Séminaires GAT en 2017

On peut associer une catégorie abélienne à un poset fini en considérant la catégorie de modules sur son algèbre d’incidence. De façon équivalente on peut regarder la catégorie de modules sur le diagramme de Hasse du poset, vu comme carquois avec relations. La catégorie dérivée de cette catégorie est appelée la catégorie dérivée du poset. On dit alors que deux posets sont dérivées équivalents s’ils partagent la même catégorie dérivée. Dans cet exposé, nous verrons quelques résultats classiques, pour la plupart dus à Ladkani, sur les équivalences dérivées entre posets : nous verrons quels sont les invariants et comment construire certaines équivalences dérivées. Dans la seconde partie de l’exposé on s’intéressera à certains posets dont le cardinal est le nombre de Catalan.

La théorie des localités permet d’associer à tout système de fusion une unique localité propre qui joue le rôle du « meilleur groupe partiel » réalisant le système de fusion. Celle-ci fut développée par Chermak et permet par exemple de construire le classifiant d’un système de fusion. Chermak et Gonzalez ont étendu cette théorie à un cadre plus général : les localités lim-finies. Celle-ci permet de travailler avec des systèmes fusion au dessus de p-groupes infinis, et est plus générale que la théorie des groupes -locaux compacts de Broto, Levi et Oliver. Nous donnons une méthode pour construire des localités lim-finies à partir de produits amalgamés. Nous expliquons par exemple comment des familles de systèmes de fusion exotiques découverts par Clelland et Parker ne sont en fait que des point fixes du Frobenius de certaines localités lim-finies. Ceci est un travail en collaboration avec Jason Semeraro et Andy Chermak.

Les classes quasi-semi-simples dans les groupes réductifs non-connexes jouent le rôle des classes semi-simples pour les groupes connexes. Quand le groupe est connexe la classification des classes semi-simples et de leurs centralisateurs se ramène a l’étude des hyperplans du groupe de Weyl affine qui contiennent un point de l’alcove fondamentale. On généralise ces résultats aux groupes non connexes (travail commun avec J. Michel).

Soit G un groupe de permutations d’un ensemble dénombrable E. Le *profil* de G est la fonction qui compte, pour tout n le nombre d’orbites de G agissant sur les parties à n éléments de E. À la fin des années 1970, Cameron a conjecturé que si le profil est borné par un polynôme, alors il est asymptotiquement équivalent à un polynôme. En 1985 Macpherson a énoncé une conjecture plus forte affirmant que l’algèbre des orbites de G — une algèbre graduée commutative inventée par Cameron et dont la fonction de Hilbert est le profil de G — est de type fini. Cette conjecture a été démontrée en 2006 par Pouzet.

This talk will be a progress report on my joint work with Goetz Pfeiffer on the structure of the double Burnside algebra of a finite group. As the endomorphism algebra of an object in the biset category, the double Burnside algebra plays an important role in representation theory and algebraic topology. We aim to understand the double Burnside algebra of a finite group in characteristic zero using a modified incidence relation between the subgroups of .

Je commencerai par une introduction à l’homologie de Hochschild topologique (THH), qui constitue un outil important dans l’étude des spectres en anneau structurés et leur K-théorie algébrique. Ensuite, je présenterai un résultat, obtenu en collaboration avec Birgit Richter, sur un scindement chromatique de THH(E(2)), où E(2) est un spectre de Johnson-Wilson.

Je vais donner un critère très simple, obtenu en collaboration avec Stephen Griffeth, pour déterminer le support du module simple sphérique de l’algèbre de Cherednik rationnelle associée à un groupe de réflexions complexes quelconque, avec des paramètres quelconques. Cependant, pour obtenir la version la plus explicite du critère, nous avons besoin de l’existence de formes symétrisantes sur les algèbres de Hecke vérifiant certaines propriétés, ce qui est connu au moins pour les groupes de Coxeter et pour , mais seulement conjectural en général ; le critère est alors en termes des éléments de Schur de l’algèbre de Hecke et des ses sous-algèbres paraboliques.

Let be an abelian category. A contravariant functor from to the category of abelian groups is called finitely presented, or coherent, if there exists an exact sequence

of functors. Let mod- denote the category of all coherent functors. The systematic study of mod- is initiated by Auslander. He, not only showed that mod- is an abelian category of global dimension less than or equal to two but also provided a nice connection between mod- and . This connection, which is known as Auslander's formula, suggests that one way of studying is to study mod-, that has nicer homological properties than , and then translate the results back to . In particular if we let to be mod-, where is an artin algebra, Auslander(s formula translates to the equivalence

of abelian categories. A considerable part of Auslander(s work on the representation theory of finite dimensional, or more general artin, algebras can be connected to this formula.

