Séminaires GAT en 2018

Étant donné un treillis distributif fini T, la catégorie des correspondances généralisées (à valeurs dans T) a pour objets les ensembles finis et pour flèches de X vers Y les applications Y × X → T ; un foncteur de correspondances généralisées sur un anneau commutatif k est alors un foncteur de cette catégorie vers la catégorie des k-modules. Le cas où T est le treillis à deux éléments a été étudié par Serge Bouc et Jacques Thévenaz. Ils ont obtenu une bonne description des foncteurs simples dans ce cas, notamment un paramétrage d’iceux et une formule explicite donnant le rang sur k de leurs évaluations. Dans cet exposé, j’expliquerai comment généraliser ce paramétrage au cas où T est quelconque, en utilisant la notion de polygone sur un treillis.

Buan, Marsh et Reiten en 2008, ont démontré un résultat intéressant à propos des catégories triangulées. Si C est une catégorie triangulée, et T un objet amas-basculant, alors le quotient C/\Sigma T est une catégorie de modules. On démontre ici un résultat similaire pour les catégories de Frobenius, et plus généralement exactes. L’idée est la suivante : Quillen a démontré en 1967 que, si C est une catégorie de modèles, alors sa localisation (obtenue à partir de C en inversant toutes les équivalences faibles) est équivalente à la sous-catégorie des objets fibrants et cofibrants (à homotopie près). Palu en 2014 a démontré que l’on pouvait munir une catégorie triangulée d’une structure de modèle faible. A partir de la réflexion selon laquelle la catégorie stable d’une catégorie de Frobenius est triangulée, nous chercherons à munir une catégorie E de Frobenius d’une structure de modèle, puis utilisons le théorème de Quillen pour démontrer que la localisation de E est une catégorie de modules. Si le temps le permet, nous montrerons que, bien que les catégories exactes ne soient pas munies d’une structure de modèle, elles vérifient le théorème de Quillen

Les espaces topologiques stratifiés apparaissent naturellement dans de nombreux domaines. Leur étude utilise des objets, tels que la cohomologie d’intersection, qui ne sont pas préservés par les équivalences d’homotopie, mais seulement par les équivalences d’homotopie stratifiées. En travaillant avec des ensembles simpliciaux, la notion d’équivalence d’homotopie stratifiée permet de définir une catégorie de modèle vérifiant un certain nombre de bonnes propriétés (simpliciale, engendrée de façon cofibrante...). On présentera cette construction, ainsi que celle d’un nouvel invariant du type d’homotopie stratifié : les groupes d’homotopie filtrés. Puis on verra comment cet invariant peut être appliqué au cas des espaces topologiques stratifiés pour produire une version stratifiée du théorème de Whitehead. On présentera des exemples d’application de ce théorème, reliant la notion d’homotopie stratifié avec celle d’isomorphisme de diagrammes de groupes.

Comment trouver tous les n-uplets des entiers positifs pour lesquels le produit des -matrices de la forme est égal à la matrices unité (ou à , ou à une racine carré de ) ? De manière surprenante, la réponse est liée à la combinatoire classique, notamment aux triangulations des -gones et leurs dissections plus générales. J’expliquerai comment des produits des matrices ci-dessus appairaient naturellement dans trois domaines différents.

In this talk, we will discuss a pro- group whose finite quotient groups give your "favourite" Sylow -subgroups of , for all positive integers , and odd. Elaborating from work by Weir in the 50s and recent results by Bier and Holubowski, we will dip into the subgroup structure of . Time permitting, we will also discuss field extensions, a -adic variant of and Hausdorff dimensions of some closed subgroups.

