backward entropy solution, constructed using a backward-forward method.

Dans cet exposé, nous nous placerons dans le cadre du trafic piéton et nous présenterons un modèle permettant de décrire la chute de capacité (c’est-à-dire le flux de piétons maximal par unité de temps) d’une sortie de salle lors d’une évacuation. Le modèle repose sur une loi de conservation et la capacité de la sortie est décrite par une contrainte sur le flux, qui est supposée non locale. La chute de capacité se produit pour les hautes densités de piétons exprimant la congestion de la sortie. Par des simulations numériques, nous montrerons que le modèle est capable de reproduire deux effets paradoxales liés à la chute de capacité et qui ont déjà été observés et reproduits expérimentalement : l’effet "Faster-Is-Slower" qui stipule qu’une augmentation de la vitesse des piétons peut entraîner une augmentation du temps d’évacuation, et une variante du "paradoxe de Braess" qui indique que placer un obstacle avant la sortie peut faire diminuer la pression des piétons sur la sortie et entraîner une réduction du temps d’évacuation. Ces travaux sont en collaboration avec Boris Andreianov, Carlotta Donadello et Massimiliano Rosini.

We propose a simple model for a two-phase flow with a diffuse interface. The model couples the compressible Navier-Stokes system governing the evolution of the fluid density and the velocity field with the Allen-Cahn equation for the order parameter. We show that the model is thermodynamically consistent, in particular, a variant of the relative energy inequality holds. As a consequence, we show the weak-strong uniqueness principle, meaning any weak solution coincides with the strong solution emanating from the same initial data on the life span of the latter. Such a result plays a crucial role in the analysis of the associated numerical schemes. The weak-strong uniqueness principle allows us also to perform the low Mach number limit obtaining the standard incompressible model.

First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.

Dans cette présentation je montrerai quelques résultats autour de l’équation de Lifshitz-Slyozov. J’expliquerai comment cette équation de transport couplée à une loi de conservation intégrale, qui prend ses origines dans des problèmes de physique statistique, a été amenée à être reconsidérée en prenant en compte une condition de bord pour ses applications à la biologie. Après une introduction sur ces aspects de modélisation, je parlerai des limites d’échelles qui permettent de « trouver » la condition de bord. Puis, je montrerai par un traitement des courbes caractéristiques comment construire une solution et en extraire certaines informations. Je terminerai par quelques questions ouvertes.

Dans cette présentation, nous nous intéressons à l’évolution d’un pathogène, qui libère des spores afin de contaminer des populations de vignes. Ces spores sont elles-mêmes structurées en trait phénotypique, permettant au pathogène de muter en changeant de trait. De ce modèle d’épidémiologie évolutive ainsi obtenu, nous discutons dans un premier temps l’existence d’équilibre endémique. Puis, en introduisant un petit paramètre ε caractérisant la variance du noyau de mutation, nous décrivons la forme asymptotique des équilibres, selon ε. En particulier, nous montrons que la distribution des spores converge vers une mesure de Dirac concentrée autour du maximum d’une fonction de fitness du pathogène, pour chacune des populations de vignes. De cette description asymptotique, nous déduisons un résultat d’unicité pour l’équilibre endémique, à l’aide d’un argument de degré topologique.

L’existence de neurones spécifiques, appelées cellules de grille, permettant à un mammifère de cartographier l’espace dans lequel il évolue, a été mise en évidence en 2005 par Hafting, Fyhn, Molden, Moser et Moser pour lesquels ils ont reçu le Prix Nobel de Physiologie ou Médecine en 2014. Chez les rats, ces neurones s’allument sur un réseau triangulaire (aussi appelé hexagonal) lors de leur déplacement. Dans cet exposé, j’expliquerai tout d’abord comment définir l’erreur d’encodage de l’information transitant dans le cerveau à partir de ces neurones. Le modèle présenté est basé sur une distribution spatiale Gaussienne périodique (sur un réseau) de l’information ainsi que sur l’hypothèse que les neurones sont indépendants et suivent une loi de Poisson. L’erreur d’encodage sera exprimée en terme de fonctions thêtas du réseau, solutions de l’équation de la chaleur sur le tore plat. Après avoir expliqué les différentes propriétés connues de ces fonctions thêtas - travaux en collaboration avec Mircea Petrache (UPC Chili) et Hans Knüpfer (Université de Heidelberg) -, différents éléments théoriques et numériques concernant la minimalité de l’erreur d’encodage pour le réseau triangulaire seront exposés. Mots-Clés : Mathématiques Biologiques, Neuroscience, Calcul des Variations, Energies de réseaux, Théorie de l’Information, Equation de la chaleur, Optimisation.

