Séminaires GAT en 2026

Le but de cet exposé est de présenter une adaptation du théorème des syzygies de Hilbert au contexte des foncteurs linéaires sur une catégorie monoïdale. Nous rappellerons d'abord ce que dit le théorème des syzygies de Hilbert dans sa version classique. Nous verrons alors apparaître le complexe de Koszul, et nous donnerons une idée de son rôle dans la preuve du théorème de Hilbert. Nous donnerons ensuite les définitions correspondantes pour les foncteurs linéaires sur une catégorie monoïdale, et nous verrons comment on peut définir le complexe de Koszul dans ce contexte, en utilisant les fortes propriétés combinatoires qu'il possède. Finalement, nous énoncerons une version du théorème de Hilbert dans ce cadre. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Serge Bouc.

La fusion dans un groupe fini G est la conjugaison entre deux sous-groupes de G, donnée par un élément de G. D'un intérêt particulier est la fusion dans G entre les p-sous-groupes de G, où p est un nombre premier. Cette << p-fusion >> est encodée dans une catégorie qui a comme objets des sous-groupes d'un p-sous-groupe de Sylow S de G, et est appelée le système de fusion de G, sur S. Un système de fusion peut aussi être défini abstraitement sur un p-groupe fini, via des axiomes qui assurent que des propriétés comme celles du Théorème de Sylow sont présentes. Dans cet exposé, qui est basé sur des collaborations avec Peter Symonds, j'essaierai de présenter comment la structure de système de fusion passe aux pro-p groupes - qui sont des limites projectives de p-groupes finis - et de montrer des propriétés qui persistent et des nouveautés qui apparaissent quand on pousse la fusion à la limite.

Je vais commencer par rappeler des résultats classiques. Un sous-groupe fini W de GL(V), où V est un espace vectoriel complexe, est un groupe de réflexions complexes si et seulement si l'algèbre des invariants C[V]^W est une algèbre de polynômes, auquel cas C[V] est un un C[V]^W-module libre de rang |W| (théorème de Chevalley-Shephard-Todd). Dans le cas d'un groupe de Weyl, Demazure montre de plus que l'inclusion des invariants est une extension de Frobenius, dont la trace peut s'exprimer à l'aide d'opérateurs de différences divisées associées aux racines simples (opérateurs de Demazure). Cette propriété de Frobenius est un préliminaire important pour la construction de la catégorie de Hecke diagrammatique, qui donne une présentation par générateurs et relations de la catégorie des bimodules de Soergel. Dans l'optique de généraliser cette théorie aux groupes de réflexions complexes, il est naturel de chercher à étendre le résultat de Demazure dans ce contexte. Je vais parler d'un travail en commun avec Ben Elias et Ben Young, où nous partons du groupe de Weyl de type A affine (qui ne relève pas des théorèmes précédents car il est infini) pour étudier son quotient fini G(m,m,n) : pour cela, nous utilisons une q-déformation de la matrice de Cartan due à Ben Elias, et nous la spécialisons en une racine 2m-ième de l'unité ; la représentation de réflexion se factorise alors par G(m,m,n). Nous montrons qu'on a encore une extension de Frobenius, et nous étudions l'algèbre de nilCoxeter exotique engendrée par les opérateurs de Demazure associés aux racines simples du groupe de Weyl affine. Cette algèbre fait apparaître des phénomènes nouveaux (dont des relations de "rond-point"), mais reste encore mystérieuse. Pour n = 3, nous déterminons quels mots de longueur 3m (en les opérateurs de Demazure) donnent une trace de Frobenius. Je finirai par quelques résultats expérimentaux.