The theory of crystal bases has been introduced by M.Kashiwara, which is applied to so many areas in mathematics and theoretical physics, e.g.,combinatorics, modular representations, statistical physics, -matrices, cluster algebras, etc. Crystal bases are, roughly speaking, bases at of the modules for quantum algebras and hold some nice combinatorial porperties. One of the most important properties of crystal bases is the tensor product theorem, which guarantees that a tensor product of crystal bases is again a crystal base and keeps the nice combinatorial properties. There are several kinds of realizations of crystal bases, e.g., tableau realization, path realization, polyhedral realization, etc. In the talk, the "monomial realization" of crystal bases will be introduced. In the monomial realization, each basis element in crystal base is given as a Laurent monomial in certain infinitely many indeterminates. We can consider usual product of such monomials but it is not clear that the product of monomials still keep the crystal base structure like as the tensor product. So the following problems are the main aims of the talk : (1) For type A, in the fundamental weight cases, does the product of monomials hold the crystal base structure ? (2) If the answer (1) is positive, how are the decomposition for the product of monomials described ? In the talk, the answers of these two problems will be explained.

L’homologie des groupes de congruence, ou groupes linéaires sur un anneau sans unité, comporte deux structures fondamentales : des morphismes de stabilisation et une action des groupes linéaires sur les entiers (qui est induite par la conjugaison et est donc triviale pour un anneau unitaire), qu’on peut assembler à l’aide d’une structure fonctorielle adéquate. Le caractère stablement trivial de l’action des groupes linéaires (qui équivaut à une condition d’excisivité en K-théorie algébrique) en bas degré homologique a été caractérisé par Suslin en 1995 par une condition homologique simple portant sur l’anneau sans unité ; Suslin a de plus décrit le comportement stable de cette homologie pour le premier degré homologique où cette action n’est plus triviale. Je proposerai une généralisation en tout degré homologique du théorème de Suslin (résultat qui étend également des résultats obtenus pour certaines classes d’anneaux par d’autres méthodes, de nature arithmétique - Calegari 2015 - ou utilisant les FI-modules - les plus généraux étant ceux d’une prépublication de Church-Miller-Nagpal-Reinhold de 2017), qui montre entre autres que l’homologie en degré d d’un groupe de congruence définit un foncteur faiblement polynomial de degré au plus 2d (en un sens, introduit avec Vespa, qui sera rappelé dans l’exposé). La démonstration de ce résultat repose sur une suite spectrale mettant en jeu différentes théories homologiques dans les catégories de foncteurs.

Les foncteurs exponentiels apparaissent naturellement dans un certain nombre de calculs homologiques (homologie des groupes, des foncteurs...). Dans cet exposé, nous donnerons quelques résultats de structure des foncteurs exponentiels et des applications à des calculs concrets.

Ceci est un travail en commun avec Alexandra Zvonareva. Les complexes envasés (silting) ont été défini par Keller-Vossieck en 1988 et ont obtenu un intérêt supplémentaire par le développement de la combinatoire des algèbres d’amas. En particulier les complexes à deux termes sont utilisés à cette fin. Demonet, Iyama et Jasso ont construit un complexe simplicial de cônes dans un qui visualise les mutations des complexes envasés à deux termes. Nous proposons une ind-variété limcomp(A) avec action d’un ind-group G(A) tel que les orbites de cette action correspondent aux classes d’isomorphisme de complexes envasés dans la catégorie homotopique de A-modules projectifs. Nous montrons que chaque composante irréductible de cette ind-variété possède une orbite ouverte si et seulement si pour chaque g-vecteur (c’est-à-dire image prédéfinie g dans le groupe de Grothendieck) il existe un complexe envasé à deux termes et avec ce -vecteur. Ceci correspond à la propriété DO dans un résultat récent de Chindris-Kinser-Weyman. Nous montrons de plus que n’admet qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de complexes envasés à deux termes si et seulement si tout est couvert par . Ceci donne une réponse affirmative à une question de Demonet, et approche une autre question de Demonet si on compare avec Chindris-Kinser-Weyman.

