Séminaires A3 en 2020

To increase the power of a nuclear reactor, steam water quality can be reduced down to 97%. Therefore droplets of liquid form at more than 40 m/s. When pipes are changing direction, those liquid droplets can impact the interior. The high pressure induced by the impact can lead to erosion and damage the pipes. Thus we are interested in estimating the impact pressure by simulating the impact of liquid droplets onto a perfect wall. We use a compressible homogeneous equilibrium model discretized in three steps. To avoid the diffusion of the interface between the two fluids we use a conservative splitting operator approach. It consists in splitting acoustic and transport waves. This allows us to treat separately the two sub-systems. First acoustic system is solved using a Suliciu-like pressure relaxation. Transport system is solved using an anti-diffusive solver, to accurately capture the interface. Finally thermodynamic variables are projected onto thermodynamic equilibrium. We will present numerical results and parallelization strategy using Kokkos library to achieve high performance.

Il a été démontré en laboratoire que certaines espèces de microalgues ont des propriétés intéressantes pour, par exemple, l’épuration de l’eau et la transformation en biofuel. Il est possible de cultiver ces microalgues soit sur des films minces en tapis roulant, soit en bassin ouvert. Avec P.-O. Lamare, J. Sainte-Marie, J. Grenier, H. Bonnefond et Olivier Bernard (équipes inria ANGE et BIOCORE), nous avons proposé des modèles d’EDP couplant la dynamique biologique et hydrodynamique, en vue de l’optimisation du processus de production.

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated" open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

Considérons une équation des ondes avec un double puits de potentiel, en dimension 1+1. On appelle les deux minima du potentiel les “vides”. On appelle “kinks” et “anti kinks” les minimiseurs de l’énergie potentielle parmi tous les états reliant les deux vides. Ce sont des états stationnaires du système. On appelle une "paire kink-anti kink" une solution de l’équation des ondes qui converge en temps grand vers une superposition d’un kink et d’un anti kink, séparé par une distance qui tend vers l’infini. On montre que, aux translations dans l’espace-temps près, il existe l’unique paire kink-anti kink. Je vais formuler rigoureusement ce résultat, donner une interprétation variationnelle des paires kink-anti kink, et présenter le schéma de la preuve. Travail en collaboration avec Michal Kowalczyk et Andrew Lawrie.

La méthode de Boltzmann sur réseau est très largement utilisée pour simuler les équations de la mécanique des fluides comme Navier-Stokes incompressible. Jusqu’à présent la prise en compte de l’équation de conservation de l’énergie était difficile et se limitait à une approximation de type Boussinesq. De nouvelles idées ont permis la construction de schémas capables de simuler des systèmes hyperboliques plus généraux et en particulier Euler complet. Dans cet exposé, nous décrirons quelqu’uns de ces nouveaux schémas en nous intéressant particulièrement à la montée en nombre de Mach (problème très sensible des schémas de Boltzmann sur réseau).

The objective here is a derivation of fully discrete entropy inequalities, which can serve as energy estimates. To address such an issue, we first propose a technique of artificial viscosity to make entropy preserving any first-order finite volume scheme. The required entropy inequality then comes from a suitable control a the artificial viscosity, which control the smoothness of the approximated solutions. This first results are remarkable and they furnish a required estimation to study for the entropy stability of the well-known hydrostatic reconstruction type methods to approximate the weak solutions of the shallow water model.

