Séminaires A3 en 2022

Dans le cadre de la production d’énergie par géothermie, on utilise des modèles d’advection-diffusion et des schémas volumes finis sur des maillages très déformés pour suivre les couches géologiques, les failles et les hétérogénéités du sous-sol. Pour la partie diffusion sur ce type de maillage, les schémas volumes finis classiques avec des flux à deux points (on n’utilise que les mailles voisines) ne sont plus consistants. Il est nécessaire alors d’utiliser ce qu’on appelle des schémas à flux multi-points ou Multi Point Flux Approximation (MPFA), on utilise d’avantage de degrés de libertés. Il est difficile d’obtenir des méthodes convergentes dans ce cadre, et des avancées ont été obtenu ces dernières années. Pour la partie advection, elle est classiquement discrétisée par une méthode upwind, d’ordre 1 et trop diffusive en pratique. L’idée ici est donc d’utiliser un schéma MPFA sur la partie advection. Nous montrerons que cette nouvelle approche permet d’obtenir des méthodes convergentes et nous comparerons les résultats numériques du schéma upwind avec ceux obtenus avec deux discrétisations gradient, à savoir Control Finite Volume Element (CVFE) et Vertex Approximate Gradient (VAG).

Les prairies permanentes semi-naturelles représentent le pilier de l’agriculture dans les régions montagneuses. Ces écosystèmes sont des réservoirs de forte biodiversité végétale qui fournissent d’importants services écosystémiques. Cependant, leur composition floristique dépend fortement des facteurs externes, notamment des pratiques agricoles (intensité de pâturage, fauche et fertilisation) et se voit également affectée par les changements climatiques globaux. Un système d’équations différentielles ordinaires est proposée pour décrire la dynamique saisonnière de la biomasse aérienne et de la composition du couvert végétal. Basé sur la théorie de la dynamique des populations, ce modèle intègre les processus clés de compétition et d’adaptation entre espèces herbacées, en réponse à différents facteurs externes. Le choix du niveau de diversité pris en compte dans le modèle a été déterminé par une analyse de sensibilité à l’aide d’arbres de régression uni- et multivariés. Nous montrons que la sensibilité aux paramètres de forçage de la communauté végétale diffère sensiblement selon le nombre d’espèces initiales prises en compte. Enfin, nous illustrons par des simulations numériques la réponse de la végétation herbacée à différents scenarios de gestions et de climat, afin de déterminer quels scenarios de gestion permettront à l’agriculture de continuer à satisfaire ces multiples taches dans un futur plus chaud et certainement plus sec.

Nous discutons ici l’existence et la non existence de problèmes aux valeurs propres de type sur un domaine borné de avec conditions aux limites de Dircichlet homogènes. Nous donnons des applications à l’attracteur global de l’équation de sine-Gordon. La première partie de ce travail a été réalisée en collaboration avec Biagio Ricceri (Catane, Italie).

Immune cells allow a priori fast and efficient responses against non-self agents. They rely upon the ability of the organism to identify threats and trigger the most appropriate reactions. Cytotoxic immune responses aim in particular at inducing infected cell death, and to do so they integrate early on information about the nature of the infection in order to perform an appropriate differentiation program. This leads to an important inter-individual variability in terms of cell counts and temporal dynamics among individuals of a given population (for instance, mice or humans). Most theoretical models of immune responses, either mathematical or computational models, usually consider only population-aggregated values such as mean and standard deviation. I will present a modeling approach based on nonlinear-mixed effect models of the specific CD8 T cell immune response, its ability to properly describe the differentiation process leading to the clearance of an infection, and how it can account for inter-individual variability. Then, I will introduce a more complex, multiscale model, accounting for coupled descriptions of both molecular and cellular dynamics, and I will show that it represents an original tool for investigating the influence of early molecular events on the long-term cellular dynamics in silico. My presentation will be based on Crauste et al, Cell Systems (2017), Audebert et al., In Silico Biology (2021), Girel et al., Front. Immunol. (2019), and all works have been done in collaboration with Dr. Marvel’s team at the International Center for Research in Infectiology in Lyon.

