Séminaires GAT en 2019

Un foncteur de Green à bi-ensembles est un monoïde dans la catégorie monoïdale des foncteurs à bi-ensembles. A chaque foncteur de Green à bi-ensembles , on peut associer deux autres foncteurs de Green, son commutant , et son centre . Dans cet exposé, on présentera quelques propriétés de ces deux objets, qui permettent notamment de décomposer la catégorie des -modules en un produit de catégories abéliennes. Il s’agit d’un travail en commun avec Serge Bouc.

Je présenterai des résultats récents obtenus en commun avec C. Bonnafé et R. Rouquier sur la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Ces variétés sont associées à un élément du monoïde de tresses d’Artin-Tits d’un groupe de Weyl , et leur cohomologie est un outil essentiel dans la construction des représentations des groupes finis de type de Lie, tels que ou . J’expliquerai l’effet sur leur cohomologie de la translation d’un élément du monoide par le générateur du centre (égal au carré de l’élément de plus grande longueur de ). Cela correspond à un changement de -structure dans une certaine catégorie de faisceaux qui se traduit par de simples décalages explicites de la cohomologie.

L’étude du treillis des idéaux du foncteur de Green à bi-ensembles fait apparaître la notion combinatoire de -groupe fini, qui présente plusieurs caractéristiques inattendues. Dans cet exposé, j’expliquerai comment l’étude des idéaux des foncteurs de Burnside décalés conduit dans le même esprit à la notion de -groupe relatif, et comment les propriétés des -groupes s’étendent aux -groupes relatifs.

Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calcul homologiques et homotopiques. Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les bicomplexes et les complexes filtrés. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de -quasi-isomorphisme, liée à la -ieme page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que la catégorie des bicomplexes admet des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les -quasi-isomorphismes. Si le temps le permet on esquissera un résultat similaire pour les complexes filtrés.

Ceci est un travail en commun avec : Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

Sur l’exemple historique de la tresse , un élément de Garside dans un monoïde est un élément , ou une famille d’éléments , dont les diviseurs donnent une décomposition canonique pour tous les éléments de . On décrira cette approche dans le cas du monoïde de Thompson , proche d’un monoïde commutatif libre avec diviseurs de , et dans celui, plus compliqué combinatoirement, d’un monoïde qui est une sorte d’amalgame de et du monoïde tresses (thèse d’Emilie Tesson).

We consider a repetition procedure to construct gentle algebras out of a given gentle bound quiver. I would like to show how their Avella-Alaminos-Geiss invariants are determined by those of the original one, and how this repetition can be expressed by an upper-triangular matrix algebra. I will also mention a few cases where this procedure preserves derived equivalences.

Ce travail est commun avec Manuel Saorin. L’ensemble des structures de -module sur un espace vectoriel de dimension finie forme une variété affine sur laquelle un groupe algébrique agit. Les orbites correspondent aux classes d’isomorphisme. Un module dégénère vers un module si appartient à l’adhérence de Zariski de l’orbite de .

Zwara et Riedtmann montrent que ceci est équivalent à l’existence d’une certaine suite exacte de modules. Remplaçant les suites exactes par les triangles distingués on obtient un concept de dégénérescence pour les catégories triangulées. Il était connu depuis longtemps que l’objet zéro d’une catégorie triangulée dégénère vers tous les objets . Suivant une idée de Yoshino, le concept à caractère géométrique a été généralisé aux catégories triangulées dans un travail avec Manuel Saorin. A cette fin une théorie de déformations a été développée, et on a montré que cette théorie de dégénérescence géométrique est équivalente, sous certaines conditions, à la version algébrique.

Dans cet exposé on présente une étude systématique des dégénérescence de l’objet zéro. Quant au concept géométrique, contrairement au cas des modules, on a dû admettre des structures de déformations avec torsion. Il s’avère que les dégénérescences provenant des structures de torsion correspondent exactement aux dégénérescences de l’objet zéro. Quant au concept algébrique on montre que les dégénérescences de zéro sont à la base de toute autre dégénérescence, et on clarifie le lien avec les objets qui disparaissent dans le groupe de Grothendieck.

