Séminaires SymPA en 2021

Lorsqu’on étudie les propriétés ergodiques d’un système, on peut s’intéresser à la dichotomie convergence/divergence des moyennes de Birkhoff pour un ensemble de points de mesure de Lebesgue positive. Dans cet exposé, nous aborderons cette question dans le cas d’un flot linéaire reparamétré sur le tore de dimension , avec deux points d’arrêt. En particulier, nous verrons que le comportement dépend fortement du type diophantien de la pente des lignes de flot. Travail en commun avec Martin Andersson.

Dans cet exposé on s’intéressera aux mesures ergodiques de sous shifts substitutifs et S-adiques. Nous expliquerons les méthodes introduites dans les articles de Bédaride Hilion Lustig afin de décrire ces mesures et leurs nombres.

Récemment Athreya, Lalley, Sapir et Wroten se sont intéressés à l’enchevêtrement des géodésiques d’une surface à courbure négative. Il s’agit de comprendre à quoi ressemble une géodésique de longueur , vue localement dans un voisinage de taille d’un point quelconque de la surface. Dans un travail en commun avec Françoise Pène on retrouve leur résultat principal en appliquant nos travaux sur les processus spatio-temporel de visites aux petits ensembles.

Dans cet exposé j’introduirai d’abord les groupes de Baumslag-Solitar , qui sont les groupes à deux générateurs a et b reliés par la relation . J’expliquerai notamment pourquoi, selon le choix des paramètres entiers et , le groupe peut avoir des propriétés très différentes. J’introduirai ensuite les sous-décalages sur ces groupes : ce sont des ensemble de coloriages du groupe qui respectent des contraintes locales, données par une liste de motifs interdits. On se concentrera sur les sous-décalages de type fini (SFT pour subshifts of finite type), qui sont ceux qui peuvent être décrits par un nombre fini de motifs interdits, et que l’on peut également représenter à l’aide de tuiles de Wang. Je présenterai enfin un survol des résultats en dynamique symbolique sur ces groupes : indécidabilité du problème du domino (peut-on décider si un SFT est vide ou non ?), existence de sous-décalages apériodiques notamment. Exposé basé sur des travaux avec Jarkko Kari et avec Michael Schraudner.

On construira des laminations transversalement Cantor sur des espaces compacts définies par des actions libres et minimales de groupes résolubles ayant les deux propriétés suivantes : les relations d’équivalence orbitales ne sont pas affables et les orbites n’ont pas le type de quasi-isométrie d’un groupe de type fini. C’est un travail en collaboration avec Álvaro Lozano Rojo et Matilde Martínez.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment l’utilisation de techniques d’analyse fonctionnelle peut permettre d’analyser la croissance asymptotique des degrés des itérés d’une application rationnelle de l’espace projectif de dimension . Les éléments présentés seront issus d’un travail en commun avec Charles Favre.

Finite topological rank systems is a class of minimal subshifts that are a generalization of substitutive subshifts and that includes many of the classical minimal systems of zero entropy (e.g. interval exchanges, linearly recurrent subshifts and some Toeplitz sequences). In this talk I am going to present recent results concerning automorphisms and factors of systems of finite topological rank and discuss some of the related open problems.

Renormalisation is a main focus of the theory of one-dimensional complex dynamics. It is connected to the central conjectures on the density of hyperbolicity and the local connectivity of the Mandelbrot set. For quadratic polynomials, there are two different types of renormalisations — primitive and satellite types. The primitive renormalisation has been successfully studied over the past few decades; the corresponding maps exhibit tame dynamical behaviour. The satellite type has a very different nature and remained mostly mysterious until recently. In this talk, we discuss the wide range of possibilities for the dynamics in presence of infinitely many satellite renormalisation structures.

Rank one systems are a class of dynamical systems arising in the late 60’s and form a rich class of examples and counter-examples in ergodic theory. Notably, the Chacon map was the first known example of a weakly mixing transformation which is not mixing. However, a complete classification of their dynamical properties still remains open. From the topological dynamics viewpoint, we consider symbolic models of rank one systems. In this talk, we will discuss dynamical properties of symbolic rank one systems such as mixing, the existence of continuous and measurable eigenvalues, topological factors and the topological rank.

La dimension moyenne métrique a été introduite et étudiée par Lindenstrauss et Weiss (2000) comme un analogue dynamique de la dimension de Minkowski. Dans cet exposé, je discuterai plusieurs principes variationnels pour la dimension moyenne métrique en termes d’entropie locale.

We show that a topologically mixing Anosov flow on a dimensional compact manifold is exponential mixing with respect to any equilibrium measure with Holder potential. This is a joint work with Masato Tsujii.