Soit un anneau commutatif, une -catégorie est une petite catégorie enrichie sur les -modules. Au sens de Mitchell, c’est une -algèbre avec plusieurs objets. Lorsqu’un groupe agit par -autofoncteurs de , et si l’action est libre sur ses objets de , alors la -catégorie quotient existe ; en est le revêtement galoisien. En revanche la catégorie tordue existe toujours, si l’action sur les objets est libre alors est équivalente à . La catégorie tordue peut donc être vue comme un substitut au quotient. Si l’action est libre, dans un travail avec Eduardo Marcos nous comparons les invariants et les coinvariants de la (co)homologie de Hochschild Mitchell de avec certains facteurs directs de celles de . Cela rend explicite des morphismes injectifs décrits en bas degrés par E.L. Green, J.R. Hunton et N. Snashall. Si l’action n’est pas libre, en utilisant une nouvelle catégorie nous nous ramenons au cas des revêtements galoisiens de façon à établir des résultats analogues pour la catégorie tordue.

Avec Jacques Thévenaz, dans notre étude des foncteurs de correspondances, nous avons mis en évidence le rôle fondamental joué par les ensembles ordonnés finis et les treillis finis. En particulier, nous attachons à chaque treillis fini un foncteur de correspondances, et cette construction jouit de propriétés fonctorielles remarquables. Dans cet exposé, je donnerai une caractérisation des foncteurs de correspondances ainsi obtenus (sur un corps) en termes de foncteurs exponentiels commutatifs et « semi-simples en 1 »

On peut interpréter les polynômes chromatiques de graphes et les polynômes d’Ehrhart de polytopes convexes en termes de structures algébriques de type Hopf : ces polynômes apparaissent comme des morphismes, uniques, préservant un produit et deux coproduits qui cointeragissent. Ces résultats sont utilisés pour redémontrer et généraliser des résultats classiques de Rota et Stanley.

La cohomologie singulière des espaces topologiques admet trois constructions classiques (équivalentes pour une vaste classe d’espaces) : simpliciale, faisceautique et en termes de classes d’homotopie à valeurs dans un espace d’Eilenberg-MacLane. Cette dernière construction homotopique a été appliquée avec grand succès pour étudier les opérations cohomologiques, développer des théories cohomologiques généralisées (K-théories, cobordismes,....). La collection des espaces d’Eilenberg-MacLane (à anneau de coefficients fixé) forme un spectre. Ainsi, on incarne une théorie cohomologique, c’est-à-dire un foncteur, comme un objet d’une catégorie triangulée : la catégorie homotopique stable des espaces topologiques. Dans cet exposé on expliquera qu’il existe un tel paysage homotopique pour la cohomologie d’intersection. Le résultat principal que l’on souhaite exposer est le fait que cette cohomologie s’incarne comme un spectre en espaces d’Eilenberg-MacLane stratifiés. Ce résultat répond de manière positive à une série de problèmes posés par Goresky et MacPherson sur des possibles fondations homotopiques pour la cohomologie d’intersection et ouvre la voie à l’étude de cohomologies d’intersection généralisées pour les espaces stratifiés.

In this talk, I present ring isomorphisms between ``-deformed’’ representation rings (=quantum Grothendieck rings) of quantum affine algebras of types and . These isomorphisms imply several new positivity properties of -characters of simple modules of type . Moreover, they specialize at to the isomorphisms between usual Grothendieck rings obtained recently by Kashiwara, Kim and Oh through other methods. This coincidence gives the affirmative answer to Hernandez’s conjecture (2002), under our setting in type : the -characters of simple modules specialize to their usual -characters. Hence, in this case, the multiplicities of simple modules in standard modules are given by the evaluation of certain analogues of Kazhdan-Lusztig polynomials whose coefficients are positive. This talk is based on a joint work with David Hernandez.

In this talk we will discuss current work with R. Lyons on the study of large finite simple groups of simultaneously even and p-type. This is a contribution to the project of D. Gorenstein, R. Lyons and R. Solomon on the Generation-2 proof of the Classification of Finite Simple Groups.