Recently, Krause established a derived version of this equivalence. In my talk, some different (relative and derived) versions of this formula will be explained. Then I will give some applications of our results. Especially, by using a relative version of Auslander's formula, we show that bounded derived category of every artin algebra admits a categorical resolution. This, in particular, implies that bounded derived categories of artin algebras of fnite global dimension determine bounded derived categories of all artin algebras.

Manifolds have a remarkable hidden symmetry : Poincaré Duality, which is visible in (co)-homology. Particularly, the ranks of the (co)homology groups of complementary degree are equal. This property enables us to understand the topology of manifolds much better, for example by defining and investigating the signature. Singular spaces do not have that symmetry in general. To be able to use the similar techniques as for manifolds, one has to replace ordinary (co)homology by an alternative. In this talk, we present an approach that was introduced by M. Banagl : Intersection space (co)homology. We discuss the spatial and the de Rham picture. To illustrate this and to establish a relationship to algebra, we elaborate on some examples originated from algebraic geometry and examine the conditions that must be fullfilled such that intersection space cohomology is stable under deformation of singularities.

The Martino-Priddy conjecture states that two finite groups have homotopy equivalent p-completed classfying spaces if and only if their fusion systems at the prime p are isomorphic. Although the p-completed classifying space is recoverable from the fusion system, such a recovery requires one to show that a certain extension category, the centric linking system, is unique up to isomorphism among all finite groups having a given fusion system. This existence and uniqueness was first proved by Bob Oliver, and Andrew Chermak has proved that centric linking systems always exist and are unique, even when the fusion system is not realized by a finite group. Both of these proofs rely on the classification of the finite simple groups. I will speak on the finite-group-theoretic aspects of joint work with George Glauberman that helped us remove the dependence of the classification in the proof of both of these results. I will also discuss a more recent, related result that restricts the structure of the outer automorphism group of a centric linking system.

Avec Jacques Thévenaz, nous continuons l’étude des foncteurs de correspondances, i.e. des représentations -linéaires de la catégorie dont les objets sont les ensembles finis et les morphismes les correspondances (où est un anneau commutatif fixé). Dans cet exposé, je présenterai certaines propriétés tout à fait spécifiques de ces catégories de foncteurs : * Si est noethérien, les sous-foncteurs d’un foncteur de type fini sont de type fini. On a également un phénomène de stabilisation des groupes d’extensions entre foncteurs de type borné. * Si est un corps, les foncteurs de type fini sont de longueur finie. Un foncteur de type fini est projectif si et seulement si il est injectif. De plus, la tête et le socle d’un tel foncteur sont isomorphes.

Soit un groupe de réflexions complexes, son groupe de tresses et son groupe de tresses pures. On note le centre de . Le groupe peut être vu à la fois comme une extension de par l’abélianisé de et comme une extension de par l’image réciproque de dans qui est aussi un groupe abélien libre. L’étude de ces deux extensions permet de déterminer les sous-groupes finis de . En particulier, on montre que tout sous-groupe fini d’ordre impair est un sous-groupe de la limite inductive des où est le groupe de tresses à brins. Elle permet aussi de déterminer la partie libre de l’abélianisé des images réciproques dans des sous-groupes de . C’est un travail en collaboration avec Ivan Marin.

Let be a finite group of Lie type of characteristic and a cross-characteristic -module. We investigate the action of on tensor powers of . This is joint work with Donna Testerman which is related to the maximal subgroup problem of the finite classical groups.

On sait depuis les travaux de P. Deligne sur la théorie de Hodge que la cohomologie singulière des variétés algébriques complexes porte une filtration : la filtration par le poids. D’un autre côté la cohomologie singulière d’un espace topologique possède une structure algébrique très riche en termes d’opérations cohomologiques. Il a été démontré dans des travaux récents que la filtration par le poids est compatible à la structure d’algèbre de la cohomologie singulière à coefficients quelconques. Nous expliquerons qu’en fait la filtration par le poids est compatible avec toutes les opérations cohomologiques. En particulier pour une variété complexe (ou même réelle), on obtient une filtration compatible avec les carrés de Steenrod. Pour les carrés de Steenrod, un tel résultat avait été subodoré par B. Totaro en 2002 (Travaux en cours avec Joana Cirici).

For a symmetric algebra over a field of positive characteristic , the sequence of Külshammer ideals in the center of

where is a symmetrizing form, is an invariant of the derived category. These ideals were applied to distinguish various algebras up to derived equivalence. We generalize the notion of Külshammer ideals to the setting of a graded category. This allows us to define and study some properties of Külshammer type ideals in the graded center of a triangulated category and in the Hochschild cohomology of an algebra, providing new derived invariants. Further properties of Külshammer ideals will be discussed in the case where the category is -Calabi-Yau.