Nous considérons l’équation de Schrödinger (stationnaire) non-linéaire dans le demi-espace avec des conditions au bord du type Dirichlet non-homogènes. Nous analysons l’existence, la non-existence et la multiplicité de solutions bornées, régulières et positives. Nous montrons que l’existence et la multiplicité dépendent de manière décisive de la valeur au bord et aussi de la dimension. Le séminaire est basé sur un travail en collaboration avec Tobias Weth.

Dans leur papier de 2015, Dolbeault, Esteban et Loss ont démontré la symétrie des maximiseurs de l’inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg en dehors de la zone de Felli-Schneider à l’aide de flots et d’entropies (généralisées) bien choisis. Un des points importants de leur approche est que l’inégalité de CKN peut être vue comme une inégalité de Sobolev dans une variété à poids. On exploite ce fait, ainsi que l’équivalence classique entre l’inégalité de Sobolev sur l’espace euclidien et sur la sphère à travers la projection stéréographique, afin de démontrer d’autres inégalités sur des variétés à poids. C’est une jolie (et nouvelle) application de la méthode de Bakry-Émery. (Travaux en cours avec Louis Dupaigne et Ivan Gentil (ICJ, Lyon))

La dynamique des populations d’agents pathogènes qui envahissent de nouvelles régions reste une préoccupation majeure pour les biologistes et les mathématiciens. Des recherches approfondies sont principalement menées par le biais de la modélisation mathématique pour reconstruire la dynamique passée de l’espèce exotique. Dans cet exposé, nous présentons une approche mécanistico-statistique permettant de dater et de localiser l’invasion d’une espèce exotique et de décrire d’autres paramètres épidémiologiques comme par exemple, le paramètre de diffusion, de reproduction et de mortalité. L’approche utilisée est basée sur (i) un sous-modèle couplé réaction-diffusion-absorption qui décrit la dynamique des épidémies dans un domaine hétérogène et (ii) un sous-modèle stochastique qui représente le processus d’observation. Ensuite, nous estimerons conjointement les conditions initiales (date et site) et les paramètres épidémiologiques en utilisant un cadre Bayésien par le biais d’un algorithme d’ échantillonnage ’adaptive multiple importance sampling algorithm’. Nous montrerons les résultats obtenus dans ce cadre sur la base d’abondantes données post-introduction recueillies pour établir un plan de surveillance de l’expansion de Xylella fastidiosa, une bactérie phytopathogène détectée en Corse du Sud en 2015. Néanmoins, cette approche pourrait être appliquée à d’autres espèces post-émergentes afin de favoriser une réaction rapide.

In this talk, I will demonstrate our approach towards constructing a slightly regularized version of the hyperbolic system of nonlinear shallow water equations. The particularity of our approach is that we succeed in regularizing solutions without introducing nor dispersion neither dissipation into governing equations. Moreover, the regularized system formally possesses the energy conservation law as long as a Hamiltonian formulation (though, a non-canonical one). The obtained system was shown to possess cusped travelling waves. The numerical behaviour and mathematical properties of the derived system will be highlighted within the limits of our current understanding. More precisely, the local well-posedness theory seems to be complete and the energy dissipation mechanism for weakly singular solutions seems to be equally understood. The latest developments over general (but smooth) bottoms will be presented as well. This work was done in collaboration with Professors D. Clamond, D. Mitsotakis and R. Pego.

