Séminaires SymPA en 2023

Un sous-groupe aléatoire invariant d’un groupe est une mesure sur l’ensemble des sous groupes de , invariante par conjugaison. Cette notion est très largement étudiée dans le cas où est localement compact. Nous étudions les dans le cas où est polonais non-localement compact. Après quelques résultats généraux sur les groupes polonais, je restreindrai mon attention à et ses sous groupes fermés. Dans ce contexte, nous obtenons une variété de résultats intéressants ; on retrouve par exemple le résultat le plus classique sur les de groupes localement compacts. Ensuite, je décrirai comment ces groupes se comportent différemment des groupes localement compacts, notamment en étudiant les points fixes des que nous considérons. Enfin, je mentionnerai quelques problèmes encore ouverts auxquels nous aimerions répondre. Travail en commun avec Matthieu Joseph.

A surface of section for the flow of a nowhere vanishing vector field on a closed -manifold is a compact surface in , with interior transverse to the vector field, and boundary tangent to the vector field. A surface of section is global when it intersects any orbit segment of length , for some . Surfaces of section are objects of great interest in dynamics, as they allow to reduce the study of a -dimensional flow to the study of a surface diffeomorphism. In this talk, I will present a few results on surfaces of section for geodesic flows of closed surfaces, culminating with the existence of global surfaces of section for all those geodesic flows satisfying the -generic Kupka-Smale condition (joint work with Gonzalo Contreras, Gerhard Knieper, and Benjamin Schulz). As an application, I will present a characterization of the Anosov condition, which implies the validity of the -structural stability conjecture for geodesic flows of closed surfaces (joint work with Gonzalo Contreras).

Cet exposé porte sur l’étude d’un polytope convexe aléatoire construit comme l’enveloppe convexe d’un nuage de points aléatoires dans l’espace euclidien de dimension . Nous débutons par un cas simple, l’enveloppe de points indépendants et uniformes dans la boule-unité. Nous généralisons ensuite ce modèle en prenant un nombre quelconque de points uniformes dans un corps convexe donné que nous supposons à bord régulier et nous nous intéressons au comportement asymptotique de ce polytope aléatoire lorsque la taille du nuage de points tend vers l’infini. Plus particulièrement, nous étudions la distance à la frontière et le volume d’une facette de cette enveloppe puis nous obtenons leur loi asymptotique pour une facette typique et la loi du maximum de chacune de ces fonctionnelles sur l’ensemble des facettes. Ces deux quantités rendent explicites les fluctuations de la frontière du polytope dans les sens radial et longitudinal, qui ressemblent à celles d’autres interfaces aléatoires en dimension (random cluster model sous-critique, marches au hasard orientées...). Le modèle appartient ainsi à une classe d’universalité dite . Ce travail est une collaboration avec J. E. Yukich (Lehigh University, États-Unis).

We will give an overview of root-finding methods and their interpretation as complex dynamical systems. The main focus will be the Weierstrass/Durand-Kerner method and its similarities and differences to the Newton and the Ehrlich-Aberth methods. In particular, we will show how to use methods from computer algebra to investigate (and/or establish) the existence of attracting periodic cycles, as well as diverging orbits, and present explicit examples of both phenomena for the Weierstrass method.

L'étude de la vitesse de mélange faible pour les flots de suspension des substitutions et les flots de translations a été initiée par Bufetov et Solomyak il y a une dizaine d'années et a abouti à des résultats de vitesse polynomiale pour les flots de translations génériques en genre quelconque. Dans cet exposé nous allons revoir ces résultats et présenter les résultats en collaboration avec A. Avila et P. Safaee sur la vitesse de mélange faible de transformations d'échanges d'intervalles.

A blender is a hyperbolic basic set with very special fractal properties: its unstable set intersects robustly any perturbation of a submanifold of dimension lower than its stable dimension. Introduced by Bonatti and Díaz in the 90s, blenders turned out to have many powerful applications to differentiable dynamics: construction of robustly transitive nonhyperbolic diffeomorphisms, density of stable ergodicity, Newhouse phenomenon, the existence of generic families displaying robustly infinitely many sinks, robust bifurcations in complex dynamics, fast growth of the number of periodic points... In this talk, I will survey how to construct blenders and use them to solve some of these questions. Then I will introduce a recent generalization from a measurable point of view, called almost blenders.

Nous montrons que la mesure d'entropie maximale de toute application de Hénon complexe est exponentiellement melangeante de tous ordres pour observables Hölder. Comme consequence, toute observable Hölder satisfait le Théorème Central Limite par rapport a cette mesure. Travail en commun avec Tien-Cuong Dinh.

Dans une série de travaux en collaboration avec Serge Cantat, nous avons étudié la dynamique des groupes d’automorphismes des surfaces complexes compactes (algébriques) sous divers aspects : ergodique, topologique, arithmétique, etc. Dans cet exposé je vais me concentrer sur la question de l’équidistribution des orbites pour une action aléatoire, dont la résolution repose sur une propriété d’uniforme expansion de la dynamique.

