Colloquium en 2017
La fabrication de micro-sous-marins, à des fins médicales (par exemple pour effectuer de la chirurgie de façon non invasive ou du dépôt ciblé de médicament) réclame, outre une technologie extrêmement miniaturisée, une compréhension approfondie des mécanismes de natation dans l’eau à l’échelle microscopique. On trouve par ailleurs dans la nature des organismes microscopiques capables de nager dans l’eau (bactéries, paramécies) et plusieurs techniques semblent être adoptées : certains organismes utilisent des flagelles, des cils, ou bien se déforment, effectuant une nage plus proche de celle à laquelle nous sommes habitués. Pourtant, le régime physique auquel sont confrontés ces microorganismes est radicalement différent de celui que l’on rencontre à plus grande échelle. L’inertie y est complètement négligeable et l’on perçoit seulement la viscosité du fluide. A titre de comparaison, ce régime est le même qu’à notre échelle pour des coulements de fluides très visqueux, comme la peinture, le miel ou le silicone, voire à très grande échelle, ceux que l’on trouve au sein des glaciers. Le bon modèle dans ce genre de régime est donné par les équations de Stokes qui sont des équations aux dérivées partielles linéaires. L’exposé fera un tour d’horizon mathématique de ce problème, à l’interface entre plusieurs disciplines (biologie, physique et mathématiques). Son étude nécessite aussi l’interaction de plusieurs domaines mathématiques différents (analyse, géométrie, analyse numérique, théorie du contrôle).
Il est fort probable que e, log 2 et le nombre d’or soient tous trois normaux en base 10, c’est-à-dire que, pour tout entier k, tout bloc de k chiffres 0, 1, ... , 9 apparaisse dans leur développement décimal avec la fréquence 1/10^k. De tels résultats semblent cependant complètement hors de portée. Nous nous intéressons à des questions apparemment plus simples : nous prenons un point de vue de combinatoire des mots et, pour tout entier b, regardons le développement en base b d’un nombre réel comme un mot infini sur l’alphabet 0, 1, ... , b-1. Nous montrons que pour e, log(2017/2016) et tout nombre algébrique irrationnel (entre autres nombres classiques), ces mots infinis ne sont pas " trop simples ", dans un sens précis. Aucune connaissance particulière n’est requise pour suivre l’exposé.
En 1979 T. Jorgensen surprend les géomètres en construisant une variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle. Trente trois ans plus tard I. Agol, répondant positivement à une question de W. Thurston et en se basant sur des travaux de D. Wise, démontre que toute variété hyperbolique de dimension 3 possède en fait un revêtement fini qui fibre sur le cercle. Dans cet exposé je commencerai par construire un exemple explicite de variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle, en suivant une idée de Thurston. La construction est élémentaire et peut être rendue complètement visuelle. L’exposé sera ainsi constitué d’une succession de petits films, réalisés avec Jos Leys. En commentant ces films j’essaierai d’expliquer comment certaines des idées derrière cette construction d’une variété hyperbolique fibrée sont à la base des travaux d’Agol et Wise.
Je présenterai le problème de la stabilité non linéaire de l’espace de Minkowski en présence de champs massifs. J’ai récemment résolu ce problème, en collaboration avec Yue Ma (Xian), dans une série d’articles sur les équations d’Einstein de la relativité générale.
Je ferai un survol d’applications de la topologie à la neuroscience, de l’échelle des neurones à l’échelle des régions du cerveau. En particulier je décrirai en détail des collaborations avec le projet "Blue Brain" concernant l’analyse topologique de la structure et la fonction de microconnectomes digitalement reconstruits et concernant la classification topologique de types morphologiques de neurones, qui sert ensuite à la synthèse de modèles digitaux de neurones.
En partant de la notion standard de barycentre dans l’espace euclidien nous montrerons comment elle se généralise à d’autres espaces. De surprenantes propriétés de contraction apparaissent qui conduisent à des résultats de rigidité. L’exposé sera élémentaire.
Autrement dit, comment plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite ? Ceci est impossible en classe C2 car la courbure de Gauss fournit une obstruction. En revanche, un tel plongement existe en classe C1. Ce résultat contre-intuitif date des années 50, il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment, avec la technique de l’intégration convexe de Gromov, on peut construire un tel plongement. Nous en présenterons des images.