Séminaires SymPA en 2022

Les flots sur les surfaces sont des systèmes dynamiques assez naturels à étudier. Jusqu’à assez récemment, seuls les flots sur les tores étaient géométriquement bien compris. Depuis la fin des années 1990 s’est développée une théorie pour les surfaces de genre arbitraire. Je tâcherai de placer cette problématique dans son contexte, de rendre compte de ces développements récents.

Il est bien connu que pour des difféomorphismes de classe d’une variété compacte, l’entropie et les exposants de Lyapounoff sont des fonctions supérieurement semicontinues de la mesure. J’expliquerai comment on peut comparer les défauts de semicontinuité inférieure de ces deux fonctions dans le cas des surfaces. En particulier, nous verrons que pour toute suite de mesures ergodiques dont l’entropie converge vers l’entropie de la mesure limite dans la topologie faible, les exposants doivent également ainsi que des applications à la géométrie des mesures invariantes.

Pour un difféomorphisme de surface , nous décrivons le comportement statistique de Lebesgue presque tout point satisfaisant . Plus précisément, un tel point est dans le bassin d’une mesure SRB de même exposant. Ceci répond en particulier à une conjecture de M. Viana dans le cadre des difféomorphismes de surface.

In holomorphic dynamics the class of Hénon maps is the most important class of polynomial automorphisms in . For a Hénon map in , it is known that the sub-level sets of the associated Green’s function are Short ’s. A Short is a proper domain of that can be expressed as an increasing union of unit balls such that the Kobayashi metric vanishes identically therein, but allows a bounded above pluri-subharmonic function. In this talk, we shall explore the holomorphic automorphism groups of the sub-level sets of Green’s functions. We shall see that although these sets admit exhaustions by biholomorphic images of the unit ball, the automorphism groups cannot be too large. On the other hand, examples will be provided to show that these automorphism groups are non-trivial in general. This is a joint work with Sayani Bera and Kaushal Verma.

In this talk, I will discuss recurrence problems for actions of the multiplicative semigroup of integers. Answers to these problems have consequences in number theory and combinatorics, such as understanding whether Pythagorean trios are partition regular. I will present in general terms the questions, strategies from dynamics to address them and mention some recent results we obtained. This is joint work with Anh Le, Joel Moreira, and Wenbo Sun.

Je présenterai les idées principales d’une nouvelle preuve du résultat suivant, dû à Giordano, Putnam et Skau : si deux homéomorphismes minimaux d’un espace de Cantor préservent les mêmes mesures de probabilités boréliennes, alors les relations d’équivalence induites par leurs actions sont isomorphes (il existe un homéomorphisme qui envoie la partition en orbites induite par un des deux homéomorphismes sur celle qui est induite par l’autre). J’expliquerai pourquoi on peut penser à ce résultat comme à la possibilité de reconstruire un certain groupe (le "groupe plein" associé) à partir de son adhérence dans le groupe des homéomorphismes de l’espace ambiant, et pourquoi une variation sur un théorème de Krieger (1980) est utile pour cela.

Dans cet exposé on étudie les trajectoires d’un flot pour un gaz de Lorentz -périodique en horizon fini, un système dynamique hyperbolique de mesure infinie issu d’un modèle introduit par H. Lorentz en 1905. Un tel système peut s’identifier à un flot spécial au dessus d’une -extension d’un billard de Sinai pour laquelle D. Szasz et T. Varju ont développé un théorème limite local avec décorrélation. L’application de ce théorème associé à une "bonne" approximation des auto-intersections du flot permet de réduire l’étude de la trajectoire à la combinaison d’une marche aléatoire à une dimension sur la -extension et au choix aléatoire d’une phase dans un billard de Sinai au niveau local.