Les équations de Saint-Venant modélisent les mouvements d’un fluide de faible épaisseur. Les applications sont nombreuses : model océanique, atmosphérique, sédimentation, ... Elles sont généralement résolues en utilisant un schéma en temps explicite (ex : méthode de Runge-Kutta ou Forward-Backward). Le coût en calcul par itération est faible mais le pas de temps est contraint par une condition CFL et un grand nombre de pas de temps doit être effectué. Au contraire, les schémas implicites (ex : θ-schéma) permettent d’utiliser de grands pas de temps cependant un système doit être résolu à chaque itération et ces schémas produisent de la dissipation et de la dispersion numérique. Dans cet exposé, je considérerai les Intégrateurs Exponentiels comme alternative. Ces schémas seront analysés sur l’équations de Saint-Venant linéarisée autour d’un état d’équilibre. Nous étudions en particulier les propriétés de précision et de stabilité de ces méthodes. Les résultats sont comparés à ceux obtenus, dans un cadre semblable, avec un schéma explicite ou implicite. Le coût en calcul est mesuré ainsi que l’influence du pas de temps. Récemment, les intégrateurs exponentiels ont été implémentés sur les équations de Saint-Venant sur une sphère en rotation. De récents cas tests permettent d’analyser les propriétés du schémas pour la propagation d’ondes sphériques.

Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d’un solide dans un fluide visqueux incompressible. On s’intéresse ici à l’évolution d’un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d’énergie.

The property of controllability for the wave equation has been intensively studied, mainly in a smooth framework ( smooth metric and smooth domain ). In this lecture, I will present some results on observability/control for the wave equation with rough coefficients. More precisely, we prove that the property of exact internal or boundary controllability for a wave equation with smooth coefficients is stable with respect to Lipschitz perturbations of the metric. We also consider the case of a C^1 metric ( the hamiltonian field is only continuous ) and we prove the propagation up to the boundary, of semi-classical measures support. The generalized Geometric Control Condition is then sufficient for exact control. This talk comes from joint works with J. Le Rousseau ( Univ. Paris 13 ) and N. Burq ( Univ. Paris Sud ).

Les cristaux photoniques sont des matériaux ayant une structure périodique qui leur permet de contrôler la propagation de la lumière. Du fait de la complexité de la structure (reflexions multiples dues à la périodicité du matériaux), des phénomènes d’interférences destructives peuvent apparaitre à certaines fréquences. Plus précisément, il existe des intervalles de fréquences où des rayons lumineux monochromatiques ne peuvent pas se propager. Par ailleurs, l’introduction de perturbations (linéiques) dans ces milieux peut générer des modes guidés se propageant le long des perturbations. Dans cet exposé, nous étudions des matériaux périodiques particuliers constitués d’un maillage de tubes minces. Nous considérons d’abord le cas de tubes disposés périodiquement dans deux directions orthogonales. A l’aide d’une analyse asymptotique, nous montrons alors que l’introduction d’un défaut linéique dans la structure permet de créer des modes guidés. Nous nous intéressons ensuite au cas d’une structure présentant une symétrie hexagonale (matériaux en nid d’abeille) et nous montrons quelques propriétés remarquables de ce milieu. Le travail présenté est issue d’une collaboration avec Sonia Fliss.

Dans cet exposé, je m’intéresserai au comportement en temps long de schémas numériques pour des équations de convection-diffusion. Il s’agira de schémas linéaires et non linéaires de type volumes finis à 2 points puis de schémas non linéaires DDFV (volumes finis en dualité discrète). Les résultats obtenus s’appuient sur des estimations d’entropie et des inégalités fonctionnelles discrètes.

In the last years, measure solutions to PDE, in particular to model populations, have drawn much attention. The talk will be devoted to the presentation of a recent, unusual result in this field, that we obtained with Pierre Gabriel. First, I will expose some wellposedness and asymptotic results for two famous population equations in the L^p and measure frameworks, and explain the critical case that interested us. Then, I will define the notion of solution we used, and if needed, recall some basic definitions about semigroups. Moving to the proof itself, I will present the main steps of the proof of the wellposedness of the problem, that relies on a duality relation used to build a solution expressed as a semigroup acting on an initial measure. Then, I will go a little more into details of the demonstration of the asymptotic behaviour, namely a convergence in total variation norm toward an oscillating measure.

