Séminaires A3 en 2018

A problem that goes back to Hurwitz and the 19th century is to enumerate (reduced) factorizations of the long cycle of into factors from prescribed conjugacy classes. As it happens, and this is a common theme in combinatorics, this question of the symmetric group has a meaningful analog for the other reflection groups as well : The long cycle is replaced by the Coxeter element. Bessis gave a beautiful geometric interpretation of such factorizations by using a variant of the Lyashko-Looijenga map, a finite morphism coming from Singularity theory. In that setting, there is a natural bijective correspondence ("Trivialization Theorem") between points in a generic fiber of the LL-map, and reduced reflection factorizations of a Coxeter element c of W. This was fundamental in Bessis’ dual braid presentation of the generalized braid groups , but still relies on a case-by-case proven numerological coincidence ! We review the important geometric properties of the map and present new results obtained by further analysis of its local behavior. These include enumerating wider classes of factorizations, as well as counting factorizations with prescribed symmetries (in fact, we prove various cyclic sieving phenomena). We also suggest a uniform approach towards the proof of the Trivialization Theorem.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions d’énergie minimale parmi celles qui changent de signe pour le problème de Lane-Emden −∆u=|u|^(p−2)u dans Ω, u=0 sur ∂Ω, avec Ω est un ouvert borné de R^N et p ∈ ]2, 2∗[ où 2∗ est l’exposant critique de Sobolev. La question centrale sera de déterminer le sous-groupe des symétries du domaine qui laisse invariant ces solutions (par une symétrie paire ou impaire). Nous verrons que, même pour des domaines très simples, cette question est délicate. Pour le carré, nous expliquerons comment une preuve assistée par ordinateur permet de résoudre la question pour p proche de 2.

Le but de cette présentation est d’étudier du point de vue théorique et numériques les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes visqueuses avec différentes conditions dynamiques aux bords. Ce modèle est utilisé dans le but de décrire la dynamique d’un mélange de deux fluides immiscibles et incompressibles. Le choix des conditions aux bords est important, nous permettant de prendre en compte l’interaction entre l’interface des deux fluides et les murs du domaine physique.

Le carcinome hépatocellulaire (HCC) est la forme la plus fréquente du cancer primitif du foie. Le seul traitement de référence au stade avancé du HCC est le sorafénib. Il est prescrit pour son rôle d’inhibiteur d’une voie de transduction du signal, la voie RAS-RAF-MEK-ERK. Cependant, même sous traitement, la survie des patients augmente très peu. De plus, les patients présentent une réponse au sorafénib hétérogène. Afin de proposer de nouvelles stratégies thérapeutiques, un modèle mathématique décrivant la cinétique des composants de la voie RAS-RAF-MEK-ERK a été construit. Les résultats prédictifs du modèle ont mis en évidence un nouveau mode d’action du sorafénib, ainsi que l’existence de mécanismes de résistance au sorafénib.

In this talk I will consider the eigenvalue problem for the standard Dirichlet-Laplacian on varying domains. After a brief overview about the behaviour of eigenvalues with respect to regular perturbations of the domain, I will take into account a particular singular perturbation, i.e. the attachment (to a fixed bounded domain) of a cylindrical tube, of finite length, whose section is vanishing. In this framework I will state the sharp asymptotic behaviour of perturbed eigenvalues, in the case when the corresponding limit eigenvalue is simple. The main tools are an Almgren-type monotonicity formula and the Courant-Fischer Min-Max characterization of eigenvalues. The result has been obtained in collaboration with prof. Veronica Felli.

Nous nous intéressons un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.

On considère un objet immergé qui avance à une vitesse constante dans une eau calme. L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible, et l’écoulement dérive d’un potentiel. La résistance de vague est la force de traînée qu’exerce l’eau sur l’objet. Elle est liée à la formation d’un sillage à l’interface eau/air (le paradoxe de d’Alembert montre en effet qu’en l’absence d’une telle interface, la traînée est nulle). On s’intéressera dans cet exposé à deux problèmes de forme optimale mettant en jeu cette résistance de vague. Le premier est l’optimisation de carènes de navires dans l’approximation des corps élancés. On dispose dans ce cas de la formule de résistance de vague de Michelle qui évite de recourir à une équation d’état. Le deuxième cas est celui d’un cylindre infini complètement immergé. L’équation d’état est alors donnée par le problème de Kelvin-Neumann.