Colloquium en 2018
Quand on cherche à caractériser les formes convexes pouvant paver le plan (en s’autorisant les rotations et miroirs), seul le cas des pentagones restait ouvert. De 1918 à 2015, 15 différents types de pentagones pouvant paver le plan ont été découverts. Je présenterai une recherche exhaustive de tous les pentagones convexes pavant le plan qui permet de clore cette question. La preuve se sépare en deux parties : la première montre, en utilisant la compacité, qu’on peut se limiter à un ensemble de 371 familles, et la seconde est une recherche exhaustive informatisée, pour chacune des 371 familles, qui ne trouve aucun nouveau type de pentagones que les 15 types connus.
Les célèbres fibrations de Hopf sont des fibrations des sphères par des grandes sphères. Il existe trois familles de ces fibrations et une exceptionnelle ; la plus connue est la fibration de la sphère de dimension 3 par des grands cercles. Nous allons "visualiser" les fibrations de Hopf dans l’espace euclidien et investiguer les divers liens avec la combinatoire et la théorie des nombres, notamment avec la fonction de Hurwitz-Radon.
Cet exposé présente quelques aspects de l’étude de modèles de matrices aléatoires, notamment le comportement des valeurs propres en grande dimension. Un effort particulier est fait pour mettre en avant la structure et les méthodes, entre analyse, probabilités, et physique statistique.
Les lois de la thermodynamique sont au cœur de notre vie quotidienne. Depuis Maxwell et Boltzmann, les scientifiques cherchent à expliquer les changements de chaleur ou les mélanges de liquide à l’aide de modèles microscopiques faisant intervenir un très grand nombre d’atomes en interaction. Les moyens mathématiques pour décrire le comportement de ces systèmes deviennent de plus en plus élaborés, et tentent de répondre à plusieurs questions : comment décrire les trajectoires d’un nombre gigantesque ( 1023) de molécules ? Quelle sorte de dynamique les anime ? Je vous expliquerai à l’aide d’un modèle concret comment les probabilités et l’analyse des EDP permettent de justifier rigoureusement les flux de chaleur. Pour cela, on imaginera la matière comme un gigantesque billard moléculaire chaotique !
Les formes modulaires sont des séries entières aux propriétés arithmétiques remarquables. Dans cet exposé, je commencerai par présenter un exemple simple de congruence entre formes modulaires. Partant de là, nous verrons comment ces congruences illustrent un lien plus profond entre certaines représentations de groupes de Galois et certaines représentations du groupe GL2.
L’Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent, à la croisée entre mathématiques, algorithmique et statistique, qui connait un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données souvent représentées par des nuages de points dans des espaces euclidiens ou des espaces métriques plus généraux. L’émergence de la théorie de l’homologie persistante a fourni des outils mathématiques et algorithmiques nouveaux, robustes et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons la notion d’homologie persistante qui, grâce à des propriétés de stabilité remarquables, permet de mettre en lumière des caractéristiques topologiques pertinentes de données, connues sous le nom de diagrammes de persistance. Nous donnerons également quelques propriétés statistiques de ces diagrammes. Si le temps le permet, nous présenterons quelques exemples concrets d’utilisation des outils introduits.
Les modèles hamiltoniens sont omniprésents en physique mathématique, à commencer par la mécanique newtonienne. Ils admettent des solutions remarquables, états d’équilibre ou orbites périodiques, dont il est important de connaître la stabilité. Si l’étude de cette question remonte aux travaux de Lyapunov et de Poincaré pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires, elle est plus récente pour les équations aux dérivées partielles, que l’on peut voir comme des systèmes dynamiques en dimension infinie. Les premières bases posées par Boussinesq dans son analyse des ondes solitaires ont été rendues rigoureuses un siècle plus tard. Quant à la stabilité des ondes périodiques, elle a fait l’objet de nombreux travaux ces dernières années. Il s’agira d’en donner un aperçu, accompagné de questions ouvertes.