Séminaires A3 en 2023

Dans ce travail nous nous intéressons à un problème classique de mécanique des fluides mettant en jeu un écoulement de fluide parfait irrotationnel et incompressible autour d’un obstacle, en présence d’une surface libre. Le sillage de vagues généré en aval engendre une force de résistance à l’avancement qui dépend de la vitesse du courant ainsi que de la forme de l’obstacle. Le problème de Neumann-Kelvin permet de rendre compte assez simplement de ce phénomène pour envisager d’utiliser des méthodes d’optimisation de formes afin de minimiser cette résistance de vagues en jouant sur la forme de l’obstacle. Nous montrerons plusieurs approches numériques pour aborder ce problème de minimisation de la résistance de vagues.

Nous étudions des équations de type KdV avec des coefficients dépendant de l'espace et du temps. Sous certaines hypothèses sur le coefficient de dispersion et sur le rapport entre ce dernier et le coefficient d'anti-dissipation, nous montrons l'existence et l'unicité de solutions dans les espaces de Sobolev d'indice supérieur à 1/2. Notre approche combine un changement d'inconnue et des estimations de dispersion. Ce travail est en commun avec R. Talhouk et I. Zaiter (Université Libanaise).

Ces dernières décennies, de nombreux mathématiciens ont étudié la sélection naturelle par le truchement de la modélisation, des simulations numérique et de l'analyse mathématique, à la fois du point de vue discret et stochastique et de celui de l'échelle macroscopique déterministe. La plupart de ces travaux se focalisent sur une seule population placée dans un environnement déterministe ; la sélection d'un trait optimal est bien comprise dans ce cadre. Cependant, de nombreuses situations réelles impliquent plusieurs populations d'organismes dans des environnements imprévisibles, avec des interactions mutualistes, parasitique ou proie-prédateur. Dans cet exposé, je m'attarderai sur un phénomène appelé "adaptation aux dommages de l'ADN" : des organismes dont l'ADN est endommagé vont essayer de le réparer pendant un certain temps, et, après avoir éventuellement échoué, vont cesser complètement de réparer et se reproduire en dépit du dommage ; on dit dans ce cas que l'organisme s'est "adapté" au dommage sur son ADN. Afin de mieux comprendre comment la sélection naturelle façonne le temps caractéristique du phénomène et sa variance, nous avons construit avec Zhou Xu (biologiste experimental, LCQB, Sorbonne Université), Delphine Salort (mathématicienne, LCQB, Sorbonne Université ), Benoît Perthame (mathématicien, LJLL, Sorbonne Université ) et Alexis Léculier (mathématicien, Département Universitaire D'Agen, Université de Bordeaux) plusieurs modèles déterministes et stochastiques. À l'aide de simulations numériques et de résultats mathématiques généraux sur les populations coopératives soumises à la sélection naturelles, nous avons pu proposer quelques réponses aux questions ouvertes sur le processus d'adaptation et le relier plus précisément au concept de "stratégie de minimisation des risques".

Au cours de la dernière décennie, les progrès technologiques ont permis la conception d’immunothérapies qui, contrairement aux thérapies anticancéreuses classiques, ciblent les interactions entre cellules tumorales et cellules immunitaires, dans le but de renforcer l’efficacité de la réponse immunitaire. Cependant, ces interactions reposent sur des mécanismes complexes, ce qui rend difficile la conception de traitements efficaces. Par conséquent, les modèles mathématiques sont des outils utiles pour reproduire la dynamique spatio-temporelle des interactions entre les cellules tumorales et les cellules immunitaires, afin de tester le potentiel de nouvelles techniques thérapeutiques de manière flexible et non coûteuse. Dans cet exposé, nous présentons des modèles discrets et continus pour décrire la dynamique spatio-temporelle des interactions entre une tumeur solide et les cellules T cytotoxiques, dans le but d’étudier les paramètres biologiques qui permettent l’élimination, ou bien l’échappement, de la tumeur. Les modèles discrets développés dans ce travail décrivent la dynamique de chaque cellule, permettant ainsi la représentation de mécanismes à l’échelle cellulaire. Quant aux modèles continus, ils sont dérivés formellement des modèles discrets par le biais de méthodes asymptotiques appropriées. Les résultats des simulations numériques des modèles discrets montrent qu’il existe un excellent accord quantitatif entre eux et les solutions des modèles continus correspondants, et clarifient les conditions de réussite, ou bien d’échec, de la surveillance immunitaire.

