Séminaires GAT en 2024

Cet exposé est un rapport sur les résultats de la thèse de doctorat (soutenue en juin 2023) de Xiaofa Chen. Sa notion de dg-catégorie exacte est une généralisation simultanée des notions de catégorie exacte au sens de Quillen et de dg-catégorie prétriangulée au sens de Bondal-Kapranov. Nous donnerons une définition en complète analogie avec celle de Quillen mais où la catégorie des paires noyau-conoyau est remplacée par une catégorie homotopique plus sophistiquée. Nous présenterons ensuite des exemples et un certain nombre de résultats fondamentaux concernant le dg-nerf, la dg-catégorie dérivée, les produits tensoriels et les catégories de foncteurs avec une cible dg exacte. Nous conclurons avec l'existence de la plus grande structure exacte sur une dg-catégorie homotopiquement additive. Ceci généralise un théorème de Rump pour les catégories additives concentrées en degré 0.

En 2023, Chapoton a rendu publique une conjecture étonnante faisant des liens entre des formules combinatoires, la théorie des représentations d’ensembles ordonnés Calabi-Yau fractionnaires et la géométrie symplectique. En 2018, Rognerud a prouvé que les treillis de Tamari illustrent les deux premiers aspects de cette conjecture. Dans cet exposé, je présenterai les treillis des idéaux de produits de deux chaines, qui constituent le premier exemple illustrant les trois aspects cette conjecture à la fois. En deuxième partie, j’expliquerai comment la propriété Calabi-Yau fractionnaire et le lien avec la géométrie symplectique s’obtiennent par l’étude d’une même famille de représentations définies par des antichaines de l’ensemble ordonné qui ont des propriétés remarquables.

L'objectif de cet exposé est de proposer une ouverture à l'utilisation de l'homologie persistante dans le contexte de l'analyse topologique de données musicales. Nous commencerons par rappeler le contexte historique dans lequel s'inscrivent les travaux présentés, puis nous définirons l'homologie persistante, les complexes filtrés de Vietoris-Rips ainsi le modèle utilisé pour les applications. Ce modèle est basé entre autre sur la transformée de Fourier discrète, utilisée ici comme une distance dans la construction des complexes filtrés. Nous présenterons ensuite les différentes applications musicales du modèle basé sur la DFT : la première expérience consiste à extraire des codes-barres provenant de partitions artificiellement construites, telles que des gammes ou des accords plaqués. Cette étude mène en particulier à l'harmonisation de chansons que l'on réduit à leur mélodie et leur grille d'accords, ce qui permet entre autre de définir les notions de graphe et de complexité d'un morceau. L'homologie persistante se prête également au problème de la classification automatique du style musical, qui sera traité ici sous le prisme de descripteurs symboliques donnés par des statistiques calculées directement sur les codes-barres.

Fusion systems arise from both finite groups and finite group blocks. A conjecture suggests the equivalence of these construction approaches. We explore the conjecture’s implications in Block Theory and discuss the broader applications of fusion systems, particularly in addressing key conjectures within this field.

The (strong) Bruhat order is a partial order that can be combinatorially defined for any Coxeter system. It plays an important role in Kazhdan-Lusztig theory and in Schubert calculus. Recent work of Libedinsky-Patimo and Batistelli-Bingham-Plaza shows that cardinalities of Bruhat intervals may be used when computing Kazhdan-Lusztig polynomials. However, not much is known regarding these cardinalities apart from some special cases. In this talk, I will present our first results in an on-going collaboration with F. Castillo, N. Libedinsky and D. Plaza. We study lower Buhat intervals in affine Weyl groups of elements associated to dominant coweights. First we give an alcovic description of these intervals, then we compute their cardinality in terms of volumes of certain convex polytopes, using techniques developed by Berline and Vergne.

The study of Dyck paths and parking functions combinatorics is a central piece of the diagonal harmonic polynomials theory, and has a deep link with the Nabla operator introduced by François Bergeron. Two fundamental statistics on Dyck paths, the area under a path and the number of diagonal inversions (also known as d-inv), play a key part in these interactions. The (q,t)-enumeration of these statistics gives rise to a Schur-positive symmetric function, but there is currently no combinatorial proof of this. Recently, a generalization of Dyck paths, named triangular Dyck paths, was introduced by Bergeron and Mazin. I will present new combinatorial notions such as the triangular tableau and the deficit statistic, prove the (q,t)-symmetry and Schur positivity for 2-partitions and talk about generalization of the Tamari lattice to the triangular case with respect to the higher trivariate case. This is a joint work with Viviane Pons.