In this mini-course, we will explain what is the theory of identifiability, what questions it came from, who made advances in the issue and how it could be used. Since it is a crossing between automatics, statistics and some probability, but also theoretical algebra and computer science, and is used in _applied_ sciences, it makes a "grand écart" that may please those interested in applied mathematics.

Le but de l’exposé est de présenter deux méthodes numériques distinctes pour résoudre des équations aux dérivées partielles elliptiques posées dans des domaines non bornés. Les deux méthodes ont en commun le fait qu’elles soient sans troncature et qu’elles résultent de l’usage des espaces de Sobolev à poids comme cadre fonctionnel permettant de décrire le comportement des solutions à grandes distances. On présentera les principes généraux et la preuve de convergence des deux méthodes. Les résultats numériques obtenus avec un ou plusieurs problèmes issus de la physique confirment l’efficacité et le caractère fortement prometteur de chacune.

Dans cette étude, nous avons revisité les résultats obtenus par M. E. Schonbek [1] concernant le problème d’existence de solutions faibles entropiques globales pour le système de Boussinesq, ainsi que l’existence et l’unicité de solution régulière globale par C. J. Amick [2]. Il s’agit de rétablir ces résultats dans un cadre fonctionnel plus actuel et en utilisant une régularisation par un opérateur “fractal”, (i.e. un opérateur différentiel défini par un multiplicateur de Fourier de type ε|ξ|λ, (ε, λ) ∈ R+×]0, 2]). Nous avons étudié le problème de Boussinesq régularisé et nous avons montré qu’on peut passer à la limite sur la solution de ce problème pour retrouver celle du système de Boussinesq. La méthode utilisée nous a permis d’améliorer l’indice de régularité Sobolev pour le problème d’existence ainsi que l’obtention de la continuité des flots associés aux différents problèmes de Cauchy sous la condition du “non-zero-depth”. Ce travail est effectué en collaboration avec L. Molinet et I. Zaïter. [1] M. E. Schonbek, Existence of Solutions to the Boussinesq System of Equations, Journal of Differential Equations 42 (1981), 325-352. [2] C. J. Amick, Regularity and Uniqueness of Solutions for the Boussinesq System of Equations, Journal of Differential Equations 54 (1984), 231-247. , no.1, 49-96. [3] L. Molinet, R. Talhouk & I. Zaiter, The Boussinesq sytem revisited, Nonlinearity, vol. 34 (2021), no. 2, p. 744.

The modelling of hydrology of catchment basins and rivers holds a central place in environmental sciences, particularly in connection with water availability, urban sewer systems, flood risks and in particular for tsunamis. Indeed, rivers are known to be the tsunami highways. Waves penetrate through rivers much faster inland than the coastal inundation reaches over the ground, and may lead flooding in low-lying areas located several km away from the coastline. Modelling these processes and predicting the motion of water is a difficult task for which substantial effort has been devoted. To this purpose, in this talk, we present the first section-averaged non-linear and weakly dispersive model for open channel and river flows. These equations are the second order shallow water approximation of the section-averaged (three-dimensional) incompressible and irrotational Euler system. This new asymptotic model generalises the well-known one-dimensional Serre-Green- Naghdi (SGN) equations for rectangular section on uneven bottom to arbitrary channel/river section.

When adopting high-order finite volume schemes based on MUSCL reconstruction techniques to approximate the weak solutions of hyperbolic systems with source terms, the preservation of the steady states turns out to be very challenging. Indeed, the designed reconstruction must preserve the steady states under consideration in order to get the required well-balancedness property. A priori, to capture such a steady state, one needs to solve some strongly nonlinear equations. Here, we design a very easy correction to obtain the required well-balancedness property to be satisfied by finite volume methods. This correction can be applied to any scheme of order greater than or equal to , such as a MUSCL-type scheme, and ensures that this scheme exactly preserves the steady solutions. The main discrepancy with usual techniques lies in avoiding the inversion of the nonlinear function that governs the steady solutions. Moreover, for under-determined steady solutions, several nonlinear functions must be considered simultaneously. Since the derived correction only considers the evaluation of the governing nonlinear functions, we are able to deal with under-determined stationary systems. Several numerical experiments illustrate the relevance of the proposed well-balanced correction.

