Séminaires GAT en 2021

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la catégorie des représentations lisses d’un groupe p-adique. Une problème naturel est alors de la décomposer en un produit de sous-catégories indécomposables, appelées blocs. Lorsque les représentations sont à coefficients complexes, le théorème de décomposition de Bernstein nous fournit le résultat. Toutefois, lorsque l’anneau des coefficients est , la décomposition en blocs reste mystérieuse. Nous introduirons, pour un groupe réductif fini, la notion de (d,1)-séries. Ces dernières, définies à partir de la théorie de Harish-Chandra et de Deligne-Lusztig, forment une partition des représentations irréductibles. De plus, elles nous permettront d’obtenir la décomposition en l-blocs de la catégorie unipotente d’un groupe p-adique simplement connexe.

Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Gustavo Jasso, Sondre Kvamme et Tashi Walde. La correspondance de Hovey permet de construire des structures de modèles sur des catégories abéliennes, ou sur leurs catégories de complexes, à partir d’une simple donnée algébrique. Les catégories homotopiques apparaissant dans la nature (mathématique), par exemple la KK-théorie, ne proviennent pas toujours de catégories de modèles. Ce phénomène est l’une des motivations pour introduire la notion de catégorie de fibrations. Nous montrons une correspondance du type correspondance de Hovey pour les structures de catégorie de fibrations sur les catégories exactes. En application, nous retrouvons des structures triangulées sur certaines catégories quotients apparaissant en théorie des représentations. Le cadre dans lequel nous travaillons est celui des infinies-catégories exactes. Si le temps le permet, je dirai quelques mots à ce sujet.

Dans cet exposé on va introduire les foncteurs admissibles de présentation finie mod_adm(E) pour une catégorie exacte . En particulier, on caractérise les catégories exactes de la forme mod_adm(E), et on démontre qu’elles ont des propriétés similaires aux catégories des modules d’une algèbre d’Auslander. Pour une catégorie additive idempotents-complète, on utilise aussi cette construction pour démontrer que les structures exactes sur correspondent à certaines sous-catégories résolvantes dans mod(C). Ceci est un travail en collaboration avec Ruben Henrard et Adam-Christiaan van Roosmalen.

Les concepts de vortex et source d’un module indécomposable sont fondamentaux pour la théorie modulaire des représentations de groupes. Les résultats clefs sont le lemme de Higman et la correspondance de Green. Pour cette dernière Carlson, Peng et Wheeler ont montré qu’elle est la restriction d’une paire de foncteurs adjoints entre certains catégories triangulées à certaines sous-catégories additives. Puis, Auslander et Kleiner ont élargi le cadre de correspondance de Green aux paires de foncteurs adjoints entre catégories additives. Dans cet exposé je vais étudier les concepts de vortex, projectivité relative à un sous-groupe, et correspondance de Green au cadre de paires adjointes de foncteurs entre catégories triangulées.

Les foncteurs de Mackey ont suscité beaucoup d’intérêt en théorie des groupes finis en particulier. Dans cet exposé, nous allons présenter la notion de foncteur de Mackey pour un groupe profini en nous basant sur des travaux de Blei-Boltje, de Dress-Siebeneicher et de Nakaoka, et discuter de quelques aspects intrigants de ces foncteurs.

Soit un groupe réductif réel ou -adique. Un objet important de la théorie des représentations de est le « dual tempéré » de — l’ensemble des classes d’équivalence de représentations irréductibles tempérées de . Ce dual tempéré est naturellement muni d’une topologie. Pour la décrire, la stratégie la plus classique est de passer par l’étude de la -algèbre réduite. Les composantes connexes du dual tempéré apparaissent comme les spectres de certains « blocs » de cette -algèbre. Pour les groupes réductifs réels, A. Wassermann a montré en 1987 que ces blocs ont tous, à Morita-équivalence près, une structure très belle et très simple qui encode les phénomènes de réductibilité des représentations induites. Ce résultat lui permit de vérifier la conjecture de Baum-Connes-Kasparov pour les groupes réductifs réels, et révéla l’existence d’une structure géométrique très simple pour chaque composante connexe du dual tempéré. Pour les groupes -adiques, l’existence d’une structure analogue ne va pas du tout de soi. Elle a été établie, pour certains exemples de blocs simples de groupes simples, par R. Plymen et ses étudiants. Je présenterai un travail avec Anne-Marie Aubert qui (1) donne une condition nécessaire et suffisante, en termes des R-groupes de Knapp-Stein-Silberger, pour l’existence d’un théorème de structure « à la Wassermann », et (2) détermine explicitement les composantes qui vérifient cette condition pour les groupes symplectiques, orthogonaux ou unitaires sur un corps p-adique.