Simplifiant un peu, la localisation d'Ore est une localisation aux éléments réguliers très générale pour des anneaux non commutatifs. Ceci a été étudié pour le cas des anneaux gradués par Nastacescu et van Oystaen et leurs collaborateurs, puis au cas de l'algèbre homologie d'une algèbre différentielle graduée par Braun, Chuang et Lazarev en 2018 de manière très abstraite. Je présenterai une localisation d'Ore pour algèbres différentielles graduées, explicitant ainsi le cas de Braun, Chuang et Lazarev. Une des applications standard de la localisation d'Ore est un théorème de Goldie de 1960. Sous des conditions appropriées de finitude et un peu technique, il démontre qu'un anneau semipremier possède une localisation d'Ore aux éléments réguliers semisimple artinienne. Ceci ne peut pas être généralisé au cas gradué, par un exemple de Goodearl et Stasheff de 2000, mais le cas d'anneaux gradué-premiers, gradués par un groupe abélien, reste vrai si on traduit les conditions de manière appropriée. Je généralise ceci au cas différentiel gradué. Dans l'exposé j'introduirai les notions utilisés, puis les résultats qui mènent aux théorèmes cités ci-dessus, puis les théorèmes principaux.

Conférence organisée par D. Chataur et J. Darne à l'UPJV, dont le programme est disponible à l'adresse suivante : https://www.mathconf.org/agqt2024

Je présenterai un travail en cours sur la construction de résolutions libres de monoïdes, avec un intérêt spécifique pour les monoïdes d'Artin et certains monoïdes apparentés. Dans la première partie de l'exposé, je rappellerai la notion de schéma de contraction, une méthode introduite en 1992 par Brown pour simplifier une résolution en éliminant des générateurs superflus. Dans la seconde partie de l'exposé, j'introduirai la notion de suite filtrante sur un monoïde, qui donne une recette pour construire des schémas de contraction. Nous verrons que cette méthode permet de retrouver (et, si le temps le permet, de généraliser) des résolutions connues, comme la résolution par ppcm de Dehornoy-Lafont.

Soit X une catégorie monoidale symétrique essentiellement petite enrichie sur R-Mod pour un anneau commutatif unitaire R. Sous ces hypothèses, la catégorie F des foncteurs R-linéaires de X vers R-Mod devient une catégorie abélienne monoïdale symétrique également enrichie sur R-Mod. Le fait que F soit à la fois monoïdale et abélienne permet de développer une riche théorie de modules sur les monoïdes dans F ; en particulier, on a une construction explicite d'un Hom interne pour ces foncteurs. Dans cet exposé on verra comment cet Hom interne permet de définir une théorie de cohomologie de Hochschild dans F.

Dans un groupe de Coxeter il y a des représentants canoniques des classes modulo un sous-groupe parabolique standard, les éléments de longueur minimum dans leur classe et de même il y a des éléments uniques de longueur minimum dans les double-classes modulo deux sous-groupes paraboliques standards. Quel est l'analogue dans un groupe d'Artin? Une réponse vient de l'existence d'une rétraction d'un groupe d'Artin sur un sous-groupe parabolique standard. Cette rétraction définie géométriquement par plusieurs auteurs a une définition purement algébrique qui sera expliquée dans cet exposé. Un certain nombre d'applications en seront tirées, en particulier sur les intersections de sous-groupes paraboliques. Il s'agit d'un travail en cours avec E. Godelle et J. Michel.

Dans cet exposé j'introduirai une nouvelle fonction de longueur dans les groupes de Weyl d'algèbres de Kac-Moody. Nous verrons comment cette fonction généralise la fonction de longueur usuelle puis nous verrons certaines conséquences en théorie des nombres, notamment la paramétrisation des solutions d'équations de Pell-Fermat.