Nous considérons une population structurée par un trait phénotypique et une variable d’espace. Plus précisément, nous étudierons le cas où trois types de pathogènes sont présents : des pathogènes résistants au traitement A, des pathogènes résistants au traitement B, et des pathogènes résistants aux deux traitements. Les traitements A et B sont alternés en espace et nous analysons l’effet de cette hétérogénéité spatiale sur la propagation de l’infection : vitesse, composition de la population, etc. Nous discuterons ce modèle au moyen de simulations déterministes et stochastiques. En fin d’exposé, nous discuterons de développements théoriques qui permettent d’étudier rigoureusement certains modèles et questions discutés dans la première partie de l’exposé. La partie biologique de cette présentation a été réalisé en collaboration avec Matthieu Alfaro, Sylvain Gandon et Quentin Griette. La partie théorique de ce travail est issu de la thèse de Julie Tourniaire, encadrée avec Pascal Maillard.

Dans cet exposé, nous ferons un panorama de méthodes et simulations numériques pour les fluides à seuil, basées sur des méthodes de dualité. Dans un premier temps, nous présenterons le problème des équations de type Bingham dans un canal en expansion-contraction qui permet d’obtenir des couches limites viscoplastiques. Nous revisiterons la théorie asymptotique d’Oldroyd (1947) dans le cas où les nombres caractéristiques sont modérés. Cette étude mélange simulations HPC et allers-retours avec des expériences physiques d’INRAE. Une seconde partie traitera ensuite d’un modèle original de Saint-Venant-Bingham pour ces fluides viscoplastiques, en lien avec des applications géophysiques. Nous proposons un nouveau schéma volumes-finis qui couple dualité et techniques équilibrées. Ses propriétés sont illustrées sur un prototype d’avalanche de neige dense dans le couloir de Taconnaz (massif du Mont-Blanc).

On considère ici des modèles intégrés pour les écoulements a surface libre (extensions du système de Saint-Venant). Ces modèles ont en commun la présence de terme sources qui ont pour conséquence l’existence d’états stationnaires non triviaux, au sens où les inconnues du système (profondeur de l’écoulement et inconnues de vitesse) ne sont pas constantes. Apres avoir montré pourquoi des schémas classiques peuvent mener à des résultats médiocres, nous présenterons deux méthodes pour construire des schémas précis autour de ces états stationnaires. Nous nous intéresserons d’abord à la théorie des solveurs de Riemann approchés pour construire des schéma adaptés à des équilibres unidimensionnels puis nous présenterons un travail autour de la préservation de l’équilibre géostrophique bidimenssionel.

Dans cette exposé je parlerai de l’état de l’art concernant la théorie de l’approximation des équations hyperboliques par des termes de diffusion, et de la combinaison de termes de diffusion et de dispersion (compétition). On regardera différentes formes de ces approximations. On étudiera le problème de Cauchy, puis on s’intéressera à la convergence (ou pas) du problème perturbé vers la solution entropique de l’équation hyperbolique.

In this talk we are interested in the mathematical modeling of the salted bevel. The salted bevel phenomenon, which is by definition the intrusion of salt water into a body of pure water, is a problem that interests many countries where drinking water is an increasingly scarce commodity. For these areas, the preservation of underground water tables against salted water intrusions is a major priority. This presentation aims to the modeling of this salted bevel phenomenon which consists of a coupling between an equation representing the piezometric load, an equation for the transport of the salted substance and an equation for the speed following a darcy’s law. Throughout this presentation we will show the considered model, we will talk about the mathematical analysis and finally we will investigate the numerical simulations showing the dynamics of the interface between fresh water and salt water. This presentation is taken from a work in progress.