Hamiltonian systems constitute an important class of dynamical systems. Those hamiltonian systems which are integrable in the sense of Arnold-Liouville possess an important property : their solutions can be witten explicitly and the phase space is foliated by invariant tori carrying global quasi-periodic orbits. This kind of systems are exceptional but in applications it is not rare to see systems which are perturbations of integrable ones. A natural question is then to determine whether the stability of solutions is preserved for this latter type of systems. Kolmogorov-Arnold-Moser theory assures that, under generic hypotheses, a Cantor set of positive Lebesgue measure of invariant tori carrying quasi-periodic motions persists under a sufficiently small perturbation. On the other hand, instabilities may appear in the complementary of this set (Arnold diffusion). Moreover, a Theorem due to Nekhoroshev (1971-1977) shows that the solutions of a sufficiently regular integrable system verifying a transversality property known as "steepness" are stable over a long time under the effect of a suitably small perturbation. Nekhoroshev also showed (1973) that the steepness property is generic, both in measure and topologic sense, in the space of jets (Taylor polynomials) of sufficiently smooth functions. However, the proof of this result kept being poorly understood up to now and, surprisingly, the paper in which it is contained is hardly known, whereas the rest of the theory has been widely studied over the decades. Moreover, the definition of steepness is not constructive and no general rule to establish whether a given function is steep or not existed up to now, thus entailing a major problem in applications. In this seminar, I will start by explaining the main ideas behind Nekhoroshev’s proof of the genericity of steepness by making use of a more modern language. Indeed, the proof strongly relies on arguments complex analysis and real algebraic geometry : the latter was much less developed than nowadays at the time that Nekhoroshev was writing, so that many passages appear to be quite obscure in the original article. Moreover, an important result of real algebraic geometry was buried in the proof and seems to have been proved again by Roytwarf and Yomdin in 1997 by making use of different arguments (and generalized in many directions by subsequent works of many authors). Finally, I will show how a deep understanding of the genericity of steepness allows to determine explicit algebraic criteria in the space of jets which make it possible to establish whether a given function is steep or not. Reference : N. N. Nekhoroshev, "Stable lower estimates for smooth mappings and for gradients of smooth function", Mathematics of the USSR-Sbornik, 1973, vol. 90 (132), no. 3, pp. 432-478.

La convergence locale de graphes, introduite par Itaï Benjamini et Oded Schramm en 2001, décrit la notion qu’un graphe fini, vu d’un sommet spécifique, ressemble à un certains graphe limite. Plus précisément, ces objets limites sont des graphes aléatoires enracinés (infinis) qui décrivent la géométrie interne de grands graphes (finis) vus d’un sommet choisi uniformément au hasard. Dans cet exposé, je définirai une notion de limite locale pour des graphes dynamiques, c’est-à-dire des graphes dans lesquels on autorise les arêtes à apparaitre et disparaitre au cours du temps. Puis nous nous intéresserons particulièrement au cas du graphe aléatoire de Erdös-Rényi dynamique (ERD), c’est-à-dire de la percolation dynamique sur le graphe complet à sommets. Nous verrons dans ce cas que la limite locale est un arbre évolutif qui peut "croître" et se "segmenter" au cours du temps. Enfin je présenterai une extension de ce résultat à une plus large classe de graphes aléatoires dynamiques : les graphes aléatoires inhomogènes dynamiques, dont le modèle ERD est un cas particulier. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Emmanuel Jacob (UMPA, ÉNS de Lyon).

La théorie de la dynamique adaptative est basée sur des hypothèses biologiques, à savoir des hypothèses de mutations rares et petites et de grandes populations conduisant à la justification mathématiques d’une EDO approchant la dynamique d’évolution de la population : l’Équation Canonique de la Dynamique Adaptative (CEAD). Malgré son succès, les approches proposées sont critiquées par les biologistes puisqu’elles reposent sur une hypothèse non-réaliste de mutations rares. L’objectif est de corriger cette controverse biologique en proposant des modèles probabilistes et approches mathématiques plus réalistes. Nous nous concentrerons mathématiquement, sous une double asymptotique simultanée de grande population et de petites mutations, sur les conséquences d’une nouvelle hypothèse biologique de mutations fréquentes sur l’équation canonique. Le but est de déterminer, à partir d’un modèle stochastique individu-centré, le comportement en temps long du trait phénotypique moyen de la population. La question que nous nous posons se reformule en une analyse asymptotique lent-rapide sur trois échelles de temps éco-évolutives où l’on a identifié la composante rapide comme une diffusion à valeurs mesures qui s’interprète comme un processus de Fleming-Viot recentré. Nous avons consacré une étude probabiliste spécifique visant à démontrer l’existence, l’unicité et des propriétés d’ergodicité de ce processus stochastique. Je présenterai les grandes articulations qui sous-tendent cette étude.

L’induction consiste à considérer la dynamique aux instants de retours dans un sous-ensemble du système dynamique initial. L’utilisation de l’induction est très répandue dans les systèmes dynamiques. Nous nous intéressons ici à l’invariance par induction de moments dans un cadre général (mesure finie ou infinie). Il est bien connu que l’intégrale (moment d’ordre ) est invariante par induction. Des théorèmes centraux limites établis conjointement avec et sans induction nous ont conduit à nous poser la question de l’invariance par induction de la variance asymptotique (faisant intervenir des moments d’ordre ). Nous donnerons l’heuristique qui donne le sentiment que ce résultat est évident, nous verrons que cette même heuristique conduit à un résultat faux pour l’analogue d’ordre . Nous donnerons une preuve rigoureuse de l’invariance par induction de la variance asymptotique et étudierons l’invariance par induction de l’analogue d’ordre . Les résultats présentés dans cet exposé sont le fruit d’une collaboration avec Damien Thomine (Paris-Saclay).