En 2009, G. Malle et J. Michel ont construit des modèles pour les représentations irréductibles des algèbres de Hecke génériques associées aux groupes de réflexions complexes de rang 2, qui sont les groupes , ... . Ces représentations dépendent des paramètres qui définissent l’algèbre de Hecke. Une question naturelle est d’étudier ce qui se passe si on spécialise ces paramètres. Les représentations irréductibles restent-elles irréductibles ? La réponse est positive, si l’algèbre de Hecke spécialisée est semi-simple. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. Dans le cas où l’algèbre de Hecke spécialisée n’est pas semi-simple, nous devons décrire la manière dont les représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke générique se décomposent en représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke spécialisée. La matrice de décomposition enregistre exactement ces informations. En 2011, M. Chlouveraki et H. Miyachi ont travaillé sur l’algèbre de Hecke cyclotomique (où l’algèbre ne dépend plus que d’un seul paramètre) associée aux groupes exceptionnels de rang 2. En spécialisant le paramètre, ils ont réussi à fournir des matrices de décomposition pour chaque cas. À ce stade, un certain nombre de questions se pose. Pourquoi ces valeurs données au paramètre fournissent-elles différentes matrices de décomposition ? S’agit-il d’une classification du cas générique ou y a t-il d’autres modèles matriciels qui ne sont pas décrits par M. Chlouveraki et H. Miyachi ? Dans cette exposé on va répondre à toutes ces questions pour les cas de , et en classifiant toutes les matrices de décomposition qui leurs sont associées.

A fundamental question in representation theory of finite groups is the extent to which complex group algebra of a finite group determines the group or some of its properties‎.‎‎ ‎‎In 1963‎‎‎‎‎‎‎, ‎R. ‎Brauer ‎asked “when do ‎non-isomorphic ‎groups ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras ?”. ‎Although t‎he ‎question ‎seems to be ‎too ‎general ‎to ‎be ‎answered ‎completely, ‎it ‎has‎ ‎initiated a‎ ‎program aimed at determining all finite groups with isomorphic complex group algebras ‎‎to a given group ‎‎‎. It ‎is ‎fairly ‎possible ‎for ‎two ‎non-isomorphic solvable ‎groups ‎to ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras‎. However, it seems that (almost/quasi) simple groups have a tight connection with the structure of their complex group algebras. In 2015, it was proved by Bessenrodt-Nguyen-Olsson-Tong-Viet that quasi-simple groups are determined uniquely up to isomorphism by their complex group algebras. In this talk, I will discuss our recent works on extending this result to almost simple groups of Lie type emphasizing on projective general unitary groups of arbitrary rank (joint work with A. Iranmanesh and F. Shafiei).

Je vais expliquer, d’après Francis Brown, comment certaines questions en théorie des nombres (irrationalité des valeurs de la fonction zêta) nous amènent à vouloir calculer des motifs sur des espaces de modules (ce sont des motifs de Tate mixtes : ce sont les plus simples à comprendre). Ensuite, j’expliquerai un algorithme que Clément Dupont a développé à cet escient pendant sa thèse, et son implémentation en GAP dans le package MotivesForBiarrangements, qui repose sur CAP (Categories, Algorithms and Programming, qui a été présenté à Amiens l’an dernier par Sebastian Gutsche et Sebastian Posur).

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Hiroyuki Nakaoka. La notion de catégorie extriangulée généralise à la fois celle de catégorie exacte et celle de (sous-)catégorie (stable par extension dans une catégorie) triangulée. Les catégories extriangulées forment un cadre bien adapté à l’étude de problèmes issus de la théorie des représentations liés aux paires de cotorsion, ainsi qu’à la théorie d’Auslander-Reiten. Dans cet exposé, je motiverai l’introduction des catégories extriangulées à travers la correspondance de Hovey en algèbre homotopique. J’expliquerai comment la donnée d’une structure de modèle "compatible" à la structure extriangulée équivaut à celle de deux paires de cotorsion, satisfaisant certaines propriétés. Ceci nous permet de démontrer que la catégorie homotopique d’une structure de modèle exacte est toujours triangulée ; ce qui n’était connu auparavant que pour les structures de modèles "héréditaires", et dans le cadre des catégories exactes (résultat dû à Gillespie).