Avec le développement des supercalculateurs, l’étude des algorithmes parallèles est devenue un sujet de recherche à part entière depuis plusieurs décennies. Dans le cas de la résolution numérique de problèmes régis par des équations aux dérivées partielles (EDP), la complexité des phénomènes sous-jacents nécessite souvent des discrétisations spatiales et/ou temporelles extrêmement fines, ce qui conduit à des problèmes de très grande taille. Parmi toutes les méthodes itératives efficaces pour résoudre ces problèmes, les méthodes de décomposition de domaine (DD), dont l’idée remonte au 19ème siècle, sont naturellement adaptées à cet environnement parallèle. L’analyse de ces méthodes pour les problèmes d’EDP est bien établie, mais nous en savons beaucoup moins sur les méthodes de DD appliquées aux problèmes de contrôle optimal sous contrainte d’EDP. Dans cet exposé, nous commencerons par un tour d’horizon historique des méthodes DD, puis nous montrerons le concept de ces méthodes avec un problème assez simple. Afin de révéler le mécanisme de ces méthodes, nous fournissons une analyse d’erreur en 1D et en 2D. Ensuite, nous ajoutons un terme de contrôle dans notre modèle et appliquons les méthodes DD pour résoudre ce problème d’optimisation sous contrainte d’EDP. Une analyse similaire sera effectuée pour montrer le comportement de la convergence.

La simulation moléculaire et le calcul de structures électroniques sont des outils fondamentaux utilisés en chimie, physique de la matière condensée, biologie moléculaire, science des matériaux, nanosciences… La théorie de la fonctionnelle de densité (DFT) est aujourd'hui une des méthodes les plus utilisées, car elle offre un bon compromis entre efficacité et précision. Il s'agit d'un problème formidable, tant d'un point de vue mathématique que numérique, et qui nécessite toute une hiérarchie de choix entraînant un certain nombre d'approximations et d'erreurs associées : choix du modèle, choix de la base de discrétisation, choix des solveurs, erreur de troncature, erreur numérique… Le but de cet exposé est de présenter des résultats récents traitant de ces approximations. J'introduirai dans un premier temps un des modèles les plus utilisés en calcul de structures électroniques. Concrètement, il s'agit de minimiser une énergie discrète sur la variété de Grassmann et j'analyserai dans un second temps la convergence de deux classes d'algorithmes (les méthodes de minimisation directe et les méthodes de point fixe) sur cette variété. Ensuite, nous verrons comment les résultats établis permettent d'obtenir des bornes d'erreur sur des quantités d'intérêt pratique (comme les forces interatomiques) ou d'améliorer la robustesse du calcul de propriétés de réponses des matériaux.

Nous allons présenter un problème inverse appliqué à la volcanologie. On cherche à déterminer une pression/force variable appliquée sur une fracture située à l’intérieur d’un volcan de manière à retrouver des déplacements de surface mesurés. Les déformations du volcan sont supposés être gouvernées par l’élasticité linéaire. Le problème direct (calculer les déplacements de surface, la pression étant connue) est résolu par une méthode de domaines fictifs. Le problème de contrôle optimal consiste ensuite à minimiser une fonction coût combinant les termes d’erreurs sur la surface (entre déplacement calculés et mesurés) et un terme de régularisation. Nous présentons des résultats sur des cas tests (en 3D) pour valider la méthode. Nous adaptons ensuite le cas de données de mesure réalistes obtenues par Interférométrie Radar par satellites (INSAR) ou par GPS. Une application à une éruption passée au Piton de la fournaise sera présentée.