Sébastien Martineau (Sorbonne Université), "Percolation arithmétique : étude des propriétés statistiques des points visibles dans un réseau". Emmanuel Roy (Université Sorbonne Paris Nord), "Norme de Poisson-Orlicz et théorie ergodique en mesure infinie". Vincent Delecroix (Université de Bordeaux), TBA. Yohan Hosten (Université Picardie J. Verne), "Représentation de Zeckendorf, odomètre et variation de la somme des chiffres".

I will present recent joint work with Neil Mañibo and Dan Rust on extending the theory of symbolic substitutions to infinite alphabets. To retain some of the flavour of the finite setting, we choose to work with continuous substitutions on alphabets equipped with a compact Hausdorff topology. The most fundamental questions include whether the substitution admits a continuous natural length function and if the resulting two-sided shift space is uniquely ergodic. Unlike in the finite alphabet setting, compact substitutions need not admit a non-zero continuous natural length function, although whether they must for primitive substitutions remains open. It is known that unique ergodicity does not follow from primitivity, by work of Durand, Ormes and Petite. We find a type of coincidence criterion which implies unique ergodicity and seems to apply very generally to primitive substitutions on alphabets containing isolated points. Many results rely on the theory of positive operators on Banach spaces, where the traditional substitution matrix is replaced with the substitution operator on continuous functions over the alphabet.

In this talk, we discuss the geometric "non-uniform expansion" approach of Alves, Bonatti, and Viana for constructing SRB measures for partially hyperbolic systems. We show that the positive Lyapunov exponents with a uniform -gap property imply non-uniformly expanding for partially hyperbolic systems, which provides an affirmative answer to a question posed by Alves, Bonatti, and Viana (Invent. Math. 140(2) : 351-398, 2000). As a result, we show that there exists a physical SRB measure for a diffeomorphism map that admits a dominated splitting under assumptions that has non-zero Lyapunov exponents for Lebesgue almost every point and the Lyapunov spectrum has a uniform -gap property.

Given a topological dynamical system (a group acting on a compact space ) a measure on is said to be characteristic if it is invariant to the automorphism group of the system. After an introduction to characteristic measures we will proceed to the main topic of the talk: the construction of a minimal topological dynamical system without a characteristic measure. This is joint work with Brandon Seward and Andy Zucker.

On appelle sous-shift (ou sous-décalage) un ensemble de pavages ou de coloriages du plan respectant certaines contraintes locales. Historiquement introduits comme discrétisations de systèmes dynamiques continus, on se propose ici d’en étudier un invariant topologique, introduit par W. Geller et J. Propp, le Groupe Fondamental Projectif. A l’instar de la définition habituelle du groupe fondamental, un invariant d’espaces topologiques, il s’agira ici de comprendre comment l’on peut définir une notion de chemins dans les pavages, reliant les configurations entre elles, et d’étudier comment les déformations de ces chemins permettent d’associer à chaque pavage un unique objet algébrique : son groupe fondamental projectif. En particulier, on montrera dans cet exposé comment réaliser une large classe de groupes comme groupes fondamentaux de certains pavages.

Soit un polynôme quadratique de . Selon, la conjecture Poonen, tout cycle rationnel de ne peut avoir une longueur supérieure ou égale à . Nous allons parler ce cette conjecture qui est loin d’être résolue et nous rappelerons les résultats obtenus jusqu’à aujourd’hui. Nous traiterons le problème sous deux angles : réel et arithmétique.

Soutenance de thèse de Christopher.

Dans cet exposé, après avoir brièvement introduit théorème d’ergodicité de Howe-Moore et donné quelques exemples, je décrirai un résultat sur les pavages mesurables, invariants par un réseau dans un espace homogène de groupe de Lie simple. Si le temps le permet, je décrirai une application, qui est la motivation originale, à un problème de géométrie complexe, sur l’existence de certaines hypersurfaces dans "presque toute" surface K3.

Les subshifts de Toeplitz sont une famille de subshifts dans , ou est un alphabet fini et G est un groupe résiduellement fini dénombrable. Dans cet exposé, nous donnons quelques résultats concernant l’espace des mesures de probabilité invariantes des subshifts de Toeplitz, un particulier, on parlera du lien entre ces résultat et le problème de l’équivalence orbital topologique entre systèmes dynamiques sur le Cantor.