Les ensembles ordonnés de Tamari possèdent une symétrie cachée : leur catégorie dérivée est Calabi-Yau fractionnaire, c’est-à-dire qu’une certaine puissance du foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage. La première démonstration de ce résultat repose sur l’existence d’une famille d’objets indécomposables sur laquelle on comprend bien l’action du foncteur de Serre. Cette famille est très jolie, mais sa construction est assez technique, elle se base sur trois objets combinatoires : les arbres non-croisés, les `intervalle-posets’ de Châtel et Pons et les intervalles exceptionnels dans les ensembles ordonnés de Tamari. Dans cet exposé, je vais présenter les premières étapes d’une nouvelle démonstration qui se basera sur la théorie des représentations des algèbres de carquois. Cela devrait donner une démonstration plus conceptuelle qui se généralisera à d’autres familles d’ensembles ordonnés.

In this talk, the configuration space of marked points on the complex plane is considered. We investigate a decomposition of this space by so-called Gauss-skizze i.e. a class of graphs being forests. These Gauss-skizze, reminiscent of Grothendieck’s dessins d’enfant, provide a totally different real geometric insight on this complex configuration space, which under the light of classical complex geometry tools, remains invisible. Topologically speaking, this stratification is shown to be a Goresky–MacPherson stratification. We prove that for Gauss-skizze, classical tools from deformation theory, ruled by a Maurer—Cartan equation can be used only locally. We show as well, that the deformation of the Gauss-skizze is governed by a Hamilton—Jacobi differential equation. Finally, a Gauss-skizze operad is introduced which can be seen as an enriched Fulton—MacPherson operad, topologically equivalent to the little 2-disc operad. The combinatorial flavour of this tool allows not only a new interpretation of the moduli space of genus 0 curves with n marked points, but gives a very geometric understanding of the Grothendieck—Teichmuller group. 1er avril 2021

I will talk about alternative viewpoints on "local compactness". Many examples motivate contemplating this concept further. For example, there is a proof of Riemann-Roch for algebraic curves over a finite field using Poisson summation on the adèles. The underlying Haar measure only exists if the adèles are locally compact. This is true if (and only if) the base field is finite. But Riemann-Roch works over all fields. Can this proof be generalized to all fields ? Or, in 1968, Tate gave a coordinate-independent definition of the residue of a -form on algebraic curves. To avoid coordinates, he uses a locally linearly compact topology. Beilinson generalized this to all dimensions, but the topology gets replaced by a more involved concept (essentially iterated Tate categories). This suggests to analyse more deeply how local compactness enters into these constructions and how this can be generalized. I will give a vaguely historical introduction to this circle of ideas and some recent developments.

Dans cet exposé, motivé par l’étude de triangulations équivariantes des tores maximaux des groupes de Lie, par rapport à l’action du groupe de Weyl, on s’intéresse au cas général des groupes de Coxeter finis et l’on définit, pour ces groupes, des variétés qui jouent le rôle de tores. Dans un premier temps, nous verrons comment construire explicitement une triangulation équivariante d’un tore maximal d’un groupe de Lie compact. Nous utilisons naturellement le vocabulaire des données radicielles et l’alcôve fondamentale (ou une subdivision) pour y parvenir. La combinatoire obtenue a un sens pour tout groupe de Coxeter fini irréductible ; il est donc naturel de se demander s’il s’agit d’une information géométrique. Dans un second temps, on définit des extensions des groupes non cristallographiques, qui jouent le rôle de groupe affine, mais qui sont en réalité hyperboliques compacts. En considérant un sous-groupe convenable de l’extension, on construit une variété compacte hyperbolique et une triangulation donnant le complexe souhaité, qui prolonge le cas des groupes de Weyl. Nous terminerons en donnant quelques propriétés de ces variétés et notamment leur représentation d’homologie.

