Séminaires GAT en 2022

Les algèbres aimables sont une classe d’algèbres de dimension finie introduites par Assem et Skowronski dans les années 1980s. Les modules sur une telle algèbre peuvent être décrits par la combinatoire des marches sur le carquois associé à celle-ci, grâce aux travaux de Butler et Ringel. La retrouvabilité de Jordan d’une sous-catégorie de modules est une réponse affirmative à la question de savoir retrouver un module de la sous-catégorie (à isomorphisme près) étant donné une forme générique d’endomorphisme nilpotent sur ces modules, donnée sous la forme d’uplets de partages d’entiers. Après avoir donné quelques définitions et rappels, et après avoir posé le contexte, l’exposé aura pour but d’expliquer la retrouvabilité de Jordan à travers divers exemples, de mettre en lumière une caractérisation combinatoire de cette propriété parmi une certaine classe de sous-catégories de modules particulière, – un résultat qui étend les travaux récents faits par Garver, Patrias et Thomas dans le cas Dynkin, – et, si le temps le permet, de discuter des nouvelles idées afin de caractériser toutes les sous-catégories de modules qui sont retrouvables de Jordan pour le cas .

Dans cet exposé j’introduirai une variété affine associée à un groupe de Weyl affine dont les points entiers sont en bijection avec les éléments du groupe. Par la suite, je donnerai certaines conséquences combinatoires en mettant l’accent sur le type .

La partie réelle de l’espace de configuration de n points sur la droite projective contient une composante connexe aux nombreuses propriétés interessantes : elle permet de construire l’associaèdre, et s’avère être une variété affine définie par des "équations u" totalement explicites. Ces équations sont elles-mêmes liées aux variables d’amas d’une algèbre amassée de type . Cette construction a été généralisée pour tous les types Dynkin. Dans cet exposé, nous verrons comment la catégorification des algèbres amassées au moyen de représentations de carquois permet de faire apparaître les "équations u" de façon purement algébrique. Ceci permet de généraliser ces équations pour toute algèbre de type de représentation fini. Cet exposé est basé sur un travail en cours avec Nima Arkani-Hamed, Hadleigh Frost, Giulio Salvatori et Hugh Thomas.

L’étude des espaces stratifiés, et de leurs invariants, débute avec le théorème de Whitney, qui garantit que toute variété algébrique, réelle ou complexe, peut être décomposée en variétés lisses, satisfaisant des conditions de recollement. S’en sont suivies de nombreuses généralisations d’invariants classiques au cas stratifié : la signature, la cohomologie d’intersection et la catégorie des chemins sortants par exemple. Ces nouveaux invariants n’étant compatibles qu’avec les homotopies préservant la stratification, il s’impose alors de définir une théorie homotopique adaptée aux espaces stratifiés. Dans cet exposé, je présenterai deux approches, produisant deux théories de l’homotopie stratifiée a priori distinctes. A travers l’étude des entrelacs - des objets encodant les instructions de recollement entre strates - j’expliquerai pourquoi ces deux théories coïncident. L’exposé sera en parti basé sur des travaux en commun avec Lukas Waas (Université d’Heidelberg)

On construit un homomorphisme du groupe de tresses sur brins dans le groupe de Steinberg de type sur les entiers. Cet homomorphisme relève la représentation symplectique du groupe de tresses. On décrira en particulier le noyau et l’image de cet homomorphisme (travail en commun avec C. Kassel).

Les représentations irréductibles d’un groupe -adique sont en règle générale de dimension infinie. Dans les années 1970 Harish-Chandra a établi non seulement la théorie analytique de leurs caractères, mais aussi (suivant Howe) un théorème décrivant leur développement local en un voisinage de 1 en termes d’un nombre fini de fonctions provenant des orbites nilpotentes de agissant sur son algèbre de Lie. Cherchant une interprétation plus algébrique de ce résultat nous mène à vouloir déterminer la restriction d’une représentation à des sous-groupes compacts ouverts maximaux. Dans cet exposé, on présente ce théorème de Harish-Chandra et ensuite une version algébrique pour . Pour chaque orbite nilpotente , on construit explicitement une représentation (de dimension infinie) d’un sous-groupe compact ouvert maximal , et tel que son caractère est jusqu’à un terme constant. On démontre ensuite que toute représentation n’est qu’une somme virtuelle de ces représentations dans un voisinage de 1. On conclura avec les implications de la conjecture générale.