Dans cet exposé, nous étudions une classe de problèmes d’évolution dissipatifs, déterminés par des réseaux complexes de systèmes de réaction-diffusion. Après avoir présenté des conditions qui garantissent l’existence de solutions globales, nous montrons que la dynamique asymptotique en temps long de ces réseaux complexes peut être décrite par une famille d’attracteurs exponentiels et donnons plusieurs estimations de leur dimension fractale. Des conditions suffisantes de synchronisation du réseau sont également discutées. Nous nous intéressons enfin à plusieurs applications de cette classe de problèmes, avec entre autres un modèle de comportements humains et un modèle d’espèces en compétition vivant en habitat fragmenté.

Je présenterai l’étude de la limite singulière d’une équation d’Allen-Cahn stochastique avec un terme de diffusion non linéaire. On considère le cas d’un bruit régulier qui est la dérivée d’un mouvement brownien approché. On démontre que le problème limite fait intervenir le mouvement par courbure moyenne stochastique, en étendant des résultats d’Alfaro, Antonopoulou, Karali et Matano qui, à leur tour ont étendu les résultats de Funaki et Weber. Je présenterai tout d’abord une preuve pour la génération de l’interface et ensuite un résultat de mouvement d’interface en construisant des sous et sur-solutions adaptées. Ce travaille a été effectué en collaboration avec Danielle Hilhorst, Yong Jung Kim et Hyun Joon Park.

L’histoire des méthodes numériques d’intégration en temps de problèmes d’évolution remonte au moins aux travaux de Runge et Kutta au début du siècle précédent, si ce n’est à Euler lui-même. Le formalisme des méthodes à un pas consiste à construire, à partir d’une approximation de la solution exacte du problème au temps , une approximation de la solution exacte au temps . Ces méthodes, quand elles sont implicites, conduisent à la résolution a chaque étape d’un système d’équations, en général non linéaire. Avec Ingrid Lacroix-Violet, nous avons développé une classe de méthodes linéairement implicites, c’est-à-dire pour lesquelle le calcul de à partir de ne recquiert que la résolution d’un système linéaire (même si l’équation d’évolution est, elle-même, non linéaire). De plus, nous avons analysé l’ordre de ces méthodes et proposé des moyens de construire de telles méthodes d’ordre arbitrairement élevé. L’enjeu de cet exposé est de présenter la construction et l’analyse de ces méthodes, dont on montrera également que certaines permettent de traiter des EDP d’évolution ainsi que leurs discrétisations en espace, en prenant pour exemple des équations de la chaleur et de Schrodinger non linéaires.

Nous verrons comment la théorie de Doeblin-Harris pour l’étude des semi-groupes de Markov peut-être étendue au cadre non-conservatif via une technique de renormalisation d’inspiration probabiliste. Cette méthode permet d’obtenir des résultats quantitatifs de type Krein-Rutman pour des EDP linéaires qui préservent la positivité. Nous illustrerons le résultat général sur des équations non-locales qui apparaissent en dynamique des populations.

Après avoir brièvement rappelé le contexte des modèles multi-agents, nous mettrons en évidence l’importance du caractère non symétrique du système permettant d’identifier la valeur du consensus, puis d’obtenir le taux optimal (pour une donnée initiale quelconque) de convergence exponentielle vers ce consensus.

La planification et la gestion des réseaux de distribution d’électricité a pour objectif l’acheminement de l’électricité depuis le réseau de répartition jusqu’aux onsommateurs, tout en garantissant un bon niveau de qualité, de sécurité et un coût le plus bas possible. La meilleure stratégie de gestion peut alors être vue comme la solution d’un problème d’optimisation, où l’on cherche à minimiser une fonction représentant un objectif économique ou technoéconomique, sous certaines contraintes physiques du réseau. Cet exposé sera divisé en deux parties. Dans la première partie, on présentera deux problèmes d’optimisation issus de la modélisation macroscopique du réseau, dans laquelle la spatialité du réseau n’est pas considérée. Ensuite on proposera un algorithme de type fenêtre glissante permettant de réduire le temps de calcul. Dans la deuxième partie, on étudiera un problème d’optimisation issu de la modélisation microscopique du réseau où la topologie du réseau est décrite de manière réaliste. Ce problème est non-convexe et donc très difficile à résoudre. On propose alors une relaxation convexe de ce problème après l’avoir écrit sous forme matricielle. On démontre deux résultats portant sur les conditions pour que cette relaxation soit exacte.

