Séminaires A3 en 2024

L’analyse de sensibilité est une étape cruciale pour optimiser les paramètres d’un modèle paramétrique. L'objectif est de déterminer la sensibilité des résultats du modèle aux perturbations de ses paramètres d'entrée. Dans cet exposé, je présenterai deux approches d’analyse de sensibilité basées sur la différenciation. En effet, dans le cadre de solutions discrétisées d’équations aux dérivées partielles paramétriques, les sensibilités par rapport à certains paramètres d'intérêt peuvent être directement calculées à partir du problème d'origine, au prix de devoir résoudre un nouveau système pour chacun de ces paramètres : c’est la méthode dite directe. Lorsque cette approche devient trop coûteuse, la méthode dite adjointe est alors une bonne alternative. Il suffit alors de résoudre deux systèmes quelque soit le nombre de paramètres. Afin de réduire le temps de calcul des simulations associées à la résolution de ces deux problèmes de sensibilité, j’introduirai plusieurs techniques de base réduite non intrusives, dérivées de la méthode dite deux-grilles. Ces adaptations seront illustrées numériquement avec deux problèmes modèles, l’équation de la chaleur et le problème du Brusselator, discrétisés par la méthode des éléments finis.

L'exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années '80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d'espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d'outils théoriques généraux qui permettent d'en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s'articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d'appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l'erreur commise et d'être en mesure d'employer la méthode quel que soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d'adapter dynamiquement le réseau ainsi que d'ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées. Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d'algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n'importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies ``correspondante''. Cela permet d'en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

Les gliomes sont des tumeurs cérébrales très répandues et invasives. Hormis les gliomes de grade I qui peuvent être guérissables après une résection totale de la tumeur, le pronostic est défavorable pour les gliomes de grade II à IV, malgré les traitements de radiothérapie et de chimiothérapie. Des études récentes montrent que le lactate joue un rôle important dans la croissance des tumeurs, et des idées de traitements ciblant les lactates émergent. Dans cet exposé je vous présenterai un modèle mathématique qui décrive à la fois l’évolution au cours du temps de la densité des cellules tumorales et la cinétique du lactate dans la tumeur. Il consiste au couplage d’une équation de type Cahn-Hilliard généralisée pour la concentration de lactate, et d’une équation de réaction-diffusion pour la croissance des cellules tumorales. Deux thérapies sont ajoutées au modèle: une chimiothérapie et un traitement ciblant spécifiquement la production de lactate. Les traitements sont considérés comme des fonctions de contrôle et nous cherchons une stratégie thérapeutique optimale (dosages adaptés au patients, suffisants pour détruire la tumeur mais les moins dosés possibles pour limiter les effets secondaires).

L’électroporation consiste à créer des pores dans les membranes cellulaires à l’aide d’impulsions électriques intenses et brèves. En raison de la taille des cellules (diamètre de 20 [µm]) et de la durée de l’impulsion (10 [ns] à 100 [µs]), une étude expérimentale précise de ce phénomène est pratiquement impossible, ce qui justifie l’introduction de modèles mathématiques. Mon objectif est de présenter un modèle de champ de phase pour l’électroporation. Ce modèle physique comprend l’équation d’Allen-Cahn pour la teneur en eau de la membrane et une équation aux dérivées partielles non locale pour le potentiel électrique transmembranaire. Je présenterai les opérateurs Dirichlet-to-Neumann non locaux impliqués dans deux configurations simples (une membrane sphérique et une membrane périodique plate). De plus, Je montrerari une analyse de stabilité linéaire de notre modèle, mettant en évidence les effets du couplage des équations du modèle. Dans un deuxième temps, je montrerai un schéma numérique d’ordre 2 en temps. Ce schéma repose sur une transformée de Fourier rapide et une méthode de splitting de Strang. Cette méthode est très puissante en termes de temps de calcul et me permettra de vous montrer des jolies simulations du modèle.

