Colloquium en 2019

Dans cet exposé j’expliquerai comment les catégories peuvent être utiles en géométrie algébrique et plus particulièrement pour l’étude de la topologie des variétés algébriques. Pour cela, je me concentrerai sur les formules de type "Gauss-Bonnet", qui relient caractéristiques d’ Euler et invariants algébriques (e.g. formes différentielles holomorphes ou algébriques). J’expliquerai en quoi ces formules sont des conséquences simples d’un formalisme catégorique. Dans une seconde partie de l’exposé nous verrons comment ces approches permettent de faire des progrès sur la conjecture du conducteur de Bloch, qui est une généralisation variationnelle de la formule de Gauss-Bonnet.

On présentera quelques résultats récents de la théorie des ensemble, avec un accent sur deux points : - le problème du continu, et le sens que peut avoir une solution après les résultats négatifs bien connus de Gödel et Cohen, - les tables de Laver, qui sont des structures finies explicites dont certaines propriétés combinatoires simples n’ont pour le moment été démontrées qu’en utilisant un axiome de grand cardinal, une situation très paradoxale.

Nous allons nous placer dans le contexte de l’évolution darwinienne et expliquer quels sont les enjeux spécifiques de l’évolution des micro-organismes. Nous modéliserons la dynamique d’une population de bactéries de deux types en compétition pour les ressources, soumises à l’hérédité mais qui peuvent aussi échanger de l’information génétique par contact. Ce transfert se fait à une vitesse qui dépend de la masse totale de la population. Nous montrons comment cette dynamique peut-être modélisée soit par un système stochastique, soit par un système dynamique déterministe et étudions la stabilité de ce système. Nous étudions également la probabilité d’invasion de l’un des types initialement rare. Nous généralisons cette situation à un modèle d’évolution qui décrit les invasions successives de mutations favorables. Nous donnons quelques questions ouvertes.