Dans cet exposé, j’aborde la question du caractère globalement bien posé des systèmes hyperboliques dits partiellement dissipatifs et de leurs limites de relaxation associées. Ces systèmes peuvent être interprétés comme des approximations hyperboliques de systèmes paraboliques et fournissent un élément de réponse au paradoxe de vitesse de propagation infinie qui survient en mécanique des fluides. Pour voir cela, nous étudierons une version hyperbolique du système de Navier-Stokes-Fourier compressible et justifierons rigoureusement la limite de relaxation forte associée. Et pour ce faire, nous emploierons des techniques liées à la théorie de l’hypocoercivité et une décomposition fréquentielle précise des solutions via la théorie de Littlewood-Paley. Pour conclure, nous montrerons la pertinence de cette approximation dans le cadre d’analyses numériques et discuterons d’une extension de cette approche à des opérateurs plus généraux.

We consider classical scalar fields in dimension 1+1 with a self-interaction potential being a symmetric double-well. Such a model admits non-trivial static solutions called kinks and antikinks. A kink cluster is a solution approaching, for large positive times, a superposition of alternating kinks and antikinks whose velocities converge to 0 and mutual distances grow to infinity. Our main result is a determination of the asymptotic behaviour of any kink cluster at the leading order. Our results are partially inspired by the notion of "parabolic motions" in the Newtonian n-body problem. I will present this analogy and mention its limitations. If time allows, I will explain the role of kink clusters as universal profiles for formation of multi-kink configurations. This is a joint work with Andrew Lawrie from MIT.

We consider an intestinal crypt model including microbiota-derived regulations. The simplified model considers a coupled system of 2 degenerate parabolic equations with cross diffusion whose unknowns are the density of progenitor cells (pc) and stem cells (sc). Additionally, the density of deep crypt secretory (DCS) cells acts as a function that we can assume to be known and that is known to affect the population dynamics in the crypt. The inverse problem consists in determining the parameters that define the shape of the density function of the DCS cells (slopes and position), from partial measurements of stem and progenitor cells. For this, we propose a classical method of adjoint state.

We consider the shape of the free surface of steady pendent rivulets beneath a planar substrate. We formulate the governing equations in terms of two closely related dynamical systems and analyse the bifurcation structure of the problem. Our results explain why lubrication theory is unable to describe the structure of the solutions set for pendent rivulets, although it is successful in the related problem of sessile rivulets.

La dynamique intracellulaire des molécules et ions à la recherche d'une cible est souvent modélisée par un processus de diffusion. Chaque particule, qu'on suppose Brownienne, suit une trajectoire stochastique à l'intérieur d'un domaine confiné correspondant à un compartiment cellulaire. Toute la frontière du domaine est réfléchissante à l'exception de quelques fenêtres étroites, d'où les particules Browniennes peuvent s'échapper. Le calcul du temps de sortie moyen, aussi désigné problème d'échappée belle, nécessite la résolution d'une équation de Poisson avec conditions aux bords de type mixte Dirichlet-Neumann. Lors de cet exposé je vais présenter quelques exemples de problèmes d'échappée belle dans des microdomaines cellulaires modélisés par des réseaux 3-D de sphères reliés par des tubes cylindriques étroits. L'objectif sera de mettre en valeur l'influence des paramètres géométriques sur les temps de sortie, et ultimement sur les échelles de temps des réactions biochimiques intracellulaires.

