Séminaires A3 en 2019

Nous analyserons la stabilité d’un milieu dispersif immergé dans le vide (avec condition aux limites de Silver-Müller sur le bord extérieur) ou l’inverse. Le milieu dispersif correspond au couplage entre le système de Maxwell et une équation différentielle ordinaire (du type parabolique). Dans le cas d’un milieu dispersif couplé avec le vide, l’équation différentielle ordinaire est seulement posée sur un sous-domaine du domaine complet. Nous montrerons que ce système est bien-posé et est fortement stable dans un sous-espace fermé de l’espace d’énergie. Nous identifierons également des conditions suffisantes qui garantissent la décroissance exponentielle ou polynomiale de l’énergie dans ce sous-espace.

In the purpose of approximating the incompressible Euler system with free surface, we present a general framework to construct models comprising non-hydrostatic effects. Hence, a hierarchy of new models is derived by means of a layerwise discretisation approach. To assess these models, we use a rigorous derivation process based on a Galerkin-type approximation along the vertical axis of the velocity -eld and of the pressure. It is also proven that all of them satisfy an energy equality. In addition, we analyse the linear dispersion relation of these models and prove that the latter relations converge to the dispersion relation for the Euler equations when the number of layers goes to infinity. Some numerical approches are proposed to find a balance between accuracy and efficiency.

This talk focus on the boundary value problem −∆u = c(x)u + μ(x)|∇u|^2 + h(x) , in Ω , u = 0, on ∂Ω. Solutions are searched in the function space H^1_0(Ω) ∩ L^∞(Ω) where Ω ⊂ R^N, N ≥ 2, a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c, h belong to L^p(Ω) for some p > N/2 and μ belongs to L^∞(Ω). In the case where c(x) ≤ α_0 < 0, now referred to as the coercive case, this problem has been studied since the 80’s and the existence of an unique solution is the rule. Recently other cases, in particular assuming that c(x) ≥ 0 or that c(x) changes sign, started to be considered. We shall present some of the main contributions in these non-coercive cases. We will see that both existence and uniqueness may now be lost. The talk is based in joints works with Colette De Coster (Université Polytechnique des Hauts-de-France) and Louis Jeanjean (Université de Franche-Comté).

Je présenterai quelques-uns des nouveaux problèmes liés à des questions de physiologie et d’invasion biologique abordés lors de ma délégation à l’INRA. J’examinerai leur résolution théorique et numérique à travers des systèmes d’équations paraboliques, hyperboliques et/ou stochastiques.

On revisite la dérivation classique des équations de Saint-Venant à partir de Navier-Stokes, pour mieux comprendre l’origine des termes de friction. Une analyse fine du profil vertical de vitesse montre que l’on peut obtenir un terme de frottement en superposant une couche visqueuse proche du fond et une couche de fluide parfait. Le prix à payer est une équation supplémentaire dans le modèle intégré, l’avantage est un terme de friction dynamique, qui permet de prendre en compte un certain déphasage entre le frottement et le fond, qui a une grande importance dans les phénomènes d’érosion.

Segmentation and registration are cornerstone steps of many imaging situations : while segmentation aims to identify relevant constituents of an image for visualization or quantitative analysis, registration consists of mapping salient features of an image onto the corresponding ones in another. Instead of treating these tasks linearly one after another, so without correlating them, we propose a unified variational model, in a hyperelasticity setting, processing these two operations simultaneously. More precisely, in this work, we address the issue of designing theoretically well-motivated joint segmentation/registration methods capable of handling large deformations while keeping them physically feasible. The shapes to be matched are modeled as isotropic, homogeneous and hyperelastic materials. In a first model, the objects to be aligned are viewed as Saint-Venant Kirchoff materials. The goal is to minimize a functional containing a nonlinear-elasticity-based regularizer and a dissimilarity measure that relates local and global (i.e. region-based) information, since relying on weighted total variation and nonlocal shape descriptors inspired by the piecewise constant Mumford-Shah model. Theoretical results emphasizing the mathematical and practical soundness of the model are provided, among which existence of minimizers, connection with the segmentation step, nonlocal characterization of weighted semi-norms, asymptotic results and Γ-convergence properties. In a second model, we propose segmenting and registering a whole dataset of images to a same image that will be an unknown of the problem and that will be considered as a meaningful statistical representation of the dataset. In a variational framework, the structures to be aligned are viewed as Ogden materials and the segmentation is based on the Potts’ model which allows for a partition in more than two regions. We then approximate our deformation maps in a linear space to perform a Principal Component Analysis and study the main modes of variations in our initial dataset. Both theoretical results and preliminary numerical results are provided. This is a joint work with Noémie DEBROUX and Carola SCHÖNLIEB, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, U.K., and John Aston, Statslab, University of Cambridge, U.K.. This work is co-financed by the European Union with the European regional development fund (ERDF, HN0002137) and by the Normandie Regional Council via the M2NUM project.