On considère l’espace des configurations sur un réseau -dimensionnel et sur un alphabet fini. Une mesure de Gibbs est une mesure spatialement invariante sur l’espace des configurations qui est associée à un potentiel et une température. Un potentiel localement fini est une fonction ne dépendant que d’un nombre fini d’indices. On s’intéresse au problème de convergence de ces mesures de Gibbs lorsque la température tend vers zéro. Il se peut que la limite n’existe pas parce qu'il existe plusieurs points d’accumulation. En dimension et pour un potentiel localement fini, la limite existe toujours. On montre que ce n’est plus vrai en dimension toujours pour un potentiel localement fini. Ce résultat est un travail en commun avec S. Barbieri, R. Bissacot, et Gregorio Dalle Vedove.

Two minimal topological dynamical systems are orbit equivalent if there is a homeomorphism between the phase spaces sending orbits to orbits. They are strongly orbit equivalent if they are orbit equivalent and the cocycle function is discontinuous at most in one point. It is natural to ask how the (strong) orbit equivalence class is related to other dynamical properties of a given system, in particular, which properties are preserved under (strong) orbit equivalence. In this talk I will discuss about strong orbit equivalence between minimal subshifts and its relation with the complexity function, defined as the function which counts the number of words of a given length appearing in the elements of the subshift. I will present some results showing that within any strong orbit equivalence class there exists minimal subshifts with arbitrarily low superlinear complexity as well as minimal subshifts with arbitrarily high subexponential complexity. This is joint work with Sebastián Donoso.

Dans un travail récent écrit en collaboration avec Ezequiel Maderna, nous montrons que dans le problème newtonien des corps, si on se donne une configuration initiale , une configuration limite a et une valeur d’énergie strictement positif , il existe toujours une solution du problème des corps, d’énergie telle que , et converge vers (à une constante multiplicative près) quand t tend vers l’infini. On dira alors que est un mouvement hyperbolique de configuration limite . Cette solution hyperbolique s’obtient comme une courbe calibrante d’une solution de viscosité de l’équation d’Hamilton-Jacobi, que nous appelons fonction de Busemann. Dans cet exposé nous montrons qu’une fois qu’on fixe la configuration limite , la fonction de Busemann associée est unique (à une constante additive près). Nous verrons aussi quelques conséquences de ce résultat. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ezequiel Maderna.

We look at constructions of aperiodic SFTs on generalized Baumslag-Solitar (GBS) groups, a well-studied class of groups that includes Baumslag-Solitar groups and Torus Knot groups. Our proof is based on a structural theorem by Whyte and two constructions of strongly aperiodic SFTs on and of our own. These constructions rely on a path-folding technique that lifts an SFT on inside an SFT on and an SFT on the hyperbolic plane inside an SFT on . In the former case, the path folding technique also preserves minimality. Joint work with Nathalie Aubrun and Sacha Huriot.

La compréhension de la complexité dynamique d’un fluide idéal a motivé de nombreux travaux. Selon la vision d’Arnold, les flots d’Euler stationnaires devraient présenter des dynamiques aussi complexes que celles observées en mécanique céleste. Avec Pierre Berger et Daniel Peralta-Salas, nous validons la vision d’Arnold en démontrant l’existence d’un ensemble localement dense de solutions stationnaires de l’équation d’Euler dans formé par des champs de vecteurs universels. Nous introduisons pour cela de nouvelles méthodes perturbatives au sein des champs de vecteurs Beltrami permettant d’importer des outils de la théorie des bifurcations.

Dans la théorie des produits de matrices aléatoires, plusieurs résultats profonds peuvent être obtenus via des théorèmes de trou spectral : résultats d’équidistribution, théorèmes limites fins, décroissance des coefficients de Fourier de mesures stationnaires, etc. Cependant, les théorèmes de trou spectral sont souvent difficiles à obtenir. Dans cet exposé, je montrerai comment les méthodes d’analyse complexe et les analogies avec la dynamique holomorphe nous offrent de bons outils et donnent des résultats nouveaux et souvent optimaux pour les matrices aléatoires . Il s’agit d’un travail en commun avec T.-C. Dinh et H. Wu.

Pour les familles de fractions rationnelles en une variable complexe, les travaux fondateurs de Mañé-Sad-Sullivan et Lyubich (80’s) établissent une liste de caractérisations équivalentes du lieu de bifurcation. On verra comment ces résultats peuvent s’étendre au cas de familles de fonctions méromorphes (transcendantes) de type fini, malgré la présence d’un nouveau mécanisme générant des bifurcations. Travail en commun avec A.M. Benini et N. Fagella.