Dans cet exposé, j’expliquerai comment les mousses permettent de donner une définition complètement combinatoire des homologies , le cas correspond à la célébrée homologie de Khovanov. Cette description permet de construire une action de sur ces groupes d’homologie et de les munir de structures si l’on travaille en caractéristique p. Travail en cours et en commun avec You Qi, Joshua Sussan et Emmanuel Wagner.

Soit un groupe algébrique complexe semi-simple, qui agit sur sont algèbre de Lie via l’action adjointe, et soit l’adhérence d’une orbite nilpotente dans . Dans cet exposé on va s’intéresser aux formes réelles de , c’est-à-dire aux variétés algébriques réelles munies d’une action d’un groupe algébrique réel telles que soit isomorphe à comme groupe algébrique et soit isomorphe à comme -variété. Il s’agit d’un travail en commun avec Michael Bulois et Lucy Moser-Jauslin (arXiv:2106.04444).

Les différentes catégorifications de l’algèbre de Hecke ont montré leur importance en théorie des représentations à plusieurs reprises : des preuves de la conjecture de Kazhdan-Lusztig en 1981 aux plus récents résultats en théorie des représentations modulaires (par exemple, la formule des caractères pour les modules basculants montré par Achar, Makisumi, Riche et Williamson en 2017). Elias et Williamson ont trouvé une présentation diagrammatique par générateurs et relations de cette "catégorie de Hecke", qui correspond à la présentation de Iwahori-Matsumoto de l’algèbre sous-jacente. Dans le cas affine, celle-ci admet aussi une deuxième présentation, dite de Bernstein, dont il serait intéressant de trouver une catégorification analogue. Dans cet exposé, j’introduirai d’abord l’algèbre de Hecke et ses catégorifications, en particulier la version de Elias-Williamson. Ensuite je décrirai de premiers résultats dans le sens d’une présentation à la Bernstein, consistant en l’étude des groupes d’extension entre faisceaux de Wakimoto, catégorifiant le réseau des poids, dans le cas de .

Let be an algebraically closed field of positive characteristic and let be an algebraically closed field of characteristic . In this talk we consider the -linear category of diagonal -permutation functors over . We first show that the category is semisimple, and we give a parametrization of its simple objects, together with a description of their evaluations. Next, to any pair of a finite group and a block idempotent of , we associate a diagonal -permutation functor in . We find the decomposition of the functor as a direct sum of simple functors in . This leads to a characterization of nilpotent blocks in terms of their associated functors in . Finally, for such pairs of a finite group and a block idempotent, we introduce the notion of functorial equivalence over and we prove a corresponding finiteness theorem : for a given finite -group , there is only a finite number of pairs , where is a finite group and a block idempotent of with defect isomorphic to , up to functorial equivalence over . We also give a sufficient condition for two pairs and to be functorially equivalent over in the situation of Broué’s abelian defect group conjecture. This is joint work with Serge Bouc.

Nous définirons les paramètres de Langlands enrichis pour les représentations à coefficients complexes des groupes réductifs p-adiques et décrirons une notion de cuspidalité pour ceux-ci. Puis, nous construirons, au moyen de la correspondance de Springer généralisée, une application qui associe à tout paramètre de Langlands enrichi son support cuspidal. Nous montrerons ensuite comment cette construction permet de ramener l’étude de la correspondance de Langlands pour des représentations irréductibles arbitraires d’un groupe réductif -adique au cas des représentations supercuspidales des sous-groupes de Levi de .