Dans les systèmes de racines infinis (ceux qui servent notamment à étudier les algèbres de Kac-Moody ou les groupes de Coxeter infinis), on rencontre des sous-systèmes dont les racines simples ne sont pas linéairement indépendantes. Cela conduit à la notion de "générateur de racines" (par opposition à celle de "base de racines"). On peut axiomatiser cette notion de deux manières selon la formulation, ou , adoptée pour l’un des axiomes : : aucune racine n’est à la fois positive et négative, : il existe une forme linéaire strictement positive sur les racines simples. On montrera par des exemples que l’une des deux définitions obtenues est moins restrictive que l’autre.

Complex braid groups are a generalization of Artin-Tits groups. The general goal is to extend what is known for Artin-Tits groups to other complex braid groups. In this talk, we are interested in Garside structures that derive from intervals. Actually, we construct intervals in the complex reflection group G(e,e,n) which gives rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group . For the other Garside groups that appear, we give some of their properties in order to understand these new structures.

L’algèbre de Mackey d’un groupe fini à coefficients dans un anneau commutatif a été définie par Thévenaz et Webb en 1995 ; la catégorie de ses représentations est équivalente à celle des foncteurs de Mackey pour à valeurs dans les R-modules. Dans cet exposé, je vais expliquer que la dimension injective (sur elle-même) de l’algèbre de Mackey à coefficients entiers est finie si et seulement si l’ordre du groupe n’admet pas de facteurs carrés. Dans ce cas, la dimension injective est alors égale à un et de plus l’algèbre est symétrique sur . Les résultats analogues sont aussi vrais pour l’anneau de Burnside et étaient connus déjà depuis les années 70s grâce à Krämer et Gustafson. Les résultats pour l’algèbre de Mackey (travail joint avec Jan Stovicek) sont une conséquence de ceux pour l’anneau de Burnside en combinaison avec des travaux récents de Rognerud, de Bouc-Stancu-Webb, et de Dell’Ambrogio-Stevenson-Stovicek.

Le complexe des embrassades (non-kissing complex) est un complexe simplicial introduit en combinatoire par T. McConville. Dans cet exposé, je présenterai une interprétation algébrique de ce complexe à l’aide de la théorie des représentations d’algèbres. J’expliquerai ensuite comment généraliser le complexe des embrassades à la classe des algèbres aimables. C’est un travail en commun avec Vincent Pilaud et Pierre-Guy Plamondon.

(Travail en collaboration avec Agnès Beaudry, Magdalena Kedziorek, Mona Merling, et Vesna Stojanoska) Je décrirai une théorie formelle d’extensions de Galois homotopiques, motivée par le cas des spectres en anneau commutatifs, élaboré par Rognes. Dans ce cadre on peut démontrer l’invariance des extensions de Galois sous extension de coefficients, ainsi qu’une direction d’une correspondance de Galois. Je rappellerai ensuite brièvement la théorie d’homotopie motivique et expliquerai pourquoi la théorie de Galois homotopique formelle s’y applique. Pour terminer, je fournirai quelques exemples explicites d’extensions de Galois homotopiques motiviques, dont certaines n’admettent aucun pendant classique (non-motivique)

In this talk we explain the concept of constructive cat- egory theory and its implementation in our software project Cap - Categories, algorithms, programming. Furthermore, we show the benefits of Cap’s framework for constructive category theory by demonstrating some applications to homological algebra : diagram chasing via generalized morphisms and computing the purity filtration via spectral sequences

La notion de -graphe pour les algèbres de Iwahori-Hecke a été introduite dans un article de Kazdhan et Lusztig en 1979. Ils introduisent alors ces représentations définies pour certains groupes de Coxeter de type et . En 1981, Gyoja montre que de telles représentations existent pour tous les groupes de Coxeter finis irréductibles. Des -graphes ont été explicitement trouvés pour tous les groupes de Coxeter finis irréductibles de type exceptionnel. Dans le cas du groupe de Coxeter de type , c’est-à-dire du groupe symétrique, les représentations peuvent être indexées par des partitions de n. On a alors des outils combinatoires simples pour obtenir la représentation duale d’une représentation ou les restrictions d’une représentation à un sous-groupe parabolique. Nous nous intéresserons à la problématique de répondre à ces questions pour les représentations associées à des -graphes. Des propriétés combinatoires telles que la -colorabilité d’un graphe ou la recherche de composantes connexes dans un graphe apparaitront. En s’intéressant à l’image du groupe de Artin vu comme un sous-groupe des éléments inversibles de l’algèbre de Hecke, nous verrons que les -graphes qui ont été trouvés ne vérifient pas certaines propriétés qui devraient apparaitre de manière naturelle. Nous montrerons alors comment construire de nouveaux -graphes vérifiant ces propriétés à partir de ceux qui sont connus. Muni de ces nouveaux -graphes, nous déterminerons l’image du groupe de Artin pour les type et .