Une structure projective sur une surface fermée est une structure géométrique modelée sur la sphère de Riemann, dont les changements de cartes sont des transformations de Möbius. On s’intéresse aux structures projectives branchées, c’est-à-dire avec des singularités coniques d’angles multiples de . Le but de cet exposé est de présenter une caractérisation des représentations d’un groupe de surface fermée dans qui sont l’holonomie d’une structure projective branchée dont la combinatoire de branchement est fixée.

Filamentous fungi form a very large family of species that play an important role in different ecosystems. In this talk, we will present a stochastic bi-type growth-fragmentation model for the expansion of the network of filaments of a filamentous fungus. Motivated by the identification of simple descriptors that characterize the growth of the network, we will study the longtime behaviour of the corresponding mean measure (or first moment semigroup). In addition, we will obtain a law of large numbers that relates the long term behaviour of the stochastic process to the limiting distribution of the mean measure. In the particular model we consider, which depends on only parameters, all the quantities needed to describe this asymptotic behaviour are explicit, which paves the way for parameter inference based on data collected in lab experiments. The talk is based on a joint work with V. Bansaye (CMAP) and A. Véber (MAP5) and it is part of the NEMATIC project on "Growing and branching networks: Analysis, modelling and simulation of multiscale spatial exploration, spreading and morphogenesis under constraints". In particular, when it comes to the understanding of the mechanisms of growth of the mycelial network and to modelling choices, we profited from the interactions with F. Chapeland-Leclerc, G. Ruprich-Robert et E. Herbert (LIED, Univ. de Paris).

Dans cet exposé, je montrerai que les applications puissances, les applications de Tchebychev et les exemples de Lattès sont les seules fractions rationnelles quadratiques dont tous les multiplicateurs sont dans l’anneau des entiers d’un corps quadratique imaginaire donné. En particulier, ceci donne une réponse positive à une question de Milnor dans le cas des fractions rationnelles quadratiques.

D’après la théorie classique, une perturbation suffisamment petite d’un système hamiltonien intégrable non-dégénéré admet une collection de tores invariants, dont la dynamique restreinte est conjuguée à celle d’une rotation par un vecteur diophantien. Dans cet exposé nous discuterons le problème inverse suivant : dans quelle mesure les systèmes perturbés sont déterminés par leurs collections de tores invariants associés ? Nous prouverons que cette collection caractérise complètement le hamiltonien perturbé et nous montrerons certaines des implications dynamiques sur les systèmes dont ses collections de tores invariants partagent certaines caractéristiques communes.

Constant-shape substitutions are a multidimensional generalization of constant-length substitutions which have been extensively studied in the past years (criteria of ergodicity, entropy, mixing and spectral properties). In this talk we will present some recent results about the normalizer group of substitutional dynamical systems generated by constant-shape substitutions, which is a group extension of the automorphism group of a topological dynamical system, and some other related results such as rigidity properties of these homomorphisms.

Jasmin Raissy : "Une approche géométrique aux courbes paraboliques" (résumé : la dynamique d’un germe de fonction holomorphe tangente à l’identité au voisinage de l’origine est bien comprise en dimension , grâce au Théorème de la fleur de Leau-Fatou. La situation en dimension supérieure est plus délicate. Je présenterai les généralisations connues du Théorème de la fleur de Leau-Fatou aux germes holomorphes tangents à l’identité en plusieurs variables complexes, où les pétales sont remplacés par des courbes paraboliques. En particulier, je présenterai une preuve plus géométrique des résultats fondamentaux obtenus par Écalle et Hakim sur l’existence des courbes paraboliques. Cette approche permet de donner des développements asymptotiques pour la paramétrisation des courbes paraboliques dans un voisinage donné du point fixe. Ce travail est en commun avec Xavier Buff). Laurent Niederman : "Trajectoires co-orbitantes quasi-périodiques dans le problème des trois corps planétaires" (résumé : les trajectoires des satellites Janus et Epimetheus autour de Saturne sont parmi les plus curieuses du système solaire. Ces satellites échangent leurs orbites tous les quatre ans. On donne une preuve rigoureuse de l’existence d’orbites quasi-périodiques (donc stables) avec cette propriété d’échange dans le problème des trois corps grâce à la théorie . Travail en collaboration avec Philippe Robutel et Alexandre Pousse). Dominique Schneider : "Vitesse de convergence dans le théorème ergodique : est-elle une valeur critique ?" (résumé : soit un espace probabilisé. Soit une application mesurable qui préserve la mesure , i.e. , . Le quadraplet est appelé Système Dynamique. On peut ainsi définir sur une isométrie par , pour . Plus généralement, sera une contraction de . On se donne l’échelle d’ordre de grandeur pour . \textbf{But} : trouver des conditions sur la paire , où où est la tribu engendrée par les fonctions fixes sous l’action de , afin d’avoir . Nous discuterons le cas . Travail en collaboration avec Romuald Ernst). François Béguin : "Un exemple de dynamique non-uniformément hyperbolique issu de la Relativité Générale" (résumé : les espaces-temps spatialement homogènes sont des modèles simplifiés de l’Univers en Relativité Générale. L’évolution temporelle de la géométrie de ces espace-temps est décrite par le flot d’un champ de vecteurs en dimension . Ce champ de vecteurs possède un attracteur étrange que l’on pourrait décrire informellement comme ≪ une pelote infinie de connections de selles, avec une dynamique non-uniformément hyperbolique ≫. Je décrirai ce système, ce qui est connu et ce qui est conjecturé sur sa dynamique, ainsi que les liens avec une vieille conjecture de Relativité Générale affirmant que ≪ la géométrie des espaces-temps génériques oscille de manière chaotique quand on se rapproche de leur singularité initiale (Big-Bang) ≫).