Les algèbres amassées ont été introduites par Fomin et Zelevinsky au début des années 2000. Étant définies de façon combinatoire, plusieurs mathématiciens, tels Keller, Amiot et Hernandez, que se sont mis à la tâche de les catégorifier. D’autres, comme Caldero, Chapoton et Palu, ont étudié comment retrouver les algèbres amassées comme une decatégorification de certaines catégories additives via la fonction connue sous le nom de caractère d’amas. Dans cette exposé on va présenter une nouvelle construction des algèbres amassées de type fini à partir de catégories de modules basée sur les techniques de la théorie de déformation des variétés algébriques. Si le temps le permet, on parlera aussi des limites de cette technique et les voies de recherche qui s’ouvrent à partir de ces résultats. Les résultats de cette exposé font partie d’une collaboration avec Nathan Ilten (Simon Fraser University) et Alfredo Nájera (UNAM Oaxaca). arXiv:2111.02566

Les théories topologiques des champs (TFT) en dimension 2 sont classifiés par les algèbres de Frobenius, des algèbres commutatives munies d’une trace non dégénérée. Ce théorème donne des invariants topologiques faciles à calculer, mais founrit surtout un calcul graphique pour les algèbres de Frobenius. Je commencerai par expliquer ce résultat ainsi qu’une application amusante à la théorie des représentations des groupes finis. Les foncteurs modulaires sont des versions "catégorifiées" des TFT en dimension 2, qui aux surfaces associent non pas des invariants numériques mais des représentations (en général projectives) de leurs groupes de difféotopie. Des exemples de tels objets ont été construit par Witten et Reshetikhin-Turaev à partir de catégories enrubannées, semi-simples et satisfaisant une condition de non-dégénérescence. Cette construction a été généralisé au cas non semi-simple par Lyubachenko-Majid. Cette généralisation est hautement non-triviale, assez mystérieuse, et fait intervenir un certain nombre de résultats techniques de la théorie des algèbres de Hopf. Dans cet exposé, j’expliquerai un résultat de Muller-Woike donnant un sens précis à l’idée que les catégories enrubannées sont des algèbres de Frobenius catégorifiées. Je parlerai ensuite d’un travail en commun avec Lukas Woike dans lequel on donne une condition nécessaire et suffisante, qui utilise ce point de vue et le langage des "catégories skein", pour obtenir un foncteur modulaire à partir d’un tel objet. Ceci donne une "explication" aux formules de Lyubachenko-Majid, et montre du même coup qu’une telle extension est canonique.

We generalize the Reduction Theorem of Kessar-Stancu so it can be applicable to exotic fusion systems over the maximal nilpotency class of rank two 3-groups. This is an essential step towards proving that these exotic fusion systems are also block exotic.

In this talk, we describe the lattice of ideals of some Green biset functors. We consider Green biset functors which satisfy that each evaluation is a split semisimple commutative algebra and use the idempotents in these evaluations to characterize any ideal of these Green biset functors. For this we will give the definition of -group, this definition generalizes that of a -group, given for the Burnside functor. Given a Green biset functor , with the above hypotheses, the set of all -groups of has a structure of a poset and we prove that there exists an isomorphism of lattices between the set of ideals of and the set of upward closed subsets of the -groups of , and we compare this characteristics of the ideals with some classic examples of Green biset functor.

The main goal of this talk is to show, in an elementary way, how bisets for categories may be notated and their products computed. It is like matrix multiplication with an extra complication thrown in. After an elementary example this leads to a proof that the simple correspondence functors have the same parametrization as the simple biset functors defined on Boolean lattices, when birepresentable bisets are used.

Dans son article historique de 1992 concernant la conjecture de Fontaine-Mazur pour les extensions de corps de nombre de degré premier, Boston demande s’il serait possible d’utiliser la méthode qu’il a présentée pour obtenir un contre-exemple à la conjecture de Fontaine-Mazur dans le cas de l’extension biquadratique . Dans un travail en commun avec S. Pisolkar (IISER Pune), nous apportons une réponse négative à cette question en explicitant le groupe de Galois que Boston pressentait comme candidat à un contre-exemple. Nous démontrons en particulier que c’est un groupe fini d’ordre 6561 et que ce n’est pas un groupe uniforme. Cet exposé, qui ne nécessite pas de pré-requis particulier au-delà des cours usuels de M2, présentera ces travaux : je préciserai dans un premier temps le contexte et la question qui nous intéressent précisément, puis je définirai les quelques notions de théorie des groupes et de théorie des nombres qui nous sont utiles avant d’expliquer comment nous répondons à la question posée par Boston il y a maintenant 30 ans.