Dans sa forme historique, le théorème de Whitehead dit qu’un morphisme entre CW-complexe admet un inverse à homotopie près si et seulement si il induit un isomorphisme sur tout les groupes d’homotopies. A priori, ce résultat n’a de sens que dans le cas des espaces topologiques mais la théorie des catégories modèles permet de le comprendre comme un cas particulier d’un phénomène général. Après une introduction sur la notion de catégorie modèle, on verra à travers des exemples comment définir des "groupes d’homotopies" et comprendre le théorème de Whitehead dans une catégorie modèle. On appliquera ensuite ces observations à la construction d’une catégorie modèle pour les espaces stratifiés.

Etant donné un treillis distributif fini , la catégorie des correspondances généralisées (à valeurs dans ) a pour objets les ensembles finis et pour flèches de vers les applications ; un foncteur de correspondances généralisées sur un anneau commutatif k est alors un foncteur de cette catégorie vers la catégorie des -modules, c’est-à-dire une représentation -linéaire de cette catégorie. Dans un tel contexte, l’étude des foncteurs simples est généralement fructueuse ; la situation présente n’échappe pas à cette règle puisque non seulement l’étude des foncteurs simples est intéressante per se, généralisant notamment des résultats connus pour « le » treillis à deux éléments, mais encore elle permet d’obtenir des résultats, notamment d’engendrement fini et de stabilisation, valables pour tous les foncteurs de correspondances généralisées.

Les règles de branchement du groupe symétrique en caractéristique 0 se déduisent de l’étude d’un graphe combinatoire appelé graphe de Young. En caractéristique positive, de telles règles sont aussi contrôlées par un graphe combinatoire remarquable issu de la théorie des représentations des groupes quantiques. Dans cet exposé, nous étudions divers problèmes de branchement concernant des algèbres liés aux groupe symétriques (algèbres de Hecke, de Ariki Koike ou Algèbres de Cherednik rationnelle) et nous présentons les objets combinatoires qui permettent de les étudier. Nous donnerons aussi quelques applications liées à la théorie des représentations de ces algèbres.

L’algèbre des diagrammes de Brauer est une extension de l’algèbre de groupe du groupe symétrique, et est son analogue pour la dualité de Schur-Weyl associée aux groupes orthogonaux et symplectiques. Cette algèbre a été généralisée aux groupes de Weyl de type ADE par Cohen, Frenk et Wales dans les années 2000, et par Chen à tous les groupes de réflexions dans les années 2010. Cet exposé présentera cette algèbre, des développements récents sur le sujet, ainsi que les problèmes à résoudre pour prolonger son étude.

Cluster algebras come with a canonical partial basis : the cluster monomials. Extending this partial basis to a full basis has been one of the central problems in the theory giving raise to a varied zoo of constructions. In this talk we will explain how Lie theory can be used to relate them.

Specifically, after recalling the basic definitions, we will explain how any acyclic cluster algebra can be seen as the ring of coordinates of a suitable double Bruhat cell in the associated Kac-Moody group. Under this identification we will interpret cluster monomials as generalized minors —certain functions on a Kac-Moody group defined in terms of its representations— and explain how one can use generalized minors to extend cluster monomials to a continuous family of bases of the cluster algebra in the affine cases.

This talk is based on joint works with D. Rupel and H. Williams.

In the local representation theory of finite groups, a vertex of an indecomposable -module is a minimal subgroup such that is isomorphic to a direct summand of a module induced from . This definition can be adapted to the Hecke algebra of the symmetric group at a root of unity and its quasi-hereditary cover, the category of the Cherednik algebra at a corresponding parameter. I will explain how studying the vertices of the latter module category leads to a new proof of the Dipper-Du Conjecture over (previous proofs are due to Du and Whitley) classifying the vertices of the Hecke algebra.

Travail en commun avec James Parkinson (Université de Sydney)

La théorie de Kazhdan-Lusztig pour les groupes de Weyl (affines) dans le cas des "paramètres égaux" est bien comprise grâce à une interprétation géométrique de certains objets. Cette interprétation permet notamment de montrer que les polynômes de Kazhdan-Lusztig sont à coefficients positifs. Dans le cas des paramètres inégaux, il n’y a plus d’interprétation géométrique et la positivité tombe en défaut même dans des exemples très simples. En s’inspirant du cas des paramètres égaux, Lusztig a formulé une série de conjectures qui capturent les propriétés essentielles des objets de cette théorie dans le cas des paramètres inégaux. Dans cet exposé, après avoir introduit ces conjectures, je présenterai quelques idées qui permettent de les prouver dans le cas des groupes de Weyl affines de rang 2.