L'étude de la vitesse de mélange faible pour les flots de suspension des substitutions et les flots de translations a été initiée par Bufetov et Solomyak il y a une dizaine d'années et a abouti à des résultats de vitesse polynomiale pour les flots de translations génériques en genre quelconque. Dans cet exposé nous allons revoir ces résultats et présenter les résultats en collaboration avec A. Avila et P. Safaee sur la vitesse de mélange faible de transformations d'échanges d'intervalles.

Nous étudions des matrices à coefficients réels comme transformations sur le tore de dimension d. Nous nous intéressons aux tailles des ensembles de cibles rétrécissantes qui sont des ensembles de points dont les orbites sous une transformation matricielle fixe tombent infiniment souvent dans une famille de sous-ensembles rétrécissants. Nous démontrons une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles de cibles rétrécissantes. Nous obtenons aussi une formule de dimension Hausdorff de ces ensembles pour les transformations matricielles diagonales. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

Ammann bars are formed by segments (decorations) on the tiles of a tiling such that forming straight lines with them while tiling forces non-periodicity. Only a few cases are known, starting with Robert Ammann's observations on Penrose tiles, but there is no general explanation or construction. We propose a general method for cut and project tilings based on the notion of /subperiods/ and we illustrate it with an aperiodic set of 36 decorated prototiles corresponding to what we called Cyrenaic tilings. We also explore how to get aperiodic Wang tilesets from cut and project tilings with local rules. To illustrate this, we construct an aperiodic Wang tileset from a decomposition of golden octagonal tilings, for which we give a Markov partition and an action on a torus, yielding a symbolic representation for this wangshift.

Pour étudier la dynamique globale d'un champ de vecteurs holomorphe, il est souvent utile de ne considérer que la statique du feuilletage associé. Un feuilletage holomorphe sur une variété complexe M est la donnée d'une partition de M par des trajectoires de flots de champs de vecteurs locaux. En tant que surfaces de Riemann immergées, les feuilles sont uniformisées par le disque hyperbolique, le plan complexe ou la sphère de Riemann. Dans le cas où toutes les feuilles sont hyperboliques, M est munie de la métrique de Poincaré sur les feuilles. On retrouve alors une forme de dynamique canonique sur les feuilles en considérant un temps hyperbolique. Dans le cas général, cette métrique n'est a priori que semie-continue. Dinh, Nguyên et Sibony ont démontré en 2014 que si la variété M est compacte et le feuilletage non singulier, la métrique de Poincaré est hölderienne. Ce résultat ouvre la voie à démontrer que l'entropie du feuilletage est finie. Dans cet exposé, nous présenterons plus précisément leur résultat et la technique de leur preuve. Nous montrerons ensuite comment cette technique peut être utilisée pour démontrer des résultats analogues dans le cas de singularités non-dégénérées.

Les mosaïques de Poisson-Voronoï sont un modèle bien connu en géométrie aléatoire et couramment utilisé de nos jours pour modéliser des données spatiales diverses (en géophysique, en météorologie, en médecine, en télécommunication, ...). L'utilisation de processus ponctuels de Poisson homogènes permet d'obtenir un modèle aléatoire simple à étudier théoriquement, et à simuler avec précision, mais qui n'est pas adapté à tous les types de données, notamment à ceux contenant des données "isolées" dans l'espace. Dans cet exposé, nous présentons une variante simple du modèle traditionnel qui permet de remédier à ce problème : des mosaïques de Poisson-Voronoï dont un des points est anormalement éloigné des autres. Nous nous proposons alors d'étudier la géométrie de la mosaïque dans le voisinage de ce point. Cet exposé est basé sur une série de travaux communs avec Pierre Calka (Univ. de Rouen) et Nathanaël Enriquez (Univ. Orsay Paris-Sud).

Pour un entier fixé, on s'intéresse à la variation de la fonction somme-des-chiffres (en base ), notée s. Plus précisément, pour un entier r∊ℕ, on considère la fonction, définie sur ℕ, Δ(r)(n):=s(n+r)−s(n) et aux propriétés asymptotiques de celle-ci. Ces propriétés sont bien définies sur le groupe des entiers bb-adiques. On se proposera de construire un espace de probabilités à partir de ce groupe et du système dynamique de l'odomètre. Sur cet espace de probabilités, on considérera Δ(r) en tant que variable aléatoire. On énoncera alors quelques propriétés vérifiées par Δ(r). En particulier, on donnera un énoncé de type TCL avec vitesse de convergence généralisant un résultat de Emme et Hubert de 2019.

Les partitions de Kakutani-Rokhlin associées à un homéomorphisme minimal φ du Cantor sont des outils classiques et fondamentaux qui permettent de « simplifier » la dynamique de φ. Plus généralement, de telles partitions - lorsqu’elles existent - permettent de mieux comprendre la dynamique d’une action minimale, topologiquement libre d’un groupe moyennable sur le Cantor. Dans un travail récent, j’ai démontré que de telles partitions n’existaient néanmoins pas toujours. Dans cet exposé, je fournirai les premiers exemples de groupes moyennables qui admettent des actions minimales, topologiquement libres sur le Cantor sans partitions de Kakutani-Rokhlin.

