Séminaires GAT en 2026

Le but de cet exposé est de présenter une adaptation du théorème des syzygies de Hilbert au contexte des foncteurs linéaires sur une catégorie monoïdale. Nous rappellerons d'abord ce que dit le théorème des syzygies de Hilbert dans sa version classique. Nous verrons alors apparaître le complexe de Koszul, et nous donnerons une idée de son rôle dans la preuve du théorème de Hilbert. Nous donnerons ensuite les définitions correspondantes pour les foncteurs linéaires sur une catégorie monoïdale, et nous verrons comment on peut définir le complexe de Koszul dans ce contexte, en utilisant les fortes propriétés combinatoires qu'il possède. Finalement, nous énoncerons une version du théorème de Hilbert dans ce cadre. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Serge Bouc.

La fusion dans un groupe fini G est la conjugaison entre deux sous-groupes de G, donnée par un élément de G. D'un intérêt particulier est la fusion dans G entre les p-sous-groupes de G, où p est un nombre premier. Cette << p-fusion >> est encodée dans une catégorie qui a comme objets des sous-groupes d'un p-sous-groupe de Sylow S de G, et est appelée le système de fusion de G, sur S. Un système de fusion peut aussi être défini abstraitement sur un p-groupe fini, via des axiomes qui assurent que des propriétés comme celles du Théorème de Sylow sont présentes. Dans cet exposé, qui est basé sur des collaborations avec Peter Symonds, j'essaierai de présenter comment la structure de système de fusion passe aux pro-p groupes - qui sont des limites projectives de p-groupes finis - et de montrer des propriétés qui persistent et des nouveautés qui apparaissent quand on pousse la fusion à la limite.

Je vais commencer par rappeler des résultats classiques. Un sous-groupe fini W de GL(V), où V est un espace vectoriel complexe, est un groupe de réflexions complexes si et seulement si l'algèbre des invariants C[V]^W est une algèbre de polynômes, auquel cas C[V] est un un C[V]^W-module libre de rang |W| (théorème de Chevalley-Shephard-Todd). Dans le cas d'un groupe de Weyl, Demazure montre de plus que l'inclusion des invariants est une extension de Frobenius, dont la trace peut s'exprimer à l'aide d'opérateurs de différences divisées associées aux racines simples (opérateurs de Demazure). Cette propriété de Frobenius est un préliminaire important pour la construction de la catégorie de Hecke diagrammatique, qui donne une présentation par générateurs et relations de la catégorie des bimodules de Soergel. Dans l'optique de généraliser cette théorie aux groupes de réflexions complexes, il est naturel de chercher à étendre le résultat de Demazure dans ce contexte. Je vais parler d'un travail en commun avec Ben Elias et Ben Young, où nous partons du groupe de Weyl de type A affine (qui ne relève pas des théorèmes précédents car il est infini) pour étudier son quotient fini G(m,m,n) : pour cela, nous utilisons une q-déformation de la matrice de Cartan due à Ben Elias, et nous la spécialisons en une racine 2m-ième de l'unité ; la représentation de réflexion se factorise alors par G(m,m,n). Nous montrons qu'on a encore une extension de Frobenius, et nous étudions l'algèbre de nilCoxeter exotique engendrée par les opérateurs de Demazure associés aux racines simples du groupe de Weyl affine. Cette algèbre fait apparaître des phénomènes nouveaux (dont des relations de "rond-point"), mais reste encore mystérieuse. Pour n = 3, nous déterminons quels mots de longueur 3m (en les opérateurs de Demazure) donnent une trace de Frobenius. Je finirai par quelques résultats expérimentaux.

Format : 60 minutes
Les super-frises sont des généralisations supersymétriques des frises de nombres de Coxeter, dont les entrées sont des éléments d'une superalgèbre commutative. Introduites par Morier-Genoud, Ovsienko et Tabachnikov, les super-frises finies satisfont des propriétés analogues à celles des frises classiques : elles sont déterminées par leurs premières lignes non triviales, satisfont des relations de récurrence linéaires et présentent de la périodicité ainsi qu'une symétrie glissée. De plus, Musiker, Ovenhouse et Zhang ont démontré que toutes les super-frises finies proviennent de triangulations décorées de polygones issues de la théorie de super-Teichmüller. L'objectif de cet exposé est de présenter les super-frises à rangées infinies, ou infinies, provenant de triangulations décorées d'anneaux, ainsi que leurs propriétés combinatoires. Ce travail a été réalisé en collaboration avec A. Burcroff, İ. Çanakçı, F. Fedele et V. Klasz.

L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc. ----- Quantum affine algebras and schemes of bands The objective of this talk is to introduce a new family of geometric objects called schemes of bands, and to explore the links between these objects and the representation theory of quantum affine algebras and their shifted versions. In fact, schemes of bands allow to give a geometric construction of the Grothendieck rings of certain categories of representations of quantum affine algebras. Moreover, they allow one to prove a conjecture of Frenkel and Reshetikhin of 1998 describing a geometric interpretation of the q-characters morphism. This is a joint work with Bernard Leclerc.