In this presentation, I will review modeling and data analysis for the female reproductive system, putting emphasis of the intrinsic multiscale nature of this system. At the anatomical level, model efforts have been put to model the temporal fluctuations of the main key players of the reproductive neuro-endocrine system, based on delayed or stochastic differential equations. At the tissular and cellular level, I will present several population dynamical models applied to ovarian follicles development in mammals. The ovarian follicles are the basic anatomical and functional units of the ovaries. One ovarian follicle consists of a population of somatic cells sheltering the germ cell. Deterministic and stochastic structured population dynamics are thus natural object to describe the growth of the somatic cell population inside an ovarian follicle, thereby giving tools to understand the dynamics of follicle growth and maturation. Then, I will present a multiscale model describing the evolution of the population of follicles within the ovaries, focusing on the interactions between follicles all along the reproductive life. This model is a first step and is intended to be further enriched taking into account both dynamics at the anatomical and intra-cellular level. We performed a model reduction based on a separation of time scale, and show qualitative adequacy with biological data of our reduced model.

En profitant du contexte des "Population Balance Equations" ou bien visant le cas particulier des équations de la coagulation-fragmentation on voudra commenter et réviser quelques aspects en rapport avec les lois de conservation hyperboliques, notamment l’approximation par des zéro-limites visco-capillaires. On portera une attention particulière sur l’approche quasi-linéaire des équations de coagulation, non-locales, de Smoluchowski.

On présentera dans cet exposé une nouvelle stratégie pour approcher des solutions de problèmes de Riemann dans le cadre de systèmes hyperboliques de lois de conservation. L’idée étant de considérer le problème de départ comme limite d’un système de dispersion-diffusion, reformulé selon l’approche de la viscosité de Dafermos. Un changement de variable permet de réécrire le problème d’EDP sous la forme d’un système d’EDO. Ce dernier est discrétisé par un schéma aux différences finies d’ordre 4. Des cas tests permettent de valider la méthode et de retrouver des solutions non classiques de problèmes de Riemann. Ce travail a été réalisé en collaboration avec C. Berthon, M. Bessemoulin-Chatard et F. Foucher.

Nous présenterons la méthode des level set (ou courbes de niveau) pour l’optimisation topologique de structures, avec des résultats récents pour des modèles physiques non linéaires comme le contact, la plasticité ou la fracture. Ces derniers résultats sont issus de la thèse de Jeet Desai récemment soutenue, obtenus en collaboration avec Grégoire Allaire.

On propose une interprétation des opérateurs d’amortissements et des techniques de stabilisation de schémas numériques en termes de filtres passe-haut ou passe-bas, suivant les situations. A cet effet, on effectue des décompositions des signaux en parties basses et hautes fréquences, lorsque la discrétisation est effectuée en éléments finis ou en différences finies. Ces techniques permettent de construire de nouveaux opérateurs discrets d’amortissement ou de stabilisation, nous les appliquons aux équations de Cahn-Hilliard, Korteweig-de Vries et Kuramoto-Sivashinsky.

The numerical simulation of non-Newtonian viscoelastic fluids flow is a challenging problem. One of the well known problems is the so called High Weissenberg Number Problem, i.e. the instability of the numerical solution for high values of Weissenberg number. To avoid this situation, often is added the stress diffusion term into the transport equations for viscoelastic stress tensor. Although there is physical, fluid microstructure based argument on addition of such term into the constitutive model, the additional term affect the solution of the problem and special care should be taken to keep the modified model consistent with the original prob- lem. In this work, application of a new tensorial artificial diffusion stabilization was tested. The steady solution is searched by solving an unsteady problem by a time-marching method, where the steady state is recovered for t → ∞, subject to stationary boundary conditions. Instead of the classical addition of artificial stress diffusion term it was used the modified additional term which is only present during the transient phase and should vanish in when approaching the stationary case. The steady solution is not affected by such vanishing artificial term, however the stability of the numerical method is improved.