Colloquium en 2016
Soient une suite de groupes finis emboités les uns dans les autres : par exemple les groupes symétriques ou les groupes linéaires d’un corps fini k : . Une représentation générique de cette famille de groupes est la donnée d’une suite de représentations "cohérentes" par restriction de à . Le cas le plus simple est la représentation triviale de dimension 1 de chaque , puis la représentation standard de . Un autre exemple est donné de la manière suivante : on fixe un entier d ; et étant donné un espace vectoriel on considère le -espace vectoriel de base . Ceci fournit une représentation de et donne lieu à une représentation générique des groupes linéaires. Une question, paradoxalement issue de la topologie algébrique, est de savoir si les sous-représentations des sont finiments engendrées. La réponse positive, et d’une approche simple, est venue par des méthodes (proches de l’informatique) combinatoires par Sam et Snowden et une utilisation des bases de Gröbner. On donnera le contexte et les grandes lignes de la preuve, et des directions pour les applications.
La modélisation de systèmes de particules en interaction a suscité une somme considérable de travaux de recherche, et constitue encore aujourd’hui une source de problèmes ouverts ou imparfaitement compris. Récemment, physiciens et mathématiciens ont exploré l’idée que des modèles analogues pouvaient être susceptibles de représenter le mouvement de foules humaines. Le point de départ de la plupart de ces modèles est la prise en compte de deux phénomènes : chaque individu tend à réaliser un projet personnel (comme de sortir au plus vite d’un bâtiment dans le cas d’une évacuation d’urgence), tout en adaptant son comportement à la présence des individus alentour, de façon volontaire (tendances sociales), ou subie (contact physique avec les voisins). Nous proposons de présenter quelques aspects de cette démarche, en détaillant en particulier les modèles de type « flot de gradient », basés sur la considération que la foule peut être vue comme une entité unique qui cherche à minimiser son insatisfaction globale. Cette approche, développée dans un cadre microscopique, nécessite l’utilisation d’outils récents d’analyse convexe, et permet de reproduire des phénomènes non triviaux observés en pratique. Nous montrons comment l’extension de la démarche au cadre macroscopique (foule représentée par une densité diffuse) rentre assez naturellement dans le cadre des flot-gradient dans l’espace de Wasserstein (basée sur la distance issue du transport optimal).
Nous allons voir comment compter des configurations de graphes dans les variétés de dimension 3 pour obtenir des invariants de noeuds, entrelacs et variétés de dimension 3, en suivant Gauss (1833) et, plus récemment, Witten, Bar-Natan, Kontsevich et bien d’autres. Nous commencerons par étudier plusieurs définitions équivalentes du nombre d’enlacements, qui est le plus simple des invariants obtenus, avant de survoler des constructions plus générales.
Une correspondance entre deux ensembles finis X et Y est un sous-ensemble de X x Y. On peut définir aisément la composition de correspondances. Une représentation linéaire de tous les ensembles finis est la donnée de : - un espace vectoriel F(X) pour chaque ensemble fini X ; - une application linéaire F(U) de F(X) vers F(Y), pour chaque X, chaque Y et chaque correspondance U entre X et Y ; - la condition que ces applications se comportent bien pour la composition des correspondances. Une telle donnée, notée simplement F, est à la fois très élémentaire et très riche. A défaut de pouvoir les classer toutes, on peut décrire au moins toutes les représentations linéaires S qui sont simples, c’est-à-dire sans aucune sous-représentation autre que 0. L’exposé donnera une introduction au sujet, ainsi que quelques résultats sur les représentations simples S, en particulier la dimension de chaque espace vectoriel S(X). Il s’agit d’un travail commun avec Serge Bouc.
Dans cet exposé, nous présenterons diverses approches analytiques de la conjecture de Goldbach de 1742 qui affirme que tout entier pair supérieur à 4 est somme de deux nombres premiers. Une série de tentatives consiste notamment à donner une heuristique pour le nombre de représentations d’un entier pair N sous une telle forme, et nous en détaillerons plusieurs, qui sont d’ailleurs contradictoires ! Nous en profiterons pour présenter quelques outils modernes.
Beaucoup de suites définies comme des corrélations en théorie ergodique ou dans un contexte combinatoire sont des nilsuites, à l’addition près d’un petit terme d’erreur. Les méthodes utilisées dans les deux cadres sont très différentes, mais j’essaierai de montrer que les idées sous-jacentes sont proches. Il s’agit d’un travail commun avec Nikos Frantzikinakis.
En physique statistique, on modélise communément un système de N particules en interaction électrostatique par ce que l’on appelle un "gaz de Coulomb". Du point de vue probabiliste, il s’agit d’une mesure de Boltzmann-Gibbs associée à un hamiltonien dérivé du potentiel coulombien auquel on ajoute un potentiel extérieur confinant. On sait que, quand N tend vers l’infini, la mesure empirique du gaz de Coulomb converge vers une mesure d’équilibre bien connue. Dans ce travail avec Djalil Chafaï (Dauphine) et Adrien Hardy (Lille), nous nous intéressons aux propriétés de concentration du gaz de Coulomb autour de cette mesure d’équilibre en dimension supérieure ou égale à deux. La preuve repose en particulier sur de nouvelles inégalités (dont certaines de type transport) comparant différentes distances entre mesures de probabilités.