In this talk, we explore the Serre–Green–Naghdi equations, which describe shallow-water waves while considering the influence of surface tension. These equations are locally (in time) well-posed. We identify a class of smooth initial data, leading to the development of singularities in finite time for the corresponding strong solutions. Additionally, we demonstrate the existence of global weak solutions for small-energy initial data.

L'utilisation de pompes sanguines peut s'avérer nécessaire pour les patients souffrant d'insuffisance cardiaque, mais ces appareils comportent des risques, tels que l'hémolyse (destruction des globules rouges). L'optimisation paramétrique de ces pompes pour minimiser l'hémolyse a été étudiée dans la littérature des sciences de l'ingénierie. Pour généraliser cette approche, nous considérons l'optimisation de forme d'écoulements sanguins 3D dans des domaines en mouvement, modélisés par les équations de Navier-Stokes généralisé. En particulier, nous montrons la continuité de forme des solutions associées à une suite de domaines convergeant. Après une présentation du modèle, nous commençons par montrer la continuité de forme de la vitesse du sang , pour laquelle la contrainte non-Newtonienne est donnée par : , où et . De tels fluides sont appelés shear-thinning fluids. Dans [Nägele, et al., 2018], un résultat d'existence est démontré pour dans un domaine en mouvement, dans le cadre des espaces de Bochner généralisés et de la méthode de la troncature Lipschitz. Ces techniques sont adaptées au cas présent d'une suite de domaines en mouvement convergeant. Cela étend le résultat de continuité de [Sokolowski, et al., 2014] pour au cas . Par la méthode classique du calcul des variations, nous pouvons ainsi montrer l'existence de minima pour une classe de problèmes d'optimisation de forme d'écoulements sanguins. Ce résultat s'applique à un problème de minimisation de l'hémolyse. L'absence d'unicité des solutions pour des shear-thinning fluids est un obstacle à l'étude de leur sensibilité de forme. Ainsi, pour étendre ce travail aux calculs de dérivées de forme, une régularisation du modèle actuel doit être considérée. Des remarques finales seront faites à ce sujet.

Nous introduisons ici la méthode numérique (SAM) vouée à l'approximation numérique du symbole d'un opérateur auto adjoint, à partir de matrices de discrétisation de celui-ci. SAM repose sur l'estimation de traces de matrices, que l'on restreint à des sous espaces associées à des bandes de fréquences couvrant le domaine spectral. La séparation en fréquences peut être réalisée par des méthodes spectrales mais aussi par des méthodes de type multi-grilles. Nous appliquons la nouvelle méthode, d'abord à des problèmes stationnaires, avec un ensemble d'opérateurs tels que le laplacien négatif et ses puissances fractionnaires. Nous considérons également des équations dispersives amorties, telles celles de Korteweig-de Vries ou Benjamin-Ono, pour lesquelles SAM est utilisée pour approcher le symbole d'un l'opérateur de d'amortissement.

We investigate the long-time dynamics of a SIR epidemic model with infinitely many pathogen variants infecting a homogeneous host population. We show that the basic reproduction number of the pathogen can be defined in that case and corresponds to a threshold between the persistence () and the extinction () of the pathogen. When and the maximal fitness is attained by at least one variant, we show that the systems reaches an equilibrium state that can be explicitly determined from the initial data. When but none of the variants attain the maximal fitness, the situation is more intricate. We show that, in general, the pathogen is uniformly persistent and all families of variants that have a uniformly dominated fitness eventually get extinct. We derive a condition under which the total mass of pathogens converges to a limit which can be computed explicitly. We also find counterexamples that show that, when our condition is not met, the total mass of pathogen may converge to an unexpected value, or the system can even reach an eternally transient behavior where the mass oscillates between several values. We illustrate our results with numerical simulation.

On présente l'existence et l’unicité des solutions faibles des équations cinétiques linéaires à coefficients mesurables intervenant dans les modèles Boltzmann et Landau. Un ingrédient essentiel est un théorème de plongement à la Lions et de transfert de régularité à la Bouchut utilisant les propriétés de l’opérateur de Kolmogorov. C’est un travail en collaboration avec Cyril Imbert et Lukas Niebel.