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble D :={(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1} qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes. Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti)

Dans cet exposé on fera un petit tour d’horizon des différentes méthodes de quasi-réversibilité depuis le livre fondateur de Lattès et Lions de 1967. En particulier, on illustrera ces méthodes sur le très classique problème de Cauchy du Laplacien, qui nous servira de fil rouge. Dans sa version originale, la méthode de quasi-réversibilité consiste à remplacer le problème mal-posé d’ordre 2 par une famille de problèmes bien-posés d’ordre 4 dépendant d’un petit paramètre de régularisation. On montrera les avantages des formulations mixtes et on s’attardera sur le choix du paramètre de régularisation en fonction de l’amplitude du bruit.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’impact de la géométrie sur la solvabilité de l’équation non-linéaire de Helmholtz. Nous montrerons en particulier que, dans l’espace hyperbolique,cette équation admets des solutions pour une classe de non-linéarités plus large que dans le cas euclidien. Nous obtiendrons également des contre-exemples aux inégalités de Strichartz dans l’espace hyperbolique. Travail en collaboration avec Rainer Mandel.

Lors qu’on doit approcher la solution d’un problème en dimension élevée, on est confronté au phénomène de la malediction de la dimension, qui rend l’utilisation des méthodes classiques de discretisation impossible. Les méthodes tensorielles sont une classe de méthodes, actuellement très étudiées, pour approcher la solution des problèmes en dimension élevée. Dans la plupart des méthodes proposées, le nombre de termes dans la decomposition tensorielle est fixé à l’avance. L’objectif des travaux exposés est de définir des méthodes tensorielles dans lesquelles le nombre des termes (le rang du tenseur) et les termes sont définis de façon à respecter un critère de précision donné, pertinent au problème étudié. Le premier travail proposé est la discretisation des equations de Vlasov-Poisson par une méthode tensorielle adaptative qui respecte la nature hamiltonienne du problème. Les résultats obtenus ont motivé la mise au point de méthodes adaptatives où le tenseur est divisé, à l’aide d’une structure d’arbre hiérarchique, en sous tenseurs.

La résolution numérique de problèmes de propagation d’ondes avec des méthodes d’éléments finis est coûteuse en temps de calcul et en mémoire. En pratique, il est indispensable de réduire autant que possible la taille du domaine de calcul en introduisant une frontière artificielle (transparente) dans le modèle, et de coupler le schéma numérique avec une méthode de décomposition de domaine (DDM) pour permettre une résolution efficace sur des machines parallèles. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents sur l’utilisation de conditions aux limites absorbantes d’ordre élevé (HABC) sur des domaines de calcul avec des coins. Deux stratégies pour traiter les coins seront présentées et comparées sur base de résultats numériques. L’une d’elle permet de traiter parfaitement les coins avec des angles droits. Dans un deuxième temps, j’expliquerai comment cette stratégie peut accélérer une méthode de décomposition de domaine (de type Schwarz optimisé) pour des partitions du domaine avec des points de jonction. Ces travaux sont réalisés en collaboration avec Christophe Geuzaine et Xavier Antoine.

On s’intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations.

Lors de cet exposé, je présenterai un type particulier d’inclusions différentielles du premier ordre appelés processus de rafle perturbés. Après quelques rappels sur leur caractère bien posé, je proposerai un schéma numérique adapté. Puis, en m’aidant des outils d’analyse convexe et d’optimisation, je montrerai son ordre de convergence.

Nous considérons plusieurs classes d’intégrales variationnelles à double phase conduites par des potentiels non homogènes. Nous étudions les équations d’Euler associées et soulignons quelques nouvelles propriétés. Nous signalons des phénomènes de concentration du spectre, des résultats de non-existence, des effets combinés de termes de réaction et d’absorption, des énergies à double phase conduites par des opérateurs anisotropes de Baouendi-Grushin. L’analyse développée dans cet exposé étend le cadre abstrait correspondant aux certains cas standard associés à l’opérateur p(x)-Laplace, à l’opérateur de courbure moyenne généralisée ou à l’opérateur différentiel de capillarité à exposant variable. Ces résultats complètent les contributions pionnières de P. Marcellini et G. Mingione dans le domaine des intégrales variationnelles à croissance variable. Nous abordons également certaines perspectives et problèmes ouverts.

Pour décrire l’agrégation de particules les unes aux autres par ajout une à une, deux formalismes, l’un discret (le système de Becker-Döring, 1937) l’autre continu (le système de Lifshitz-Slyozov, 1954) ont été introduits, historiquement appliqués au phénomène de changement de phase en physique de type gélation. Plus récemment, nous avons appliqué ces modèles à de nouvelles questions issues de la biologie, venant de la polymérisation des protéines qu’on observe dans de nombreuses maladies, en en particulier Alzheimer. Ces systèmes ont un comportement physique qui ne relève pas de la transition de phase, ce qui nous a conduit à étudier ces systèmes avec de nouvelles hypothèses sur les coefficients de réaction et à en proposer des variantes.