Dans l’optique d’une collaboration, je présenterai rapidement mes travaux passés. Ma recherche consiste essentiellement à utiliser la modélisation et les mathématiques appliquées pour étudier des problèmes physiques complexes avec des couplages multi-physiques ( comportement mécanique, robotique, écomatériaux, scanner 3D de bâtiments). Je présenterai en particulier un travail sur le flambage de structures élasto-endommageables : modèles standards généralisés, flambage naissant, comportement post-critique pour un problème de type intégro-différentiel. Je conclurai par une brève description du projet que je souhaiterais développer. Il s’agit d’approfondir l’analyse élastique de forme dans des espaces euclidiens de dimension n (« elastic shape analysis »). Cela consiste pour caractériser une courbe à utiliser la fonction SRVF (« square-root velocity function »). Cette SRVF est ensuite interprétée comme un point d’une hypersphère dans un espace hilbertien. Cela donne ensuite un cadre mathématique pour reconnaitre, comparer et déformer des courbes 3D. Les applications sont nombreuses, notamment en santé.

Je présenterai une preuve simple et courte de l’inégalité de Sobolev avec constante optimale. J’expliquerai ensuite la genèse de cette preuve : l’inégalité de Sobolev est une inégalité de convexité faisant intervenir deux entropies de Renyi le long du flot de l’équation de diffusion rapide. Ce dernier peut être réinterprété comme un flot gradient dans l’espace de Wasserstein muni d’une structure (formelle) de variété riemannienne. J’introduirai au passage deux outils : le calcul de Bakry-Emery et le calcul d’Otto. Travail en collaboration avec Ivan Gentil et Simon Zugmeyer.

Le couplage entre le système respiratoire et le système cardio-modérateur peut être modélisé par deux équations de Van der Pol couplées. Certains cas de respirations pathologiques, telle la respiration de Cheyne-Stokes, peuvent également être modélisés par ces équations en ajoutant un forçage. Ainsi, l’étude des solutions d’une large classe d’équations analytiques singulièrement perturbées, à laquelle appartiennent les équations de Van der Pol forcées, permettrait de modéliser une assistance respiratoire optimale. Dans le cas d’un système analytique, il est toujours possible de calculer un développement asymptotique formel de la solution. Cependant, ce développement n’est, en général, pas convergeant et n’est pas nécessairement proche d’une vraie solution. Je présenterai la preuve de l’existence de solutions formelles de type Gevrey qui approchent bien de vraies solutions.

We introduce a new model in population dynamics that describes two species sharing the same environmental resources in a situation of open hostility. The interactions among these populations is described not in terms of random encounters but via the strategic decisions of one population that can attack the other according to different levels of aggressiveness. This leads to a non-variational model for the two populations at war, taking into account structural parameters such as the relative fit of the two populations with respect to the available resources and the effectiveness of the attack strikes of the aggressive population. The analysis that we perform is rigorous and focuses on the dynamical properties of the system, by detecting and describing all the possible equilibria and their basins of attraction. Moreover, we will analyze the strategies that may lead to the victory of the aggressive population, i.e. the choices of the aggressiveness parameter, in dependence of the structural constants of the system and possibly varying in time in order to optimize the efficacy of the attacks, which take to the extinction in finite time of the defensive population. The model that we present is flexible enough to also include technological competition models of aggressive companies releasing computer viruses to set rival companies out of the market. This is a joint work with E. Affili, S. Dipierro and L. Rossi.

In developmental biology, the mechanisms by which an organ knows when it has reached its adult size and shape and stops growing are still poorly understand. Among a lot of explanations, the role of mechanical feedback has emerged. In some tissue, mechanical forces such as stretching and compression may arise during the development due to segregation of different type of cell. We propose a model for two interacting populations of cells which avoid mixing. The dynamics is driven by pressure and cohesion forces on the one hand and proliferation on the other hand. To prevent the mixing of the populations the model incorporates a repulsion force that enforces segregation. We study the influence of the model parameters thanks to one-dimensional simulations using a finite-volume method. In addition, following earlier works on the single population case, we show that the model approximates a free boundary Hele Shaw type model that we characterise using both analytical and numerical arguments. Finally, on two dimensional simulation we observe the the mechanical stress arising in the in biological tissue.