Consider an molecule consisting of N electrons and M nuclei. Such a system can be described by the Schrödinger-Pauli Operator, and the corresponding Schrödinger-Pauli equation. Solutions to the time independent Schrödinger-Pauli equation can be reformulated as critical points of a corresponding energy functional. Using techniques from non-linear analysis, we will explore the existence of these critical points and interpret them as "excited states" of the system.

On présente de nouveaux résultats d'existence et de régularité pour des équations d'évolution non-linéaires issues de systèmes actifs browniens (i.e. des particules auto-propulsées; dotées d'une position et d'un angle) provenant de la biologie mathématique. Ces équations incorporent un terme d'advection non-local (qui dépend de l'intégrale en angle de l'inconnue principale), ainsi que des diffusions en espace et en angle. On se concentre sur deux équations particulières: une avec diffusion spatiale linéaire (pour laquelle nous démontrons l'existence, l'unicité, et la régularité pour les solutions faibles et très faibles via la méthode de De Giorgi), et l'autre avec diffusion spatiale dégénérée (à laquelle nous appliquons la technique de "boundedness-by-entropy" pour démontrer l'existence des solutions faibles). Les résultats qui figurent dans cet exposé proviennent de plusieurs collaborations avec Luca Alasio (Sorbonne Université), Jessica Guerand (Université de Montpellier), Martin Burger (Universität Hamburg), Maria Bruna (University of Oxford), et Antonio Esposito (Università dell'Aquila).

L’adaptation des populations biologiques à des conditions environnementales changeantes est un enjeu écologique qui devient de plus en plus critique. Il n’y a pas seulement une amplification de la variabilité, mais aussi une directionalité du changement, notamment climatique. On s’attend alors à un seuil de soutenabilité sur le rythme de changement, au-delà duquel le rythme d’introduction de nouvelles mutations est insuffisant pour l’adaptation. Peut-on identifier ce seuil? Doit-on attendre un effet de point de bascule, avec une transition brutale et difficile à compenser? Comment se joue le compromis évolutif entre les faibles mutations bien plus fréquentes et les mutations d’effet plus conséquent? Face à ces enjeux majeurs, je vous présenterai un modèle stochastique simplifié pour l’évolution conjointe de la taille de population et du niveau d’adaptation de cette dernière. Ce niveau d’adaptation impacte notamment le taux de croissance (qui régit la dynamique aléatoire de taille de population), mais aussi le taux d’émergence des nouvelles mutations (en lien avec leurs effets respectifs). Mon travail de thèse a permis dans un premier temps de fournir une justification rigoureuse du degré de généralité avec lequel on peut définir la notion d’un régime d’équilibre quasi-stationnaire, avec ce type de modèles en ligne de mire. Je commenterai également l’exploration numérique que j’ai menée pour compléter ces résultats, en cherchant dans quelle mesure un point de bascule peut effectivement être identifié et mieux saisir cette transition. La prise en compte réaliste des effets d’extinction exclut de considérer l’existence d’un équilibre quasi-stationnaire comme le critère d’un changement environnemental soutenable. Des caractéristiques associées à cet équilibre peuvent néanmoins être employées pour en juger, par analogie avec les travaux de la littérature sur la métastabilité.

Le but de cet exposé est de présenter deux méthodes numériques pour l'approximation des contrôles exactes pour des équations aux dérivées partielles d'ordre 2 en temps. L'idée de la première méthode est d'écrire la condition d'optimalité caractérisant le contrôle de norme minimale comme une formulation mixte et ensuite d'approcher la solution de cette formulation mixte à l'aide de la méthode des éléments finis. La deuxième méthode exploite le principe de Russell "stabilité implique contrôlabilité" pour approcher un contrôle exact (qui n'est pas optimal). L'exemple typique couvert par l'exposé est la contrôlabilité de l'équation des ondes, mais la méthode s'applique également pour le système de l'élasticité linéaire ou encore pour l'équation des plaques d'Euler-Bernoulli.