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur le caractère métrique de l’équation de Hamilton-Jacobi avec obstacle (HJO). J’introduirai une nouvelle formule explicite de la distance intrinsèque associée à HJO, qui montre comment est ce qu’une stratégie de type ‘’le meilleur du pire’’ est inhérente à cette équation pour gérer l’obstacle. Certaines applications concernant les formes d’un tas de sable ou un lac débordant sur un paysage arbitraire de hauteur variable seront présentées pour motiver les résultats. L’exposé vise également des discussions de certaines questions encore ouvertes sur la dynamique correspondante, en proposant de nouvelles orientations basées sur le transport optimal de masse et des dynamiques de type gradient flot dans des espaces métriques.

Après une introduction des ordres de convergence forts et faibles pour des équations aux dérivées partielles stochastiques, je montrerai comment on peut obtenir ces ordres pour des approximations numériques de l’équation d’Allen-Cahn stochastique. La difficulté principale réside dans la non-linéarité qui n’est pas globalement Lipschitz. Cette difficulté est contournée via une méthode de splitting lorsque le flot non-linéaire peut être résolu explicitement.

This work is concerned with an asymptotic analysis, in the sense of -convergence, of a sequence of variational models of brittle damage in the context of linearized elasticity. The study is performed as the damaged zone concentrates into a set of zero volume and, at the same time and to the same order , the stiffness of the damaged material becomes small. Three main features make the analysis highly nontrivial : at fixed, minimizing sequences of each brittle damage model oscillate and develop microstructures ; as , concentration of damage and worsening of the elastic properties are favoured ; and the competition of these phenomena translates into a degeneration of the growth of the elastic energy, which passes from being quadratic (at fixed) to being linear (in the limit). Consequently, homogenization effects interact with singularity formation in a nontrivial way, which requires new methods of analysis. In particular, the interaction of homogenization with singularity formation in the framework of linearized elasticity appears to not have been considered in the literature so far. We explicitly identify the -limit in two and three dimensions for isotropic Hooke tensors. The expression of the limit effective energy turns out to be of Hencky plasticity type. We further consider the regime where the divergence remains square-integrable in the limit, which leads to a Tresca-type model.

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble D :=(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1 qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes. Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

The present talk is devoted to the notion of identifiability in a spatial model describing the propagation of the chikungunya disease in the framework. This model is a coupling model of reaction-diffusion and ordinary differential equations systems. Some of its parameter values are unknown and must be estimated from some input-output measurements. However, before putting in place an estimation procedure, an identifiability study is required to ensure that the parameter values of the mathematical model can be uniquely inferred from the available measurements. The identifiability study of the chikungunya model is done from an elimination procedure providing relations called input-output polynomials and linking the unknown parameters, the inputs and the outputs of the model. From these polynomials, a numerical procedure is proposed to give a first initial guess of the unknown parameters.

The present talk will be devoted to some fully nonlinear long-wave models. It is always tempting to increase their range of validity by applying the Bona-Smith-Nwogu trick or alike. However, a direct application of this ’enhancement’ procedure usually destroys the Galilean invariance and/or the total mechanical energy conservation properties. In this talk, we shall illustrate how to perform this operation carefully by preserving all fundamental physical properties of the resulting system and achieving the initial goal.

The variable exponent spaces have been extensively studied later, together with the effect of their properties on the variable exponent problems. A substantial part of this increased interest is due to the large range of real-life applications that can be generated by such problems. This presentation will shortly refer to these research developments with the mention that it will also touch a less-covered subject, the one of the Robin problems cast on non-smooth domains.

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti).

In this seminar, we deal with a reaction-diffusion boundary-value problem that describes the evolution of allele frequencies at one locus under the action of migration and selection. We also assume no flux of genes across the boundary. The investigations on positive non-constant stationary solutions is a decisive step to explore the dynamics of migration-selection models. Hence, we consider the Neumann problem associated with a second-order nonlinear differential equation with a factored reaction term as a product of a sign-indefinite function and a logistic-type nonlinearity. We discuss how these factors influence the number of positive solutions.

L’apparition d’une singularité (blow-up ou discontinuité) est bien comprise pour beaucoup de lois de conservation hyperboliques. Elle peut en effet être quantifiée par des arguments de type EDO pour une classe de problèmes incluant l’équation de Burgers généralisée et les équations d’agrégation-diffusion incluant notamment le cas de Keller-Segel parabolique-elliptique 1D. Il est bien plus délicat de comprendre le comportement à petite échelle des couches visqueuses dans des régularisations paraboliques (classiques ou fractionnaires) de ces lois de conservation. Nous donnons des estimées précises pour les normes de Sobolev et nous en déduisons des informations sur les incréments et le spectre d’énergie, quantités pertinentes pour la théorie de la turbulence. De plus, nos résultats sont toujours valables en présence d’un forçage additif aléatoire. A notre connaissance, il s’agit des seules estimées précises de ce type connues à ce jour pour des solutions d’EDP non linéaires à petit paramètre. Le travail sur les équations de type agrégation-diffusion est une collaboration en cours avec Piotr Biler et Grzegorz Karch (Wroclaw) et Philippe Laurençot (Toulouse).