Les algèbres aimables (en anglais « gentle algebras ») forment une classe d’algèbres associatives aux bonnes propriétés homologiques, particulièrement puisque cette classe est stable par équivalence dérivée. Elles apparaissent naturellement dans l’étude du basculement itéré, dans la catégorification des algèbres amassées et, plus récemment, dans l’étude des catégories de Fukaya de certaines surfaces avec bord.

La théorie des représentations des algèbres aimables s’étudie au moyen de mots sur leur carquois de Gabriel, qui eux-mêmes se traduisent par des courbes sur une certaine surface. C’est ce « modèle géométrique » que nous présenterons dans cet exposé. Nous verrons qu’il donne une description fine de la catégorie dérivée d’une algèbre aimable, qu’il mène à une classification de leurs objets basculants et bousculants, et qu’il permet la définition d’un invariant dérivé numérique complet pour les algèbres aimables. (Ces deux derniers résultats sont issus d’un travail en cours avec C.Amiot et S.Schroll).

Garside structures were developed in order to better understand Artin groups and their generalizations. Finite-type Artin groups admit two types of Garside structures corresponding to their standard and dual presentations. Concerning Euclidean Artin groups, François Digne established Garside structures for two families of these groups by using their dual presentations. Recently, Jon McCammond established that none of the remaining dual presentations (except for one additional case) correspond to Garside structures. He and Robert Sulway also identified Euclidean Artin groups as subgroups of other Garside groups, thereby clarifying some of their properties. In this talk, shifting attention from dual presentations to other presentations for type , I will construct standard Garside structures for this type of Euclidean Artin groups.

Une correspondance entre deux ensembles finis est un sous-ensemble de leur produit direct. Les correspondances peuvent être composées et cela donne naissance à la catégorie des ensembles finis et correspondances. Un foncteur de correspondances est une représentation linéaire de cette catégorie. Les foncteurs de correspondances simples sont paramètrés par des triples où est un ensemble fini, est une relation d’ordre sur , et est un module simple pour l’algèbre du groupe . Nous décrirons pour quels triples le foncteur simple associé est projectif. Le lien étroit avec la théorie des treillis sera aussi expliqué et exploité.

Il s’agit d’un travail commun avec Serge Bouc.

(Avec Maria Cumplido, Volker Gebhardt et Bert Wiest.) Le complexe de courbes est un objet géométrique classique associé à une surface donnée. Le groupe modulaire de la surface (groupe d’automorphismes modulo déformation) agit sur le complexe de courbes par isométries, et ça permet de montrer des propriétés algébriques du groupe. Cela s’applique au cas particulier des groupes de tresses.

Les groupes d’Artin-Tits sont une généralisation algébrique naturelle des groupes de tresses. Ceux de type sphérique partagent beaucoup de propriétés avec les groupes de tresses, mais un tel groupe ne peut pas être vu, en général, comme le groupe modulaire d’une surface. Néanmoins, on verra qu’il existe un analogue algébrique du complexe du courbes, un espace géométrique sur lequel un groupe d’Artin-Tits de type sphérique agit par isométries : le complexe des sous-groupes paraboliques irréductibles.

Dans cet exposé on introduira cet objet, et on montrera que l’intersection de sous-groupes paraboliques est un sous-groupe parabolique (une vieille conjecture), et que ces sous-groupes forment un treillis par rapport à l’inclusion. On essaie de généraliser quelques propriétés des groupes de tresses à tous les groupes d’Artin-Tits de type sphérique, en utilisant leur action sur ces complexes.

Cet exposé traitera de théorie des représentations modulaires des groupes finis. Le but est d’y présenter une classification des modules de source triviale dans les blocs à groupes de défaut cycliques se basant sur les résultats de trois travaux plus ou moins récents :

la classification des blocs à groupes de défaut cycliques à équivalence de source près par Linckelmann (1996) ; la description de la distance d’un module indécomposable au bord du carquois stable d’Auslander-Reiten d’une algèbre d’arbre de Brauer par Bleher-Chinburg (2002) ; la classification des modules relevables dans les blocs à groupes de défaut cycliques par Hiß-Naehrig (2012). Par les résultats de Janusz (1969) les modules indécomposables des blocs à groupes de défaut cycliques sont paramétrés par trois paramètres : un chemin sur l’arbre de Brauer, une orientation et une multiplicité. On décrira donc les modules indécomposables de source triviale par la donnée de ces trois paramètres. Il s’agit d’un travail en commun avec Gerhard Hiß.