Les théories des représentations des groupes de tresses sur les surfaces et les groupes de tresses soudées sont sauvages, dans le sens où il n'existe pas de classification de leurs représentations irréductibles via un nombre finis de paramètres. Par ailleurs, une question fondamentale pour n'importe quel groupe est de savoir s'il est linéaire ou non -- c'est-à-dire s'il agit fidèlement sur un espace vectoriel de dimension finie. Par exemple, les groupes d'automorphisme des groupes libres ne sont pas linéaires (Formanek-Procesi), alors que les groupes de tresses sont linéaires (Bigelow, Krammer). La question est cependant complètement ouverte pour de nombreux groupes groupes de tresses sur les surfaces et les groupes de tresses soudées. Cela motive donc la construction de représentations pour ces familles de groupes, et je décrirai dans cet exposé des méthodes générales de constructions de tels représentations. Elles généralisent notamment les constructions célèbres de Lawrence et Bigelow pour les groupes de tresses. Je présenterai également certaines propriétés de ces représentations (calculs des représentations, irréductibilités ...). Cet exposé incorporera des résultats de travaux en collaboration avec Martin Palmer, ainsi que d'un travail en commun avec Jacques Darné et Martin Palmer.

L'action du groupe symétrique sur l'homologie du poset des partitions a été calculée dans les années 1980. Plusieurs chercheurs tels que Hanlon, Stanley et Joyal, ont remarqué le lien avec le S-module sous-jacent à l'opérade Lie. En 2002, Fresse a donné une preuve de ce lien par un isomorphisme de complexe de chaînes entre le complexe d'ordre du poset et la construction bar à niveaux opéradiques. Peu après, Vallette a étendu ce résultat à une nouvelle famille de posets, appelés les posets de partitions généralisés. Chapoton a remarqué à la même époque le même genre de phénomène pour les posets d'hyperarbres, dont l'homologie se relie à l'opérade Pré-Lie, sans qu'une explication algébrique en soit donnée. Nous munissons ici certaines familles de posets d'une structure additionnelle que nous appelons "espèce en posets opéradiques" et qui induit une structure d'opérade sur leur cohomologie. Nous commencerons par introduire toutes les notions nécessaires et illustrerons notre construction à l'aide d'exemples, venant des posets de partition, mais aussi des posets des hyperarbres et des fonctions de parking. Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Clément Dupont (IMAG).

Pour des surfaces fermées (ou plus en général dont le groupe fondamental est de type fini), Nielsen et Thurston ont donné une classification des homéomorphismes à homotopie près. Je rappellerai ce résultat et je discuterai les difficultés que l'on rencontre si on cherche à étendre cette classification aux surfaces de type infini (e.g. surfaces de genre infini). Je montrerai ce qui se passe si on se restreint aux homéomorphismes qui (de manière très imprécise) ne présentent pas de comportement pseudo-Anosov. Il s'agit d'un travail en commun avec Mladen Bestvina et Jing Tao.

In connection with the Springer correspondence, Lusztig defined an important subset of the nilpotent orbits in a simple Lie algebra, called the special orbits. To each special orbit is associated an open subset of its closure, called a special piece; the special pieces partition the nilpotent cone. A long-standing conjecture of Lusztig, open in exceptional types, is that each special piece is the quotient of a smooth variety by a certain finite group H. In this talk I will outline a proof of the conjecture. The first step is the establishment of a "local version" of the conjecture, which holds in a suitable transverse slice. In each case, the transverse slice is isomorphic to the quotient of a vector space by H. The local version allows us to establish smoothness of a certain H-cover of the special piece, therefore establishing the conjecture. Along the way, we observe various interesting symplectic quotient singularities appearing as transverse slices between nilpotent orbits in exceptional Lie algebras. This is joint work with Fu, Juteau, Sommers and Yu.

The Hecke algebra is a one-parameter deformation of the group algebra of a Coxeter group W . It is naturally equipped with a basis indexed by the elements of W , which is called the standard basis. In 1979, Kazhdan and Lusztig introduced a new basis for the Hecke algebra. Its coefficients with respect to the standard basis, called Kazhdan–Lusztig polynomials, encode relevant information in representation theory and algebraic geometry. For W an affine Weyl group there is an spherical Hecke algebra embedded in the affine Hecke algebra, which plays an important role. For instance, the corresponding Kazhdan–Lusztig polynomials coincide with q-weight multiplicities. In 2022, Libedinsky, Patimo, and Plaza introduced the pre-canonical bases of the spherical Hecke algebra. These bases interpolate between the spherical Kazhdan–Lusztig basis and the spherical standard basis, providing a new way to understand the Kazhdan–Lusztig basis. In a joint work with David Plaza we prove that in type A the polynomials occurring in the expansion of an element of the -th basis in terms of the -th basis have positive coefficients. In this talk, we will focus on the previously mentioned structures and, through examples, present the arguments that demonstrate their positivity.