La dualité de Poincaré des variétés peut être étendue à certains espaces singuliers, comme les pseudovariétés, grâce à l’homologie d’intersection de M. Goresky et R. MacPherson. Je montrerai comment un ’’éclatement simplicial’’ en donne une représentation en termes de complexes de chaînes, avec des exemples illustrant les différences entre la situation classique et celle avec singularités. Il s’agit d’un travail en collaboration avec D. Chataur (Amiens) et M. Saralagi-Aranguren (Lens-Artois).

Les catégories additives « d’objets équivariants » en algèbre, géométrie et topologie se présentent très souvent en familles indexées par les groupes finis, les catégories de chaque famille étant reliées entre elles par des foncteurs de restriction, induction et conjugaison. Parmi les exemples typiques on trouve les catégories (abéliennes, dérivées, ou stables) des représentations linéaires, les catégories dérivées des faisceaux équivariants, les catégories homotopiques des spectres équivariants, etc. Une fois décatégorifiées, c’est à dire après avoir remplacé chaque catégorie par un groupe abélien — par exemple en appliquant — ces familles donnent lieu à des structures bien connues, notamment des foncteurs de Mackey ou des foncteurs à biensembles.

Dans cet exposé, je vais présenter un travail en commun avec Paul Balmer (arXiv:1808.04902) dont le but est de comprendre la structure algébrique plus riche, catégorique, qui existe dans tous ces exemples en amont de la décatégorification. La théorie des « foncteurs de Mackey » qui en résulte nous permet d’expliquer certains phénomèmes équivariants qui restent invisibles au point de vue classique. L’exemple universel d’un foncteur de Mackey est fourni par une certaine bicatégorie de spans dans les groupoïdes finis ; malgré les apparences, on peut utiliser cette dernière pour effectuer des calculs concrets, par exemple pour en obtenir des décompositions en blocs.

Let be a finite group and denotes the set of the degrees of irreducible complex characters of . A general question on character degrees is how the set reflects and is reflected by the structure of the group. There are several results devoted to studying groups with few character degrees. In 2005, G. Malle and A. Moreto classified non-solvable groups with four character degrees. To aid in the study of the relation between and the structure of , several graphs have been attached to . The common divisor graph of , denoted by ), is a simple graph whose vertices are non-trivial character degrees of , and two vertices are adjacent if they are not relatively prime. Extending the result of Malle—Moreto, we concentrate on non-solvable groups with six character degrees and classify graphs with five vertices that may occur as some non-solvable group . In this talk, I will discuss my recent work concerning the above question.

La catégorie des singularités (ou catégorie dérivée stable) d’une algèbre (associative, non commutative, noethérienne) a été introduite par Buchweitz en 1986 et redécouverte par Orlov en 2003 sous sa variante schématique. Elle s’annule ssi l’algèbre est de dimension globale finie et mesure donc le défaut de régularité de l’algèbre, interprétation confirmée par les résultats géométriques d’Orlov. Buchweitz a défini la cohomologie de Hochschild singulière (ou cohomologie de Tate-Hochschild) d’une algèbre en analogie avec la cohomologie de Hochschild comme l’algèbre de Yoneda de dans la catégorie des singularités des -bimodules. Dans sa thèse sous la direction d’Alexander Zimmermann, Zhengfang Wang a montré que la cohomologie singulière jouit de propriétés remarquables analogues de celles de la cohomologie de Hochschild classique. Ses résultats suggèrent que la cohomologie de Hochschild singulière pourrait en fait être la cohomologie de Hochschild classique de la catégorie des singularités (munie de son enrichissement différentiel gradué canonique). Nous montrons que c’est effectivement le cas. Plus précisément, nous obtenons un isomorphisme d’algèbres graduées entre la cohomologie de Hochschild singulière de et la cohomologie de Hochschild de sa catégorie des singularités. Nous conjecturons que cet isomorphisme respecte aussi le crochet de Gerstenhaber (dû à Gerstenhaber dans le cas classique et à Wang dans le cas singulier). Dans un travail en commun avec Zheng Hua, nous obtenons comme application un théorème de reconstruction d’une singularité d’hypersurface de Gorenstein à partir de sa catégorie des singularités.

