Séminaires SymPA en 2020

Ce séminaire sera l’occasion de tester les possibilités techniques pour présenter un séminaire avec des contraintes fortes de limitation de présence. Il aura lieu dans la salle séminaire et retransmis via RENATER. Si le temps me le permet, je présenterai également des résultats récents obtenus avec F. Durand, S. Donoso et A. Maass sur une grande classe de dynamiques minimales sur l’ensemble de Cantor : les systèmes de rang fini. Cette classe regroupe les odomètres, les codages d’échange d’intervalle, les systèmes subsititutifs,... Nous donnons une caractérisation de ces systèmes qui nous permet d’élargir la famille de ces exemples et la relie aux systèmes . Nous en déduisons également des propriétés combinatoires notables. La présentation devrait être auto-contenue mais, faute de temps, pas excellemment préparée.

Le but de la théorie classique des systèmes dynamiques est de décrire le comportement des orbites "typiques" pour des systèmes "typiques". Considérons une variété compacte et lisse et prenons notre dynamique dedans l’espace des difféomorphismes . Pour obtenir une description au sens statistique d’une orbite "typique", la notion de mesure physique devient très importante. On dit qu’une mesure de probabilité invariante pour un difféomorphisme est une mesure physique s’il existe un ensemble de points dans , avec volume positif, appelé le bassin statistique de , telle que la suite converge vers . C’est une question encore ouverte et centrale de savoir si pour un "typique" dans , il existe des mesures physiques et si l’union des bassin des ces mesures est un ensemble de volume total dans . Un gros succès obtenu dans cette direction se trouve dans la théorie des systèmes hyperboliques, où l’existence, la finitude et de riches propriétés géométriques des mesures physiques sont assurés. Vu que les systèmes hyperboliques sont loin d’être "typique" dans , on peut poser une question plus simple, mais contenue dedans ce gros projet : est-ce qu’une dynamique typique peut avoir une mesure physique pathologique, comme par exemple un Dirac porté par un point fixe non-attractif ? Avec Pierre-Antoine Guihéneuf (IMJ-Université Paris Sorbonne) et Pablo Guarino (UFF-Niterói, Brésil) on regarde cette question en topologie . On montre que pour en ensemble résiduel de , s’il existe un point fixe telle que est une mesure physique et si le bassin statistique de est aussi dense dans un ouvert de , alors doit être un point topologiquement attractif. Dans cet exposé, je parlerai de ce résultat et aussi de divers exemples de difféomorphismes ayant une mesure physique de Dirac qui ont motivé notre étude. En particulier, je raconterai un nouvel exemple que nous avons construit, pour lequel le bassin de la mesure physique de Dirac est un ensemble de volume positif mais nulle parte dense.

On montre la finitude des points périodiques pour une application de Hénon définie sur un corps de fonctions. Je définirai tous les objets et ferai un état de l’art sur la propriété de Northcott sur les corps globaux (en collaboration avec Thomas Gauthier).

Symbolic substitutions are a way of forming non-periodic sequences which still exhibit a remarkable regularity, characterised by a hierarchical structure on all length-scales. In a sense, they are globally very well-ordered. The question then is how do their dynamical properties change as we introduce local disorder? I will first review symbolic substitutions, their dynamical systems and their Rauzy fractals. I will then introduce ’random substitutions’. They allow us to construct hierarchical sequences which are still globally well-ordered, but are locally disordered on all length-scales, characterised by positive entropy. We will see that Pisot random substitutions still have Rauzy fractals that can tell us something about their dynamical systems but with a much richer metric structure. I’ll also report on some recent results concerning the mixing properties and measures of maximal entropy for random substitution subshifts, and I will present many open problems along the way.

Let be a convex planar domain; is it possible to deform in such a way that the length of every periodic orbit of the billiard system inside is preserved? Isometric deformations trivially satisfy this prescription; we say that is dynamically spectrally rigid if no other deformation satisfies this prescription. It has been conjectured by Sarnak in the early 1990’s that every (convex) domain with smooth boundary should be spectrally rigid. In this talk we will see the proof that any sufficiently (finitely) smooth -symmetric strictly convex domain sufficiently close to a circle is dynamically spectrally rigid (within -symmetric domains). Our strategy associates to each domain a corresponding Linearized Isospectral Operator. Studying functional properties (injectivity) of this operator gives information about spectral rigidity of the associated domain. We show that this property holds for every domain sufficiently close to the circle. The construction is explicit and generalizations are expected in further work in progress. Moreover, thanks to the concrete nature of the functional-analytic problem, numerical explorations and computer-assisted approaches have been successfully investigated.

Une suite -automatique est une suite qui peut être calculée par un automate fini de la manière suivante : le -ième terme de la suite est fonction de l’état atteint par l’automate après lecture de la représentation de l’entier en base . Ces suites peuvent également être obtenues à partir du point fixe d’une substitution de longueur . Je montrerai qu’il existe des familles de suites automatiques qui, malgré leur description très simple, ont les mêmes corrélations d’ordre qu’une suite i.i.d. de symboles choisis uniformément au hasard. Plus précisément, pour tout entier , et pour tout couple de symboles, la proportion asymptotique d’entiers pour lesquels est égale à , où est le nombre de symboles. La preuve repose sur des ingrédients simples et se généralise à des suites multi-dimensionnelles. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Thomas Stoll et Pierre-Adrien Tahay.

Dans cet exposé j’expliquerai des résultats et des techniques de renormalisation pour la famille de Hénon. Les conséquences de ces résultats enrichissent le zoo des phénomènes apparaissant dans les familles d’allure de Hénon, avec pour locus des laminations de codimensions finies. Les techniques seront basées sur de la dynamique réelle et complexe sur des algèbres de Banach.

Non-statistical dynamics are those dynamical systems for which a large subset of points in the phase space (positive measure subset) have non-statistical behavior, meaning that the orbit of these points does not have asymptotic distribution in the phase space. We introduce two new classes of these kinds of dynamics: non-statistical rational maps on the Reimann sphere and non-statistical Anosov-Katok maps of the annulus. We then give a general formalization of the notion of "statistical (in)stability" and show how it is connected to the existence of non-statistical dynamics in a general family of maps.