Dans cet exposé, je présenterai un travail de recherche développé avec Susanna Terracini (Università di Torino) et Gianmaria Verzini (Politecnico di Milano). Nous étudions la structure de l'ensemble nodal des solutions de systèmes de réaction-diffusion (cas planaire et stationnaire) avec des interactions entre composantes de type Lotka-Volterra fortement compétitives, lorsque la matrice des coefficients de compétition interspécifique est asymétrique et que le paramètre de compétition tend vers l'infini. Contrairement au cas symétrique, où l'on sait que l'ensemble nodal consiste en une collection localement finie de courbes se rencontrant avec des angles égaux en un nombre localement fini de points singuliers, le cas asymétrique montre l'émergence de courbes nodales en spirale, se rencontrant toujours en des points localement isolés avec un ordre de fuite fini. Je présenterai ensuite un article avec Ariel Sarlot (Universidad de Buenos Aires) dans lequel nous construisons des solutions au système parabolique correspondant. Plus précisément, nous construisons des solutions en forme de spirale tournante éternell

Trophic interactions between animals in the ocean were matter of interest since 6 decades. It was quickly discovered that the individuals’ body size acts as ’master trait’ in food webs of animals, giving rise to emergent distributions of biomass, abundance and production of organisms. We propose and investigate a deterministic structural equation of Boltzmann type, aiming to capture this emergence phenomenon in aquatic ecosystems. The equation of interest is derived from individual based dynamics governed by a stochastic process. Following the observation that the body mass is the crucial trait in these dynamics, it is based on the assumption that binary interactions between individuals in the ecosystem take place: A predator feeding on a prey, which then results in growth of the predator with assimilating a certain (usually very small) amount of its prey’s mass as well as production of a certain amount of organisms or nutrients, nursing the ecosystem at a very small scale. This model reproduces the so-called “cascade-effect”, which is frequently observed in ecosystems and describes the suppression of specific trophic positions in the ecosystem as result of an indirect influence from one trophic level to the second next lower or higher. Some analytical results in specific parameter regimes are discussed and numerical simulations underlying these observations are given.

Dans ce travail, nous nous intéressons à la modélisation de l'écoulement de l'eau dans les aquifères peu profonds. Ce type d'écoulement souterrain est classiquement décrit par le modèle 3d-Richards qui est connu pour être très difficile à traiter numériquement, en particulier dans la situation considérée formée d'une grande géométrie et portant sur de longues périodes de temps. Pour pallier à ces difficultés, nous exploitons la géométrie peu profonde de l'aquifère pour caractériser les composantes de l'écoulement qui y sont dominantes. Finalement, nous décrivons des couplages particulier de ces écoulements dominants pour former deux nouveaux modèles qui sont des alternatives numériquement efficaces au modèle Richards 3d.

We consider the system of partial differential equations

on bounded domains, known in the literature as the Whitham-Broer-Kaup system. The well-posedness of the problem, under suitable boundary conditions, is addressed, and it is shown to depend on the sign of the number

In particular, existence and uniqueness occur if and only if . In which case, an explicit representation for the solutions is given. Nonetheless, for the case we have uniqueness in the class of strong solutions, and sufficient conditions to guarantee exponential instability are provided. This talk is based on a joint paper with L. Liverani, Y. Mammeri and R. Quintanilla.

Au milieu du XXè siècle, De Giorgi et Nash proposaient à peu près au même moment deux preuves distinctes du XIXème problème de Hilbert. Je présenterai une déclinaison de l'approche de De Giorgi permettant d'étudier la régularité des solutions d'un système d'EDP elliptiques connu sous le nom de système de Lane-Emden. Travail en collaboration avec Hatem Hajlaoui et Marius Ghergu.

In recent years, there has been a spike in interest in multi-phase tissue growth models. Depending on the type of tissue, the velocity is linked to the pressure through Stoke’s, Brinkman, or Darcy’s law. While these velocity-pressure relations have been studied in the literature, little emphasis has been placed on the fine relationship between them. In this talk, I will address this question showing how solutions of the Brinkman nonlocal transport system converge towards a weak solution of the Darcy nonlinear parabolic system in the limit of vanishing viscosity.

In this talk, we will be interested in the numerical analysis of the Gross-Pitaevskii equation, which governs the evolution of quantum fluids near absolute zero temperature. We will use an explicit splitting scheme for time integration, while relying on a standard Finite Volumes scheme for space discretization. Numerical simulations will also be presented, with a particular emphasis on the analysis of vortex structures which naturally appear in such superfluids.