Amphi Lavoisier 14:15-15:05 Christian Miebach (Calais): Quotients of bounded homogeneous domains by unipotent discrete groups 15:05-15:30 Coffee break 15:30-16:20 Xiaonan Ma (Paris Cité): Superconnection and family of Bergman kernels

La catégorie des bimodules de Soergel joue un rôle essentiel en théorie des représentations, pour la construction d'actions du groupe de tresses et celle d'invariants homologiques de noeuds. Après avoir donné la définition et certaines propriétés de cette catégorie, le but de cet exposé sera de présenter certaines de ses généralisations. Alors que la catégorie de Soergel est associée à un groupe de Coxeter, nous construirons ici une catégorie similaire mais associée cette fois à un groupe cyclique. Je décrirai complètement cette catégorie en donnant une classification de ses objets indécomposables et étudierai son anneau de Grothendieck scindé. Ce dernier est une algèbre qui est une extension de l'algèbre de Hecke du groupe cyclique et peut être présenté par générateurs et relations. Si le temps le permet, je mentionnerai des résultats partiels sur une description diagrammatique de cette catégorie. Travail en commun avec Thomas Gobet.

Various constructions of categories have a universal property expressing the freeness/initiality of the construction within a specific categorical doctrine. Expressed in an algorithmic framework, it turns out that this universal property is in a certain sense a doctrine-specific “ur-algorithm” from which various known categorical constructions/algorithms (including spectral sequences of bicomplexes) can be derived in a purely computational way. This can be viewed as a categorical version of the Curry-Howard correspondence to extract programs from proofs.

Let be an odd prime, be a non-Archimedean local field of residue characteristic and be the metaplectic group (double cover) associated to the -adic special linear group . Over the field of complex numbers, the Iwahori-Hecke algebras of (also higher rank cases) and their representation theory have been studied in the context of Shimura and Theta correspondences in several works, for example by Savin, Gan-Savin. In a joint work with Ramla Abdellatif, we study the -modular Iwahori-Hecke algebras associated with the metaplectic group , classify their simple modules and compare them with the Iwahori-isotypical components of -modular genuine principal series representations of .

Après avoir introduit les J-groupes de réflexions et expliqué en quoi ces groupes généralisent les groupes de réflexions complexes de rang 2, je donnerai des présentations de ces groupes, définirai leurs groupes de tresses et, si le temps le permet, parlerai de structures de Garside associées à ces groupes de tresses.

In this report, we present two generalizations of the Alvis-Curtis-Kawanaka (ACK) duality for Hecke algebras: a relative version for finite Hecke algebras, based on Howlett-Lehrer’s work (under certain assumptions), and an unequal parameter version for affine Hecke algebras, based on the work of S.-I. Kato. By requiring the involution to be compatible with ACK duality/Aubert-Zelevinsky duality on the group side and restricting to a fixed Harish-Chandra series/Bernstein block, we obtain the "left-hand side" of the involution for modules of finite and affine Hecke algebras. Additionally, we provide an interpretation of the generalization of Howlett-Lehrer’s work for finite Hecke algebras under these conditions. If time permits, we will also look at some examples.

La conjecture de Gompf prétend qu'en dimension 4, si deux corps en anses de degré deux (variétés obtenues par recollement d'anses de degrés inférieurs à 2 sur la boule ) sont difféomorphes, alors ils sont 2-équivalents, ç'est-à-dire difféomorphes par un difféomorphisme ne faisant intervenir aucune anse de degré supérieur. C'est une version quadridimensionelle de la fameuse conjecture de Andrews-Curtis, ayant trait aux présentations du groupe trivial. Il est plutôt attendu que ces conjectures sont fausses. Une algèbre de Bobtcheva-Pergiallini (BP) est une algèbre de Hopf dans une catégorie monoïdale tressée, vérifiant un certains nombre d'axiomes. Dans cet exposé, après avoir énoncé les conjectures de Gompf et d'Andrews-Curtis, j'expliquerai comment la donnée d'une algèbre BP fournit un invariant de corps en anses à 2-équivalence près, puis je donnerai des exemples prometteurs d'algèbres BP qui sont de bonnes candidates pour démontrer que les deux conjectures sont erronées.

Soit G le groupe des points rationnels d'un groupe réductif connexe défini sur un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle p. L'immeuble de Bruhat-Tits X de G est un G-espace topologique qui joue un rôle fondamental dans l'étude des représentations lisses de G. Sur , P. Schneider et U. Stuhler ont fourni une analyse approfondie de la relation entre représentations lisses de G, systèmes de coefficients G-équivariants sur X et faisceaux G-équivariants sur X. Dans cet exposé, j'introduirai ces différents concepts et, après une brève présentation des travaux de Schneider et Stuhler, j'expliquerai ce qui est connu de la relation entre représentations lisses de G et faisceaux G-équivariants dans le cadre modulaire.