An important task in computational group theory is the construction of small bases of finite permutation groups. Halasi and Maróti have shown that under favorable conditions there always exists a base of size 3. In my talk I will introduce a generalized base for every abstract finite group without the presence of a group action. These bases are instead attached to a prime p. Building on Halasi-Maroti’s result, I showed that every p-solvable group has such a generalized base of size 3. I will also put forward a new conjecture on the existence of small generalized bases.

Dans le cadre de la théorie duale des groupes de Coxeter, nous étudions les groupes d’intervalles associés aux éléments de quasi-Coxeter dans un groupe de Coxeter fini. Nous identifions si ces groupes d’intervalles sont des groupes de Garside. Nous établissons aussi des présentations de ces groupes en utilisant les diagrammes de Carter admissibles. Cela nous permet d’obtenir de nouvelles présentations de certains groupes d’Artin et d’identifier les groupes d’intervalles qui sont isomorphes aux groupes d’Artin associés.

In representation theory, double centraliser property is an important property for a module (bimodule), it plays a fundamental role in many theories. In this paper, we further introduce this property to complexes in derived categories of finite dimensional algebras, we called derived double centraliser property. Characterizations for complexes with the derived double centraliser property in derived categories of hereditary algebras are given. In particular, all complexes with such property in derived categories of upper triangular matrix algebras are classified.

In this talk we will discuss a class of affine algebraic varieties associated with positive braids, their cluster structures and their relation to open Bott-Samelson varieties. I will begin by explaining our motivation which comes both from symplectic topology and from the study of link invariants such as HOMFLY-PT polynomials. Then we will discuss how the study of differential graded algebras associated with certain Legendrian links turns out to be related to the algebraic geometry of Richardson varieties in type A. I will illustrate our results and conjectures concerning this interplay between topology and algebraic geometry with the example of open positroid varieties in Grassmannians. If time permits, I will briefly explain conjectural links between certain stratifications of braid varieties and cluster structures on their coordinate rings. This is joint work with Roger Casals, Eugene Gorsky, and José Simental.

Les algèbres de Brauer ont été introduites par Brauer en 1937 comme l'objet dual aux groupes orthogonaux et symplectiques dans le contexte de la dualité Schur-Weyl. La forme originale de l'algèbre de Brauer est une extension naturelle de l'algèbre de groupe du groupe symétrique. Il a fallu jusqu'à 1988 pour que leur structure soit complètement décrite par Wenzl. Depuis, de nombreux efforts ont été déployés pour définir des telles algèbres correspondant aux autres types de groupes de Coxeter, mais aussi pour des groupes de réflexions complexes. En 2011, Chen a donné une définition uniforme d'une algèbre de Brauer, associée à chaque groupe de réflexions complexes fini, qui généralise beaucoup d'algèbres de type de Brauer existantes. Dans cet exposé, nous parlerons du contexte qui a conduit à l'algèbre de Brauer-Chen et nous allons discuter quelques résultats concernant sa structure.

Le but de ma thèse est de construire des décompositions cellulaires explicites d'espaces apparaissant en théorie de Lie, équivariantes pour l'action du groupe de Weyl . Dans cet exposé, on se concentre sur la variété de drapeaux réelle de . Plus précisément, nous étudions trois décomposition cellulaires -équivariantes de la variété de drapeaux de . La première a pour point de départ le graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson, la deuxième utilise le fait que le revêtement universel de est la 3-sphère et donne un complexe de chaînes cellulaires particulièrement simple. La troisième repose sur un domaine fondamental de Dirichlet-Voronoï, défini en utilisant uniquement une métrique riemannienne normale homogène sur . Ainsi, cette méthode semble généralisable aux autres variétés de drapeaux. Nous donnons quelques résultats préliminaires dans ce sens.

