Séminaires GAT à venir

Un système d’involution, c’est-à-dire un groupe W engendré par un ensemble d’involutions S, est naturellement muni d’un ordre faible obtenu en orientant le graphe de Cayley de (W,S). Les systèmes de Coxeter constituent l’exemple le plus connu de tels systèmes. Dans ce cas, Björner a montré que l’ordre faible est un demi-treillis complet pour l’opération d’infimum (meet), fait qui a de nombreuses applications importantes dans l’étude des systèmes de Coxeter et de leurs structures associées. Dans cette exposé, nous aborderons principalement la question des systèmes d’involutions en général, et en particulier de ceux dont l’ordre faible est un demi-treillis complet pour l’infimum (les groupes Cactus en font partie par exemple). J’expliquerai en particulier comment la structure de demi-treillis permet, dans le cas des graphes de Cayley bipartis, d’obtenir une présentation par générateurs et relations ainsi qu’une classification de ces systèmes en rang 3. Si le temps le permet, je parlerais aussi de quelques problèmes naturels qui se posent comme par exemple l'existence de représentations géométriques ou de savoir si leurs graphes de Cayley sont “médiangles”, notion introduite par Genevois au début 2020.
(basé sur un travail en commun avec F. Dos Santos et A. Trufanov.)

Fano varieties are among the fundamental building blocks of algebraic varieties, and their investigation is a central question in birational geometry. The Mukai conjecture concerns their geography, predicting a relationship between the Picard rank and the divisibility of the anti-canonical divisor.
In this talk, I will present a proof of the Mukai conjecture for spherical varieties, a large class of normal varieties with a group action that generalises toric, flag, and symmetric varieties. Our approach combines two strategies: the study of rational curves on Fano varieties and decomposability properties of the anti-canonical divisor. This allows us to connect the spherical Mukai conjecture to a geometric characterisation of toric varieties via log-canonical pairs conjectured by Shokurov. The latter is a key step in our proof, reducing one part of the question to the toric case, which was proven by Casagrande.
This is joint work with Giuliano Gagliardi and Heath Pearson. No prior knowledge of spherical varieties will be assumed.

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