Format : 60 minutes
Les super-frises sont des généralisations supersymétriques des frises de nombres de Coxeter, dont les entrées sont des éléments d'une superalgèbre commutative. Introduites par Morier-Genoud, Ovsienko et Tabachnikov, les super-frises finies satisfont des propriétés analogues à celles des frises classiques : elles sont déterminées par leurs premières lignes non triviales, satisfont des relations de récurrence linéaires et présentent de la périodicité ainsi qu'une symétrie glissée. De plus, Musiker, Ovenhouse et Zhang ont démontré que toutes les super-frises finies proviennent de triangulations décorées de polygones issues de la théorie de super-Teichmüller. L'objectif de cet exposé est de présenter les super-frises à rangées infinies, ou infinies, provenant de triangulations décorées d'anneaux, ainsi que leurs propriétés combinatoires. Ce travail a été réalisé en collaboration avec A. Burcroff, İ. Çanakçı, F. Fedele et V. Klasz.

L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc. ----- Quantum affine algebras and schemes of bands The objective of this talk is to introduce a new family of geometric objects called schemes of bands, and to explore the links between these objects and the representation theory of quantum affine algebras and their shifted versions. In fact, schemes of bands allow to give a geometric construction of the Grothendieck rings of certain categories of representations of quantum affine algebras. Moreover, they allow one to prove a conjecture of Frenkel and Reshetikhin of 1998 describing a geometric interpretation of the q-characters morphism. This is a joint work with Bernard Leclerc.

Les faisceaux pervers équivariants sur les groupes algébriques réductifs et leurs algèbres de Lie sont des objets fondamentaux en théorie géométrique des représentations. Les travaux de Springer et d'autres ont éclairé le rapport entre les faisceaux pervers et les représentations des groupes de Weyl et celles des algèbres de Hecke affines. Plus récemment, l'étude des faisceaux pervers sur les algèbres de Lie graduées a reconnu de nouveaux intérêts. De nouvelles structures interviennent, telles que les algèbres de Hecke doublement affines (=algèbres de Cherednik) et la théorie des invariants et les groupes de réflexions complexes. Dans mes travaux récents en collaboration avec Tsai, Vilonen et Xue (arXiv:2409.04030,arXiv:2512.20472), nous avons établi une construction uniforme des faisceaux-caractères cuspidaux et ainsi achevé la classification des faisceaux-caractères cuspidaux sur les algèbres de Lie graduées dans de nombreux cas, dont les algèbres de Lie classiques.
Je commencerai cet exposé par un survol des résultats classiques sur les faisceaux pervers sur les groupes réductifs et leurs algèbres de Lie, principalement établis par G. Lusztig dans les années 1980 et 1990. Dans un deuxième temps, j’expliquerai les questions et les résultats autour des faisceaux pervers sur des algèbres de Lie munies d'une graduation cyclique, dont le problème de classer les faisceaux-caractères cuspidaux et son rapport aux modules de dimension finie des algèbres de Hecke doublement affines.

The representation theory of the finite group GLn(Fq) is well understood, thanks to its combinatorial description (given by Green) and its geometric interpretation due to the results of Deligne and Lusztig. Still, we have very little understanding of the multiplicities, i.e. of the decomposition of tensor product of irreducible representations. Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas gave a combinatorial description of the multiplicities in the generic case. This description relates these multiplicities to the cohomology of complex character varieties for GLn(C). In a joint work with Emmanuel Letellier, we try to generalize these results to other groups of type A. In particular, we study multiplicities for characteristic functions of character sheaves of SLn(Fq), rather than irreducible characters, and relate them to the cohomology of complex character varieties for PGLn(C). We expect more generally that , for a finite reductive G(Fq), multiplicities should be related to the character varieties for its complex Langlands dual.

L'homologie dite "polygraphique" a été introduite par Métayer et ses collaborateurs au début des années 2000, afin de généraliser certains résultats de Squier sur l'homologie des monoïdes. Dans cet exposé, je présenterai mes travaux qui ont permis, d'une part, de revisiter les fondements théoriques de cette théorie et, d'autre part, de la généraliser à des coefficients généraux, ouvrant ainsi des perspectives d'applications à l'homologie des foncteurs. Je discuterai également des limitations intrinsèques de l'homologie polygraphique en l'état actuel et esquisserai un programme de généralisation afin de dépasser ces limitations.