Les ensembles ordonnés de Tamari sont des ordres (partiels) classiques et bien étudiés. Ils apparaissent de façon naturelle en théorie des représentations des algèbres comme ensembles ordonnés des modules basculants sur un carquois équiorienté de type mais aussi comme ensembles cambriens du même type.

Chapoton a été un des premiers à se rendre compte que la théorie des représentations des algèbres d’incidences de ces ensembles est en elle-même extrêmement fascinante. Il démontre en 2004 que les matrices de Coxeter des ensembles ordonnés de Tamari sont périodiques. Peu de temps après, il conjecture un résultat plus fort : les catégories dérivées bornées des algèbres d’incidences des ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires. c’est-à-dire qu’une certaine puissance de leur foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage.

Dans cet exposé, après avoir donné des exemples élémentaires d’ensembles ordonnés Calabi-Yau fractionnaires, je présenterai les ingrédients principaux de la démonstration de cette conjecture.

La catégorie des singularités d’un anneau noethérien a été introduite par Buchweitz comme un invariant utile d’anneaux. C’est une catégorie triangulée qui peut, par exemple, détecter si la dimension globale de l’anneau est finie. Le but de cet exposé est d’expliquer un lien entre la théorie d’Auslander-Reiten supérieure qui a été introduite par Iyama, et la catégorie des singularités. Plus précisément, pour une catégorie exacte ayant assez de projectifs et avec une sous-catégorie -amas-basculante, la catégorie des singularités possède une sous-catégorie -amas-basculante. Nous allons aussi parler un peu de la demonstration de cette affirmation, qui utilise la description de la catégorie des singularités comme l’extension d’une catégorie co-suspendue obtenue par Keller et Vossieck.

Soit un groupe réductif sur un corps local non-archimédien. À tout sous-groupe ouvert compact de , on peut attacher une algèbre de Hecke. Ces algèbres sont un outil important dans l’étude des représentations lisses de . Deux de ces algèbres sont particulièrement intéressantes : l’algèbre de Hecke sphérique, associée au sous-groupe sphérique et l’algèbre d’Iwahori-Hecke, associée au sous-groupe d’Iwahori. Par des théorèmes de Satake et de Bernstein, l’algèbre de Hecke sphérique est isomorphe au centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke. Soit maintenant un groupe de Kac-Moody sur un corps local non archimédien. Des travaux récents de Braverman, Kazhdan et Patnaik (dans le cas affine) puis de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau (dans le cas général) permettent d’associer une algèbre de Hecke sphérique et une algèbre d’Iwahori-Hecke à . Avec Abdellatif, nous avons montré que le centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke est alors plus ou moins trivial et n’est donc plus isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons alors une « complétion » de l’algèbre d’Iwahori-Hecke, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique.

Nous introduisons une catégorie de bimodules de Soergel pour les groupes de réflexions complexes de rang un. Nous donnons une classification des objets indécomposables de la categorie ainsi qu’une présentation par générateurs et relations de son anneau de Grothendieck scindé. Cet anneau est une extension de l’algèbre de Hecke du groupe cyclique, et d’une algèbre introduite par Bonnafé et Rouquier. Lorsqu’elle est définie sur le corps des nombres complexes, elle est génériquement semi-simple. Il s’agit d’un travail en commun avec Anne-Laure Thiel.