In Europe, annual incidences of sudden cardiac death (SCD) reached 250,000 [1]. SCD following myocardial infarction poses a significantly critical public health problem [2]. In this context, there is a need of developing new effective and non-invasive predictive tools for arrhythmia risk stratification. Thus, a comprehensive understanding of the impact that each structural and functional arrhythmic substrate component has on the electrophysiological function is necessary for accurate predictions. Computer modelling has been demonstrated to be a powerful, effective and non-invasive tool that can be used to virtually predict post-infarction arrhythmia risk as well as ablation targets [3], thus potentially improve VT diagnosis and therapy outcome in the clinics. Here we present the full pipeline needed to perform realistic computer simulations: (i) computational domain generation from medical images and labelling of zones of interest (healthy tissue, borderzone and dense scar); (ii) Model equations, numerical methods, variational formulation of the computational model and its implementation; (iii) 3D model calibration procedure; (iv) exemplary results for ventricular tachycardia (VT) inducibility; (v) first steps on the effects of VT substrate on electromechanical function in the context of cardiac ressynchronization therapy.

In this talk, we analyze some compartmental pedestrians PDE models describing the spatio-temporal dynamics of a population under stress (panic) during a dangerous situation. We first present an advection-diffusion model that captures the evacuation of a stressed population in a single spatial zone, incorporating different human behaviors (compartments) that interact with one another. Next, we extend this framework to a model that describes the spatio-temporal dynamics and migration of these human behaviors across two interconnected separate zones. For these models, we establish the local existence, uniqueness, and regularity of solutions using semigroup theory, as well as the positivity and L^1-boundedness of these solutions. Finally, to illustrate the propagation of stress (panic) and its effects, we provide numerical simulations that depict various evacuation scenarios, with a focus on populations with low-risk culture during emergency situations.

Recently very exciting results have been obtained in hydrodynamics using convex integration techniques. These results urgently require physical interpretation. In the first part of the talk, I will discuss one such result and it would be interesting to see what the audience thinks of it. In the second part, I will report on recent work on admissibility criteria for weak solutions of Euler equations in view of convex integration results. This is joint work with H. Gimperlein (U. Innsbruck), R. J. Knops (Heriot-Watt U.) and M. Slemrod (U. Wisconsin Madison).

Dans cet exposé je parlerai d'un travail récent sur les expériences de relaxation. Ces expériences consiste à trier des cellules selon des marqueurs considérés comme représentatifs du caractère mature ou immature (souche) des cellules. Les expériences de relaxation ont permis de montrer les limites de la définition du statut de souche d'une cellule. En effet en triant les plus matures et les moins matures, nous verrons qu'on retrouve en temps long la distribution initiale d'expression de marqueurs. Nous verrons commee le modèle dit à deux états permet de reproduire cette dynamique.

In order to provide an explanation for the damped oscillations surprisingly observed in Prion depolymerization experiments, a bi-monomeric variant of the seminal Becker-Doring seminal system is proposed. In this talk, we look in detail at the mechanisms leading to these oscillations. We characterize the dynamics of the system in different kinetic phases: from the initial phase of high amplitude oscillations to progressive damping and convergence towards the unique stationary solution. This result is based on quantitative approximations of the main quantities of interest: the period of oscillations, the damping of oscillations corresponding to an energy loss and the number of oscillation cycles characterizing each kinetic phase.

Dans cet exposé, nous nous intéressons au spectre d’opérateurs modélisant une jonction entre deux matériaux. Nous montrons que des vecteurs propres localisés à la jonction (=modes de bord) apparaissent pour ces opérateurs. Ces modes sont responsables, entre autre, de pollution spectrale pour la simulation numérique de matériaux. Nous montrerons que l’apparition de ces modes est de nature topologique, et expliquerons pourquoi ils apparaissent dans la majorité des cas. En collaboration avec Clément Tauber.