Colloquium en 2015
En général, établir la nulle-part différentiabilité d’une fonction n’est pas un problème trivial ; on doit même parfois faire face à des difficultés sérieuses. L’objectif de cet exposé est de décrire une stratégie générale, reposant sur l’analyse de Fourier, qui permet de montrer que la trajectoire typique d’un champ aléatoire est partout irrégulière (nulle-part différentiable entre autres). D’abord, on présente la notion de "temps local" (autrement dit "le temps de séjour d’une trajectoire en un point") qui a été introduite par Paul Lévy, dans le cadre de ses travaux pionniers sur le "mouvement brownien". Ensuite, on expose le principe fondamental de Simeon M. Berman permettant de ramener le problème de l’étude de l’irrégularité trajectorielle d’un champ, à celui de l’étude de la régularité du "temps local" associé. Puis, on rattache ce dernier problème à la propriété dite "non-déterminisme local", qui généralise, de façon souple, la propriété "d’indépendance des accroissements" d’un processus stochastique. Enfin, on donne les principales idées de la démonstration permettant d’établir le "non-déterminisme local" du "champ fractionnaire stable harmonisable". Signalons que ce champ est, dans le cadre des lois de probabilité à queue lourde, l’une des généralisations les plus classiques des "mouvements browniens et browniens fractionnaires". Signalons aussi que l’une des principales difficultés de cette démonstration est l’absence de l’inégalité de Hölder dans les espaces L^p, lorsque l’indice p est strictement plus petit que 1.
L’équation d’Euler est une équation fondamentale de la mécanique des fluides. Elle décrit l’évolution d’un fluide incompressible sans viscosité. Plus de 250 ans après l’article original d’Euler, elle laisse encore beaucoup de questions ouvertes. Nous décrirons quelques travaux fondamentaux concernant cette équation, et évoquerons quelques questions plus récentes.
Soit M un espace métrique. On peut associer à M un espace de Banach F(M), appelé l’espace libre sur M, qui jouit de bonnes propriétés fonctorielles : en effet, l’espace libre sur M contient une copie isométrique de M, et toute application Lipschitzienne entre espaces métriques se prolonge uniquement en une application linéaire continue entre leurs espaces libres. Ces espaces simples à définir, qui permettent donc de linéariser les applications Lipschitziennes, ont une structure assez délicate qui fait l’objet de travaux récents. Nous examinerons quelques-uns d’entre eux, qui concernent en particulier la propriété d’approximation, au sens de Grothendieck.