La théorie des éléments réguliers de Springer dans les groupes de réflexions complexes est bien connue et donne des résultats remarquables sur les liens entre ces groupes. L’existence d’un "relèvement" de cette théorie dans les groupes de tresses complexes a fait l’objet de plusieurs conjectures. Une avancée majeure dans l’établissement de ces différentes conjectures a été réalisée par David Bessis dans le cas des groupes dits "bien engendrés" et j’ai pu généraliser ces résultats à tous les groupes irréductibles. Cette généralisation repose sur l’étude de différentes familles distinctes de groupes "mal-engendrés", et le but principal de cet exposé est de présenter certaines techniques utilisées pour traiter ces différentes familles. Cette présentation sera précédée d’une introduction rapide au cadre des groupes de tresses complexes et de la théorie "classique" des éléments réguliers de Springer, et sera suivie si le temps le permet de quelques conséquences sur le centre des groupes de tresses complexes.

I will introduce new cohomological invariants for compact almost complex 4-manifolds, generalizing the Hodge theory of complex surfaces. I will discuss their main properties and some applications to the integrability of almost complex structures. This is joint work with Scott Wilson.

Soit un groupe réductif sur un corps fini et un sous-groupe unipotent maximal. Le but de cet exposé est d’expliquer la construction d’un isomorphisme entre la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig et la cohomologie de certain faisceaux -adiques sur construits par Kazhdan et Laumon. Cette relation donne en particulier une description de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig sans faire référence aux variétés elles même. J’expliquerai aussi comment utiliser ce résultat pour donner une nouvelle preuve d’un théorème de Dudas sur le calcul de la restriction de Deligne-Lusztig d’une représentation de Gelfand-Graev.

Given a directed graph, one can associate two algebraic entities : the Leavitt path algebra and the talented monoid which has interesting relationship between them. The talented monoid is isomorphic to the positive cone of the graded -group of the Leavitt path algebra which is naturally equipped with a -action. In this talk, we characterise directed graphs consisting of disjoint cycles via their talented monoids by introducing types of -order-ideals. We show that a graph E consists of disjoint cycles precisely when its talented monoid TE has a particular Jordan-Hölder composition series. These are graphs whose associated Leavitt path algebras have finite Gelfand-Kirillov dimension. We show that this dimension can be determined as the length of suitable ideal series of the talented monoid. The last part of the talk is a brief overview of the talented monoid as an invariant for finite representation of Leavitt path algebras. This is a confirmation of the Graded Classification Conjecture of the Leavitt path algebras in the finite-dimensional case.

Algebras and their representations can often be constructed geometrically in terms of convolution of cycles. Convolution is ubiquitous in mathematics and we will start our discussion with an elementary example of finite sets. Next, we introduce the Springer correspondence that describes how irreducible representations of a Weyl group can be realised in terms of a convolution action on the vector spaces of irreducible components of Springer fibers. Similar situations yield the affine Hecke algebra, quiver Hecke algebra (KLR algebra), quiver Schur algebra or Soergel bimodules.

In the end, we show that these algebras and their representations can be realized in terms of certain equivariant motivic sheaves called Springer motives. On our way, we will discuss weight structures and their applications to motives.

Dans cet exposé, j’expliquerai comment exploiter les singularités des tranches de Slodowy nilpotentes pour étudier des problèmes liés aux -algèbres qui sont certaines algèbres vertex associées aux éléments nilpotents d’une algèbre de Lie semi-simple. Il s’agit de travaux en commun avec Tomoyuki Arakawa et Jethro Van Ekeren.

On va discuter des théorèmes de comparaisons en géométrie complexe. Ensuite on va discuter les complications qui apparaissent si on passe à un analogue -adique. Finalement, on va étudier un approche rigide analytique pour un des objets principaux de la théorie de Hodge -adique.