Les groupes d'Artin virtuels ont été introduits par Bellingeri, Paris et Thiel en 2022, dans le but de généraliser le concept de "virtuel" — déjà utilisé pour les groupes de tresses — à tous les groupes d'Artin. Dans ces groupes, on retrouve comme sous-groupes les plus familiers groupes d'Artin et de Coxeter. Ma thèse vise à explorer la topologie de certains sous-groupes normaux des groupes d'Artin virtuels, en particulier à travers la construction d'espaces classifiants pour divers types de ces sous-groupes. Le résultat principal de cette étude établit un lien profond entre ces espaces et la conjecture K(π, 1), tout en apportant des réponses à certaines questions concernant les groupes de tresses pures virtuelles.

One of the main themes of my thesis is to study the complex braid group using Garside theory. This last group is particular among complex braid groups, as it is not known to admit a Garside group structure, but rather a Garside groupoid structure: the Springer groupoid. Springer groupoids are defined in general for centralizers of regular braids in well-generated complex braid groups, which applies to in particular. In the first part, I will show how we can derive presentations of using its attached Springer groupoid. I will also show how the Springer groupoid can be used to study the center of the pure braid group . In the second part, I will study parabolic subgroups of regular centralizers. Parabolic subgroups of complex braid groups were recently introduced by González-Meneses and Marin. In particular, they proved general results on these parabolic subgroups in every case except that of . I will explain how to deduce a complete description of the parabolic subgroups of a regular centralizer in an arbitrary complex braid group. This description uses in particular the concept of shoal of standard parabolic subgroupoids of Springer groupoids. Lastly, I will show how this description allows us to extend the results of González-Meneses and Marin to thus completing the proof of these results for all complex braid groups.

La cohomologie équivariante d'une représentation d'un groupe réductif est une algèbre de polynômes indépendante de la représentation elle-même. Ce travail vise à comprendre cet espace à l'aide des morphismes d'induction parabolique à partir de sous-groupes de Levi, en particulier pour les représentations auto-duales. Le résultat principal, purement algébrique, est une décomposition en un nombre fini d'espaces vectoriels de dimension finie de cette cohomologie équivariante, qui rappelle la théorie de Springer et dépend de la représentation choisie. La dimension graduée de ces espaces fournit de nouveaux invariants énumératifs, que l'on cherche à interpréter d'un point de vue géométrique. En particulier, on s'attend à retrouver la cohomologie d'intersection de certains espaces de modules. L'isomorphisme d'intégralité cohomologique obtenu constitue une première étape dans l'étude de la géométrie énumérative des champs généraux. Ce travail est motivé par l'étude de la conjecture P = W pour les groupes réductifs ainsi que par une conjecture de pureté (démontrée) due à Halpern-Leistner concernant l'homologie de Borel–Moore de certains champs.

Un arbre aimable est la donnée d’un graphe fini orienté et d’une collection de chemins de longueurs deux satisfaisant quelques propriétés supplémentaires. En assignant à chaque sommet un espace vectoriel et à flèche une application linéaire, nous obtenons une représentation, et nous pouvons considérer la catégorie des représentations d’un arbre aimable. Cette dernière admet une description très précise à l’aide de la combinatoire des cordes. Une sous-catégorie pleine est dite résolvante si elle contient les projectifs, et si elle est stable par sommes et facteurs directs, par extension, par noyau d’épimorphismes. Sachant que ces catégories se caractérisent par leurs représentations indécomposables, un but raisonnable, bien que difficile, est de décrire le treillis des sous-catégories résolvantes de la catégorie des représentations d’un arbre aimable. Dans cet exposé, en deux parties, après avoir fait un tour de toutes les notions importantes pour en cerner le contexte, nous expliquerons une réécriture de l’algorithme de Takahashi qui nous permet de calculer des catégories résolvantes. Puis, à l’aide de la combinatoire des surfaces associée à un arbre aimable, nous donnerons la recette pour construire les sous-catégories résolvantes monogènes (engendrées par une seule représentation indécomposable). Enfin, en utilisant des outillages provenant des treillis, nous vous présenterons l'algorithme qui permet de construire toutes les sous-catégories résolvantes d'un arbre aimable. Tout cela avec une perspective combinatoire.