Colloquium en 2023

Les nombres et ne sont racine d’aucun polynôme à coefficients rationnels. C’est un cas particulier d’un des résultats les plus spectaculaires de la théorie de la transcendance : le théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass. Avec sa preuve à la fin du 19è siècle s’est posé la question de comment le généraliser à d’autres fonctions que l’exponentielle, notamment aux fonctions de Bessel, dont les zéros expriment les modes de vibration d’une membrane circulaire. C’est dans ce but que Siegel a introduit la notion de fonction dans un article de 1929 qui sera un point tournant de la théorie des nombres. Les fonctions sont des séries entières qui sont solution d’une équation différentielle et dont les coefficients satisfont à certaines conditions de croissance de nature arithmétique. J’expliquerai leur histoire, en l’illustrant par maints exemples, et si le temps le permet vers la fin comment Peter Jossen et moi avons pu récemment répondre à une des questions dans le papier de Siegel.

Take an equation like y^3 = x^6 + 23x^5 + 37x^4 + 691x^3 − 631204x^2 + 5169373941 It has the solution (1, 1729) as I'm sure you saw right away. Are there any other solutions in rational numbers? The study of integral or rational solutions to polynomial equations, sometimes known as the theory of Diophantine equations, is among the oldest pursuits in mathematics. This lecture will give an idiosyncratic survey of the remarkable advances made in the 20th and 21st century for the special case of equations of two variables. The emphasis will be on the techniques of arithmetic topology, where we combine the study of numbers with the study of shapes, often in intricate and surprising ways.

En introduction, seront évoquées les premières réalisations artistiques dans le cadre de la nouvelle civilisation et sous l’influence des traditions artistiques d’autres aires culturelles et les influences éventuelles du nouveau corpus religieux sur les orientations et les choix des artistes des IXe-Xe siècles. Dans une seconde partie seront présentés des exemples d’intervention de l’art figuré dans les publications de certaines disciplines scientifiques, comme l’astronomie, la géographie, la médecine et la botanique. Dans la troisième et dernière partie, seront exposées les différentes pratiques artistiques qui ont sollicité, d’une manière ou d’une autre, des savoir-faire mathématiques de leur époque et les nouvelles orientations qui sont apparues dès le Xe siècle et qui ont été à l’origine d’un « art nouveau » qui est aujourd’hui associé à la civilisation arabo-musulmane.

Un grand nombre de phénomènes physiques recèle une structure de flot de gradient, ou de de système hamiltonien (que l’on peut voir comme une version inertielle du flot de gradient). Cela signifie qu’il existe une fonction sous-jacente des variables d’état (de positions s’il s’agit par exemple de particules) qui conditionne l’évolution du système. Dans la version non inertielle, l’état du système « glisse » suivant la ligne de plus grande pente de cette fonction, qui détermine donc entièrement le comportement global du système. Nous nous demanderons si certain phénomènes impliquant des entités pensantes et dotées de capacités cognitives (des gens, quoi), et qui peuvent a priori se modéliser par des équations proches de celles de la physique, présentent cette structure, et nous tâcherons de préciser ce qui peut expliquer qu’ils s’en écartent. Nous illustrerons ces considération dans le domaine de la propagation d’opinion sur réseau sociaux, et sur les mouvements de foules ou de véhicules.

Je vais introduire une classe de problèmes de contrôle utilisés en économie, introduits en 1928 par Ramsey, et je vais montrer qu'en dehors de cas particuliers la solution optimale, toujours bien définie mathématiquement, induit un comportement contradictoire. Pour y remédier, il faut introduire un autre concept que l'optimalité. Je définirai ainsi des stratégies d'équilibre, et je montrerai leur existence en résolvant une équation différentielle explicite au sens de Thom.