We introduce an infinite dimensional system of ordinary differential equations modelling silicosis, and discuss results on existence, uniqueness, basic properties of solutions, and, for a family of coefficients, the structure of equilibria and their linear stability properties, which allow us to understand the local bifurcation of equilibria. The reported results are part of joint works with P. Antunes, M. Drmota, M. Grinfeld, J. Pinto and R. Sasportes.

In this talk I will present some recent results concerning the design and analysis of numerical schemes for advection-diffusion equations or systems. In particular, I will focus on a structure-preserving hybrid finite volume scheme with nonlinear fluxes. I will present its main properties on a simple scalar equation, and illustrate how it is used on more complex systems such as the Van Roosbroeck system for charge transport in magnetized semiconductors. The emphasis will be put on anisotropic diffusion, general meshes as well as the preservation entropy structure and positivity of the solution at the discrete level. From entropy estimates, we will show the well-posedness of the numerical scheme and study the large-time behavior of its solutions thanks to discrete functional inequalities. Along the talk, the theoretical results will be illustrated and complemented with numerical simulations. This is a work in collaboration with Claire Chainais-Hillairet, Simon Lemaire and Julien Moatti.

On considère un système de réaction-diffusion non local décrivant l’adaptation d’un pathogène à hôtes, chacun étant associé à un différent optimumphénotypique dans . Le comportement en temps grand (persistance vs extinction) du problème de Cauchy associé est donné par le signe d’une valeur propre principale. Une grande partie de l’étude se concentre sur le cas (qui est très riche !). On compare notamment avec le cas et montre que la présence d’un troisième hôte peut favoriser ou entraver l’adaptation...

Les écoulements à surface libre sont modélisés de manière simplifiée par les équations de Saint-Venant. Une difficulté récurrente dans la discrétisation de ce système est de préserver l’approximation numérique dans un domaine de validité physique (positivité de la hauteur d’eau, dissipation de l’énergie, équilibre hydrostatique). Dans ce travail, nous nous intéressons à l’apport de deux stratégies faisant appel à un traitement implicite en temps. Premièrement, le cas des faibles nombres de Froude est considéré. Nous raffinons un critère existant permettant de prédire la précision asymptotique d’un schéma dans ce régime, puis nous appliquons ce critère à une méthode Runge-Kutta IMEX basée sur un splitting d’ondes linéaire. L’avantage de cette approche réside dans la condition CFL indépendante du paramètre d’échelle, ainsi que la préservation de l’équilibre hydrostatique. Dans une deuxième partie, nous étudions la version implicite d’un schéma cinétique proposé récemment. Sur fond plat, la méthode obtenue préserve la positivité de la hauteur d’eau et admet une inégalité d’entropie discrète sans contrainte sur le pas de temps. La prise en compte de fonds variables se fait à l’aide de la reconstruction hydrostatique et nécessite une stratégie itérative. Contrairement au cas explicite, la méthode itérative dissipe toujours l’énergie totale du système.

Les systèmes hyperboliques sont connus pour développer des discontinuités en temps fini, ce qui implique de chercher les solutions au sens faible. Ces solutions faibles ne sont cependant pas toutes physiques et on rajoute un critère d’entropie afin de sélectionner les solutions physiquement admissibles. D’un point de vue numérique, il est important que les schémas vérifient une version discrète des inégalités d’entropie, sans quoi le schéma risque de converger vers une solution non-physique ou être instable. Ces inégalités d’entropie discrète sont en général très difficiles à obtenir. Dans cet exposé, on propose une approche où les inégalités d’entropie sont obtenues a posteriori par une procédure d’optimisation. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d’obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d’ordre quelconque. Par une autre procédure d’optimisation, on peut également déterminer la pire donnée initiale vis à vis de l’entropie. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Nina Aguillon, Emmanuel Audusse et Julien Salomon.

The validity of the Gibbons’ conjecture in the quasilinear setting is an hard task. This is mainly caused by the lack of general weak and strong comparison principles. I will talk about a recent result obtained in collaboration with F. Esposito, A. Farina and L. Montoro regarding the validity of the conjecture for the quasilinear elliptic equation . The result holds true for and for a very general class of nonlinearities.