Cluster categories were introduced in 2006 by Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov in order to categorify acyclic cluster algebras without coefficients. Their construction was generalized by Amiot and Plamondon to arbitrary cluster algebras associated with quivers (2009 and 2011). A higher dimensional generalization is due to Guo (2011). Cluster algebras with coefficients are important since they appear in nature as coordinate algebras of varieties like Grassmannians, double Bruhat cells, unipotent cells,…. The work of Geiss-Leclerc-Schröer often yields Frobenius exact categories which allow to categorify such cluster algebras. In this talk, we will present the construction of the Higgs category (generalizing GLS' Frobenius categories E) and of the relative cluster category (generalizing the derived category of E). The Higgs category is no longer exact but still extriangulated in the sense of Nakaoka-Palu (2019). If time permits, we will show how the higher-dimensional version of our constructions are related to Iyama's higher Auslander-Reiten theory.

Intersection (co)homology is a way to enhance classical (co)homology, allowing us to use a famous result called Poincaré duality on a large class of spaces known as stratified pseudomanifolds. There is a theoretically powerful way to arrive at intersection (co)homology by a classifying sheaves that satisfy what are called the Deligne axioms. Parallel to this, it is common knowledge in algebraic topology that simplicial structures make for good representations of topological spaces. There is a successful way to construct a simplicial intersection (co)homology exposed in the works of D. Chataur, D. Tanré and M. Saralegi-Araguren, but a simplicial manifestation of the Deligne axioms has remained under shadows until now. This exposition draws on constructions made by these authors, showing a simplicial manifestation of the Deligne axioms. This consists on presenting categories of "simplicial sheaves", localizing them appropriately and then stating "simplicial Deligne axioms". All this for different simplicial structures one can encounter. We finalize by presenting sheaves that satisfy the axioms on simplicial complexes.

Les algèbres de Hecke apparaissent en théories des représentations des groupes réductifs finis comme algèbre des doubles par l'action d'un sous groupe de Borel d'un groupe de Chevalley. On peut également les définir comme quotient de l'algèbre de groupe du groupe de tresses associé. C'est cette définition qui sera utilisée dans le cas d'un groupe de réflexions complexe fini. Les algèbres de Hecke ont été utilisés pour la construction d'invariants polynomiaux des nœuds comme le polynôme de Jones et HOMFLYPT. Dans les années 60, Yokonuma introduit une généralisation des algèbres de Hecke dans le cadre des groupes réductifs finis. Cela permet de définir de nouveaux invariants de noeuds. En 2014, Juyumaya et Aicardi définissent une sous algèbre de l'algèbre de Yokonuma Hecke de type A, appelée algèbre Braids and Ties ce qui leur permet de définir de nouveaux invariants de noeuds. En 2016, I.Marin remarqua que cette algèbre peut être vue comme une extension de l'algèbre de Hecke de type A par le treillis des sous groupe de réflexions du groupe symétrique. Cela va le conduire à définir pour tout groupe Coxeter une extension de l'algèbre d'Iwahori-Hecke. Construction qu'il généralisera par la suite au cas des groupes de réflexions complexe finis. Dans cet exposé, nous explorerons ses différentes constructions. Puis nous étudierons le travail de Ginzburg, Guay, Opdam et Rouquier qui ont relié certaines représentations des algèbres de Cherednik avec les représentations de dimension finies de l'algèbre de Hecke associé à un groupe de réflexions complexe.

(Travail en commun avec G. Bellamy, C. Bonnafé, B. Fu, P. Levy, E. Sommers) En 2000, Arnaud Beauville a introduit la notion de singularité symplectique, et a soulevé le problème de classifier les singularités symplectiques isolées ayant un groupe fondamental local trivial (cette dernière condition permet d’exclure les singularités obtenues comme quotient par un groupe fini d’automorphismes symplectiques). En fait, il a demandé s’il y avait des exemples au-delà des adhérences d’orbites nilpotentes minimales dans les algèbres de Lie simples. Je vais décrire une famille d’exemples de dimension 4 liés aux groupes diédraux, qui peuvent être obtenus de différentes manières : éclatement d’une singularité quotient, espace de Calogero-Moser, ou revêtement de degré d’une singularité sous-sous-régulière dans un cône nilpotent de ... les variétés de carquois de Nakajima faisant le lien entre les deux dernières. Nous avions rencontré le cas dans le cône nilpotent de type .