Séminaires GAT en 2013

Une relation sur un ensemble fini est dite essentielle si elle ne se factorise pas par un ensemble de cardinal plus petit. Le but de l'exposé est d'élucider la structure de l'algèbre des relations essentielles (qui ne semble pas avoir été étudiée) et en particulier de décrire tous ses modules simples. Il s'agit d'un travail commun avec Serge Bouc.

In this talk we will define an additive category and subcategories for every finite group . We will proof than additive functors from and to abelian groups are categories equivalent to Biset functors and Mackey functors respectively and we will proof some properties on this categories.

I will give a brief description of how rhetorical biset functors are studied in the context of Green biset functors. For example, how the simple rhetorical biset functors are classified in this context.

Soit E un ensemble fini. L'ensemble des relations de préordre sur E est naturellement ordonné (par l'inclusion des parties de ExE). J'aimerais présenter quelques propriétés de cet ensemble ordonné, et du sous-ensemble ordonné des ordres sur E. Notamment, j'expliquerai comment calculer la fonction de Möbius de ce dernier, après un survol des méthodes générales, combinatoires, homologiques, et topologiques, que l'on peut utiliser utiliser pour ce type de calcul.

If G is a finite group and k a field of prime characteristic p, a kG-module is termed "endo-trivial" if its k-endomorphism ring decomposes as a direct sum of a copy of the trivial module and projective summands. In this talk I will explain how to determine whether or not a simple kG-module is endo-trivial by looking at its position on the Brauer tree. I will explain why this an important special case of the classification of simple endo-trivial modules (for quasi-simple groups). This is joint work with G. Malle and E. Schulte.

La notion de source d'endopermutation fusion-stable a été étudiée par Linckelmann dans le cadre des algèbres sources. Je montrerai que cette notion s'étudie très naturellement au niveau des algèbres de blocs en définissant une notion de module "Brauer-compatible", ainsi qu'un outil fonctoriel de localisation pour ces modules (sur le modèle du foncteur de Brauer pour les modules de p-permutation. J'appliquerai ensuite ces idée dans le cadre d'un contre-exemple minimal au -théorème ( impair), pour construire une équivalence stable par recollement à partir d'équivalences de Morita locales.

Récemment Kowalzig and Krähmer ont montré que la cohomologie de Hochschild d'une algèbre de Calabi-Yau tordue admet une structure de Batalin-Vilkovisky une fois qu'un certain automorphisme est semisimple. On montre un analogue de ce résultat pour les algèbres de Frobenius. i.e. si l'automorphisme de Nakayama est semisimple pour une algèbre de Frobenius, alors il existe une structure de Batalin-Vilkovisky sur la cohomologie de Hochschild de cette algèbre. En particulier, la cohomologie de Hochschild d'une algèbre de Hopf est toujours une algèbre de Batalin-Vilkovisky, Cet exposé est basé sur un travail récent en commun avec Thierry Lambre.

La notion de calcul de Tamarkin-Tsygan à dualité permet de construire des structures de Batalin-Vilkoviski dans un cadre général, qui comprend la dualité de Van den Bergh des algèbres associatives et la dualité de Huebschmann des algèbres de Lie-Rinehart. Cet outil permet notamment de retrouver la structure BV des algebres de Calabi-Yau mise en évidence par V. Ginzburg ou un résultat de Kowalzig et Krähmer sur la structure BV des algèbres de Calabi-Yau tordues.

Dans cet exposé je discuterai de travaux récents avec Gunter Malle visant à comprendre la théorie des représentations modulaires du groupe unitaire. On construit ces représentations à partir de la cohomologie de certaines variétés de Deligne-Lusztig, et les propriétés de ces variétés permettent de déterminer facilement de nouveaux nombres de décomposition, et de répondre à certaines questions de relèvement en caractéristique zéro de représentations modulaires. Comme dans le cas des groupes symétriques et des groupes linéaires, de nombreuses propriétés sur les matrices de décomposition se traduisent sur les partitions (comme la règle de James de suppression des lignes et colonnes), mais elles restent inexpliquées pour les groupes unitaires.

On décrit un algorithme provenant d'une algèbre amassée permettant de calculer les -caractères des modules de Kirillov-Reshetikhin pour importe quelle algèbre affine quantique non tordue . Lorsque g est de type , , , cette formule généralise la formule de Nakajima qui exprime les -caractères des modules standard en termes d'homologie de variétés de carquois graduées. Il s'agit d'un travail commun avec David Hernandez.

In this paper we give a further study on fully prime submodules. For any fully prime submodules we define a product called -product. The investigation further of fully prime submodules in this work is related to this product. Moreover we also introduce the fully prime radicals of submodules. We show that the fully prime radical of any submodule can be characterize by the m-system. As a special case, the fully prime radical of a module is the intersection of all minimal fully prime submodules of .

L'étude des congruences entre formes modulaires a donné des résultats spectaculaires en Théorie des Nombres ces dernières décennies. Une généralisation naturelle et nécessaire est l'étude des congruences entre formes automorphes. Le versant local consiste alors à explorer les représentations d'un groupe réductif -adique sur un corps de caractéristique non nulle . Le cas où est particulièrement délicat et intéressant, par manque de semi-simplicité. Dans un premier temps il s'agit de classifier les représentations admissibles (une propriété de finitude naturelle) et irréductibles: on distingue les représentations supercuspidales, qui ne peuvent s'obtenir comme composants d'induites paraboliques à partir d'un sous-groupe de Levi propre de , et on vise une classification en termes de représentations supercuspidales des sous-groupes de Levi de . Laure Barthel et Ron Livné ont obtenu les premiers résultats, pour le groupe , dans les années 1990. Plus récemment, Florian Herzig a obtenu une classification complète pour le groupe , et Noriyuki Abe a étendu sa méthode au cas d'un groupe déployé. Le travail présenté établit le cas général, toujours par l'approche due à Herzig. Je tâcherai d'illustrer la classification, et, brièvement, d'évoquer la méthode de preuve. Cette approche consiste à étudier la restriction des représentations à des sous-groupes compacts ouverts naturels de . Les représentations irréductibles modulo de ces sous-groupes compacts se factorisent par un quotient fini, qui se trouve être un groupe réductif sur le corps résiduel de , de sorte que la théorie des représentations de groupes réductifs finis en caractéristique naturelle joue un grand rôle.

We consider how to calculate tensor products, then symmetric and exterior powers, of modular representations of cyclic groups as a sum of indecomposables. In particular, we will present recent work with Himstedt that gives a recursive formula in the case of cyclic 2-groups.