For a given Green biset functor, the study and classification of its simple modules is an interesting problem as it takes part on the more general problem of classification of R-linear functors over -linear categories. For the Burnside functor , its category of modules is equivalent to the category of biset functors, and it was proven by Serge Bouc in 1996 that for this category there exists a nice bijection between its simple objects (up to isomorphism) and the set of equivalence classes of pairs consisting on a group and a simple -module. For a general Green biset functor, we cannot be so lucky, as it was pointed out by Nadia Romero in 2012, but under a condition of uniqueness of minimal groups for simple modules, we can have a similar result to that for simple biset functors: there exists a bijection between the set of isomorphism classes of simple -modules and the set of equivalence classes of pairs consisting of a group such that the essential algebra of in is non-zero and V is a simple module over this algebra. In this talk I’m going to give more details on this result and some examples of Green biset functors for which the result holds

La théorie des représentations des algèbres de Lie affines et de leurs déformations (groupes quantiques) est reliée, via des phénomènes de catégorification, à la théorie des représentations modulaires du groupe symétrique et de ses déformations (algèbres de Hecke, algèbres de Cherednik). En particulier, l’étude des cristaux pour les groupes quantiques permet de résoudre de manière combinatoire et explicite certains problèmes fondamentaux concernant les algèbres de Hecke et de Cherednik. Dans cet exposé, je reviendrai tout d’abord sur les résultats classiques établis dans ce cadre. Ensuite, j’expliquerai comment le développement d’une nouvelle combinatoire des cristaux permet de résoudre certains problèmes plus modernes en théorie des représentations modulaires. Il s’agit en partie de travaux en commun avec Emily Norton

Nous donnons une formule conjecturale pour exprimer les éléments simples des monoïdes de tresses duaux (associés aux groupes de Coxeter finis) exprimés au moyen des générateurs classiques et en donnons une démonstration en types , et . Cette formule, dont l’énoncé est uniforme, fait intervenir les éléments c-triables de Reading, où c est l’élément de Coxeter standard définissant le monoïde dual. Les éléments c-triables ont été introduits à l’origine pour construire des bijections entre les partitions non-croisées et les clusters. Notre formule a pour conséquence immédiate que les tresses simples duales sont des tresses Mikado. Les démonstrations connues de ce dernier résultat, conjecturé dans un travail en commun avec Digne, nécessitent des réalisations topologiques des groupes d’Artin-Tits (comme expliqué dans des travaux en communs avec Digne et Baumeister) ou des catégorifications de ces derniers (comme expliqué, en types , et , par les travaux récents de Licata et Queffelec). Les preuves que nous présentons ici sont entièrement combinatoires, et nous développons une approche permettant de réduire une preuve uniforme de la formule en question à une conjecture concernant les ensembles d’inversions d’éléments c-triables, que nous démontrons ensuite dans les cas mentionnés plus haut.

Sauf quelques exceptions (riches d’applications, par ailleurs), il n’est pas possible définir une surjection d’un groupe de tresses sur un autre (avec un nombre différent de brins, bien evidemment !). Dans ce séminaire nous verrons que dans le cas des tresses sur les surfaces (orientables ou pas, fermées ou à bord) la situation est encore plus rigide : ceci nous permettra de répondre affirmativement à une conjecture récemment formulée par L. Chen.

La notion d’échelle, introduite par Beilinson, Ginzburg et Schechtman, est une généralisation de celle de recollement de catégories triangulées. On montre qu’une échelle de hauteur deux de catégories dérivées non-bornées induit une suite exacte courte de catégories singulières bornées. On présente des applications aux théories des représentations et à la géométrie algébrique. Il s’agit d’un travail en commun avec Haibo Jin and Dong Yang.

Des algèbres de Hecke peuvent être associées non seulement à des groupes de Coxeter, finis ou pas, mais également à des groupes de réflexions complexes. Nous construisons des extensions de ces algèbres par des algèbres de Möbius, associés à des treillis remarquables, et établissons des théorèmes de structure. Comme les algèbres de Hecke elles-mêmes, ces extensions sont des algèbres génériquement semisimples, et (conjecturalement) symétriques.

Brauer induction theorem says that each complex character of a finite group can be expressed as an integral combination of characters which are induced from linear characters of elementary subgroups. In the theory of Mackey functors, Boltje’s theory of canonical induction supplies a criterion for some canonical induction formulas to have the vital feature of being integral. The classic ex- amples are the canonical induction formulas for the ordinary character ring and the modular character ring. In all or almost all cases where the formula is in- tegral, a ring structure is present, though it hasn’t been used in theory. We are developing a theory of canonical induction in the general context of Green functors which are Mackey functors equipped with a multiplicative structure.