Dans cet exposé je présenterai des travaux autour de la modélisation mathématique de fluides complexes actifs dans lesquels l’activité provient de structures fines appelées cils. C’est le cas par exemple du mucus bronchique, mis en mouvement par le battement coordonné de cils nappant les parois des bronches. Ce mécanisme, appelé transport mucocilaire, est nécessaire à l’évacuation des impuretés inhalées et de nombreuses pathologies - asthme, bronchite chronique - résultent de son dysfonctionnement. L’étude de ce mécanisme comporte des aspects de modélisation, d’analyse et de calcul, en lien avec des applications potentielles en médecine. Notre objectif est de proposer un outil d’analyse et de simulation numérique permettant d’étudier l’impact sur ces fluides biologiques du battement des cils et la dépendance de certains paramètres comme leur densité ou la viscosité du fluide. Étant donné que nous souhaitons pouvoir faire des simulations à grand nombre de cils, il nous faut considérer un modèle d’interaction fluide-structure impliquant un coût de résolution réduit, mais suffisamment complet pour permettre de reproduire les mouvements collectifs émergeant dans ces fluides. Je présenterai deux modèles de différente complexité, ainsi que différentes stratégies numériques pour les résoudre, et je montrerai les dynamiques collectives reproduites par nos simulations.

L’apparition d’oscillations stables dans un réseau de neurone est un des phénomènes clefs du fonctionnement d’un cerveau, humain ou animal. Ces comportements périodiques autonomes ont été observées dans de nombreuses études et il a été prouvé qu’elles jouent un rôle majeur dans des phénomènes vitaux comme la respiration. S’il arrive que l’activité spontannée soit le fait de neurones qui oscillent de façon intrinsèque, il arrive qu’une activité complexe prennent forme par le seul jeu des interractions entre les neurones. Ce second cas est très difficile à comprendre sans l’aide de modèles mathématiques simples, cohérents et auto-contenus. Dans cet exposé, je présenterai plusieurs modèles aux dérivées partielles non-linéaires qui proviennent de techniques de champ moyen appliquées à des systèmes de particules. Je m’attarderai en particulier sur le modèle dit Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire (une équation de type Fokker-Planck non-linéaire et non-locale) pour lequel nous avons récemment démontré, mes collaborateurs, mes collaboratrices et moi-même, des résultats partiels sur l’existence et la forme d’oscillations périodiques stables.

L’objectif de ces travaux est de construire et analyser des schémas numériques capables de discrétiser les solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques avec terme source. La propriété principale recherchée dans ces travaux est la préservation de l’asymptotique, c’est-à-dire que les schémas développés doivent rester précis en régime de diffusion, à savoir en temps long et terme source raide. La première partie de cet exposé est consacrée à la présentation d’un résultat de convergence numérique rigoureux pour un schéma discrétisant les solutions du p-système. Le taux de convergence ainsi obtenu est exprimé explicitement et est en accord avec les résultats déjà connus dans les cadres continu et semi-discret. La seconde partie de cet exposé est dédiée à la présentation de deux schémas préservant l’asymptotique pour les équations de Saint-Venant avec terme source de friction de Manning. A la différence du p-système, l’opérateur de dérivation intervenant dans la limite de diffusion est non linéaire, ce qui rend plus difficile le développement de schémas capables de la préserver. La première méthode exposée est développée à partir d’une discrétisation HLL dans laquelle de la viscosité numérique bien choisie a été ajoutée pour que, à la limite, celle-ci discrétise l’asymptotique correcte. Le deuxième schéma présenté est, lui, construit de sorte à ce que tous les états stationnaires soient préservés. Je montrerai qu’une simple modification dans la discrétisation du terme source permet également à ce schéma de préserver la limite de diffusion. Ce travail exhibe un lien entre la préservation des états stationnaires et celle de l’asymptotique de diffusion qui sont, à la base, deux propriétés de natures très différentes.