Etant donnés un entier premier , un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle et un sous-groupe de Borel standard de , il a été prouvé par Paskunas que la restriction à encodait de nombreuses informations sur les représentations lisses irréductibles du groupe à valeurs dans un corps algébriquement clos de caractéristique p. Malheureuse- ment, les preuves de Paskunas reposent très fortement sur certaines spécifici- tés combinatoires du groupe , qui permettent notamment d’exploiter assez directement l’action d’un opérateur de Hecke sphérique très particu- lier, mais laissent très peu d’espoir quant à un passage à d’autres groupes. Elles peuvent être partiellement transposées à quelques exemples de groupes quasi-déployés de rang 1, mais ce n’est vraiment pas très satisfaisant en l’état. Dans cet exposé, nous expliquerons comment, dans un travail en com- mun avec J. Hauseux, nous proposons une réinterprétation des résultats de Paskunas à l’aide du foncteur parties ordinaires d’Emerton. Ceci nous per- met d’en obtenir une généralisation pour tout groupe de rang relatif 1, et ouvre des perspectives intéressantes pour les groupes de rang supérieur. En particulier, nous prouvons que pour de tels groupes, la restriction d’une re- présentation lisse irréductible supercuspidale à un sous-groupe parabolique minimal standard est toujours irréductible.

Travail en commun avec Anthony Henderson et Thomas Gobet. En 2017 j’ai défini une algèbre "de Hecke" déformant l’algèbre de groupe du normalisateur d’un sous-groupe de réflexions d’un groupe de réflexions complexes. Dans ce travail en cours, nous étudions sa structure. Dans le cas particulier d’un groupe de réflexions réel, nous montrons qu’elle se déduit d’une structure de produit semi-direct au niveau des groupes de tresses associés au groupe de réflexions et à son sous-groupe, respectivement.

Dans cet exposé on se propose de rappeler trois constructions classiques de la cohomologie singulière des espaces : une version simpliciale, une version faisceautique et une version homotopique. Des travaux récents de Holstein et Lurie, qui généralisent la correspondance de Riemann-Hilbert, ont mis en lumière des relations très profondes entre l’approche faisceautique et l’approche simpliciale. On présentera ces travaux et si le temps le permet on expliquera comment ces résultats peuvent s’étendre au cadre stratifié et permettent d’envisager une approche homotopique à la théorie des faisceaux pervers.

Let be a finite quasi-simple group, i.e. is equal to its commutator subgroup, and is simple modulo its center. Now suppose that is embedded into a finite classical group via an absolutely irreducible representation of which is not realizable over a smaller field (than the one underlying ). We discuss the question of when the normalizer of in is a maximal subgroup of . We show that the answer, in general, is positive, if the degree of the embedding of in is as small as possible. This is part of the Aschbacher program for determining the maximal subgroups of the finite classical groups.

The mod p local Langlands correspondence is well-understood for , but is still very mysterious in other cases. In this talk, I will discuss some results on the mod correspondence for when is a finite unramified extension of , in the context of the Buzzard-Diamond-Jarvis conjecture. This is joint work in progress with Haoran Wang.

Given a finite group and a faithful irreducible -module , such that divides , does have a regular orbit on ? Here, we are particularly interested in the case where is a covering group of an almost simple group whose socle is sporadic : We classify the pairs for which has no regular orbit on , and determine the minimal base size of in its action on .

In the talk, we will give some indications why the above questions are interesting at all, how this kind of classification problem can be attacked from the group theoretical side, and which computational methods are involved in the end. This is joint work with J. Fawcett, E. O’Brien, and R. Wilson.

La correspondance qui à un groupe fini associe le groupe des unités de son anneau de Burnside est un foncteur de bi-ensembles sur le corps à deux éléments. Démontrer la simplicité de la restriction de ce foncteur aux groupes d’ordre impair équivaut à démontrer le théorème de Feit-Thompson. A défaut d’une telle preuve directe ;-) , j’utiliserai le théorème de Feit-Thompson pour déduire des propriétés de certains foncteurs de bi-ensembles en caractéristique 2.