Le rôle des temps de retour des systèmes dynamiques en tant qu'estimateurs d'entropie est bien connu, et de nombreux résultats existent sur loi des grands nombres, le théorème central limite et la fonction génératrice des cumulants (pression) qui y sont associés. Mais étonnamment, leurs grandes déviations demeuraient peu explorées. En fait, seulement des versions locales du principe des grandes déviations étaient connues, et uniquement pour des mesures d'équilibre de potentiels de Bowen sur les shifts. Après avoir présenté le cadre et la problématique, je parlerai dans cet exposé d'un travail récent avec Renaud Raquépas, dans lequel nous prouvons que, sous des hypothèses de "découplage" très faibles, les temps de retour sur les shifts satisfont le principe des grandes déviations complet. Comme nous le verrons avec des exemples simples, la fonction de taux obtenue n'est typiquement pas convexe.

Soit X un full-shift, i.e. l’ensemble des mots bi-infinis sur un alphabet donné. Munir X de la topologie produit en fait un espace de Cantor. Dans cet exposé, nous considérons l’ensemble de ses automorphismes Aut(X) (homéomorphismes équivariants par translation, ou de façon équivalente les automates cellulaires réversibles), qui forme un groupe pour la composition. La structure de Aut(X) peut se révéler complexe, et un certain nombre d’inconnues demeurent. Une direction de recherche consiste à étudier quels groupes peuvent être réalisés comme sous-groupes de Aut(X) (e.g. tous les groupes finis, les groupes abéliens f.g., ainsi que leurs produits, produits libres, sommes directes, etc… ou encore le lamplighter group), ou au contraire à étudier des restrictions permettant d’affirmer qu’un groupe ne peut pas être plongé dans Aut(X). Les plongements dans Aut(X) de groupes comme les Baumslag-Solitar BS(m,n) ou le groupe de Heisenberg demeurent des problèmes ouverts. Pour progresser sur cette question, cet exposé s’intéressera à l’existence d’éléments de distorsion dans Aut(X), i.e. des éléments du groupe dont la norme de mot (relativement à un ensemble fini de générateurs) des puissances croît sous-linéairement. On montrera que tout full-shift contient un élément de distorsion (cet élément étant, moralement, la machine SMART introduite par J. Cassaigne, N. Ollinger et R. Torres-Avilés). Une conséquence de cette preuve est l’existence d’un élément de distorsion dans le groupe de Thompson-Brin 2V.

La Conjecture de Syracuse stipule que toutes les orbites de l'application de Collatz, définie par T(n) = n / 2 si n est un entier pair et T(n) = 3n + 1 si n est un entier impair, contiennent nécessairement l'entier 1. Pour étudier cette conjecture, nous nous proposons de la regarder sous le prisme de la dynamique linéaire. En s'appuyant sur les travaux de Neklyudov nous nous placerons sur un espace pondéré de fonctions holomorphes, dit de Bergman, et nous associerons à cette application un opérateur continu dont nous étudierons les propriétés dynamiques, c'est-à-dire le comportement de ses itérés. Nous montrerons alors que cet opérateur est hypercyclique et chaotique, sous certaines hypothèses sur le poids de l'espace.

La géométrie asymptotique d'un groupe discret peut être étudiée à partir des espaces de fonctions harmoniques dans le groupe. C'est le cas du bord de Poisson, qui correspond aux fonctions harmoniques bornées. Dans cet exposé, nous introduirons ces concepts et expliquerons leurs liens avec les marches aléatoires dans les groupes. Nous discuterons en détail le cas des produits en couronne. Je parlerai de travail en commun avec Joshua Frisch.

Pour une action topologique , un isomorphisme, est un auto-homorphisme tel que pour toute matrice et tout ,

où désigne l'homéomorphisme propre de X donné par l'action de . La collection de tous les isomorphismes forme un groupe qui est le normalisateur de l'ensemble des homéomorphismes. Dans le cas unidimensionnel, les isomorphismes correspondent à la notion de flip-conjugaison des systèmes dynamiques. De ce fait, sont également appelés symétries d'inversion. Ces isomorphismes ne sont pas bien compris, même pour les systèmes classiques. Dans cet exposé, nous présenterons une description de ces isomorphes pour les odomètres et plus précisément pour les odomètres à base -constante, qui est étonnamment non trivial. Nous déduisons une description complète des isomorphsimes de certains sous-shifts substitutif minimaux. Grâce à cela, nous donnons le premier exemple connu d'un sous-shift minimal d'entropie nulle avec le plus grand groupe normalisateur possible. Ce travail est réalisé en collaboration avec Christopher Cabezas (Univ. de Liège).