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Les W-algèbres affines forment une famille d'algèbres vertex. Elles sont indexées par les orbites nilpotentes des algèbres de Lie simple. En types classiques, elles sont donc indexées par des partitions d'entiers. Ces algèbres vertex quantifient des variétés de Poisson bien connues en théorie de Lie, les tranches de Slodowy. Dans les années 80, Kraft et Procesi ont mis au jour des relations entre différentes tranches de Slodowy. Ces liens se détectent par une règle combinatoire très simple sur les partitions correspondantes. Dans mon exposé, je vais expliquer comment leur travail peut être réinterprété en utilisant des techniques de réduction hamiltonienne. En quantifiant ces réductions, ont peut alors démontrer un analogue de la règle de Kraft et Procesi pour les W-algèbres.

Dans cet exposé, j'expliquerai comment étudier les déformations de surfaces hyperboliques de type fini à bord en utilisant un objet combinatoire appelé le complexe des arcs. Il s'agit d'un complexe simplicial à cliques pur, construit en utilisant les classes d'isotopie des arcs sur la surface. Cette approche a été proposée par Danciger-Guéritaud-Kassel dans « Margulis spacetimes via the arc complex » où ils effectuent des déformations en bandelettes d'une surface convexe cocompacte, le long d'une famille maximale d'arcs disjoints afin d'obtenir des déformations « admissibles » qui allongent uniformément toute géodésique sur la surface. Nous généralisons ce résultat aux surfaces hyperboliques couronnées dont les pointes sont décorées par des horoboules. Le but de l'exposé est d'illustrer comment la topologie du complexe d'arcs permet de mieux comprendre les déformations admissibles. Dans la première partie, je me concentrerai sur les surfaces dites petites, dont le complexe d'arcs est fini. Dans la seconde partie, je parlerai des surfaces générales et discuterai de la façon dont on peut obtenir une paramétrisation des espaces-temps de Margulis décorés par des photons.

Les antichains apparaissent naturellement dans la théorie des représentqtions des ensembles ordonnés car elles décrivent les sous modules des projectifs indécomposables et de la aussi les modules à tête simple. Lorsque l'ensemble ordonné est de plus un treillis, ces modules ont des résolutions projectives canonique qui sont malheureusement pas minimale en général.
Dans cet exposé je présenterai des propriétés d'antichaines qui rendent la résolution projective entre autre, minimale. Dans un travail en commun avec Kleinau, Klasc and Marczinzik, nous nous servons de ces propriété pour classifier les treillis distributifs dont les algèbres d'incidence ont une résolution minimale injective pure. Cela donne des examples et non examples a une propriété introduire par Ajitabh, Smith and Zhang.

Les questions de préservation du volume de méthodes numériques sont des questions importantes en analyse numérique. Via l'analyse d'erreur inverse et les B-séries, il est possible de traduire ses questions en questions de combinatoire algébrique sur les arbres enracinés et les arômes (les cycles d'arbres enracinés).
Nous répondrons ensuite à ces questions par des techniques d'algèbre homologique, plus exactement en calculant la cohomologie de Chevalley-Eilenberg de l'algèbre de Lie arbres enracinés (que nous aurons préalablement introduite) à coefficients dans les arômes.

Les algèbres de Lie affines sont une classe d’algèbres de Lie de dimension infinie associées aux algèbres semi-simples. Leur théorie des représentations présente plusieurs phénomènes nouveaux par rapport au cas de dimension finie. En particulier, les caractères des représentations intégrables font intervenir des formes modulaires et sont liés aux règles de branchement de la structure de produit tensoriel de ces représentations. On sait aujourd’hui qu’il s’agit d’un phénomène général pour les algèbres de vertex fortement rationnelles. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire des W-algèbres fortement rationnelles issues de modèles de type Whittaker pour les algèbres de Lie affines, en s’appuyant sur des blocs de construction appelés « sous-algèbres affines de Gelfand-Zeitlin ».