From every Anosov flow in dimension it is possible to construct infinitely many others via Dehn-Goodman-Fried surgery. Similarly to the theorem of Lickorish-Wallace stating that any (closed orientable and connected) -manifold is obtained by Dehn surgeries on the -sphere, conjecturally the same thing happens for (transitive with orientable foliations) Anosov flows in dimension . Motivated by this question, in a joint article with C.Bonatti we propose a dynamical game on the plane as a means to understand the foliations of an Anosov flow after surgery. In this talk, I will introduce this dynamical game on the plane together with some interesting questions around it and their relation with Anosov flows in dimension .

Nous considérons différentes classes de graphes, des plus généraux à ceux induits par une fonction, sur différents types d’espaces topologiques. Notre question centrale est de savoir quand un tel graphe admet un coloriage continu à deux couleurs. Pour l’étudier, il est important de pouvoir comparer ces graphes, ce qui se fait par le biais des quasi-ordres induits par soit les homomorphismes continus, soit les homomorphismes injectifs continus. Nous donnons des propriétés structurelles de ces quasi-ordres. Nous verrons que les systèmes dynamiques discrets apportent de nombreuses informations intéressantes pour y parvenir. En particulier, cette analyse précise la position de la relation d’équivalence de conjugaison des homéomorphismes minimaux du Cantor.

Je présenterai quelques problèmes importants de dynamique arithmétique en expliquant d’où ils tirent leurs formulation et j’expliquerai quelles solutions partielles apportées à ces problèmes.

La dynamique topologique des feuilletages est bien développée. Il y a un analogue d’orbite périodique, d’ensemble limite, de récurrence, et même d’entropie topologique, d’après les travaux de Ghys, Langevin et Walczak. Cette entropie mesure l’écartement des feuilles d’un feuilletage dans la direction transverse. Il n’en est pas de même de la théorie ergodique des feuilletages. En particulier, il n’existe pas de version satisfaisante d’entropie mesurée pour les feuilletages, et on a peine à imaginer une façon de détecter la séparation des feuilles à l’aide de mesures (qu’elles soient harmoniques, ou invariantes par certaines dynamiques tangentes aux feuilles). Par exemple est-il possible d’obtenir un principe variationnel pour les feuilletages ? Dans cet exposé, je discuterai une approche réalisée avec Jiagang Yang (UFF, Niteroi) pour attaquer ce problème.

La théorie de la dimension permet de décrire la taille des espaces métriques et de mesures. Dimension de Hausdorff, de recouvrement, de paquets, et des quantités analogues locales et globales pour les mesures, donnent plusieurs définitions de la dimension qui coïncident sous certaines conditions de régularité. Qu’en est-il des espaces de dimension infinie ? Quelle quantité remplace la dimension ? Nous proposons la notion d’échelle qui englobe contient une partie importante de la théorie de la dimension et de plus permet de définir des quantités analogues aux dimensions citées précédemment, puis de comparer ces différentes définitions entre elles. En particulier, la théorie des échelles permet de calculer la taille et la régularité au sens des échelles de certains espaces de fonctions différentiables ou encore du mouvement Brownien.

In this talk, we will consider the angular component of multipliers of repelling cycles of a hyperbolic rational map in one complex variable. Oh-Winter have shown that these angles of multipliers uniformly distribute in the circle . Motivated by the sector problem in number theory, we show that for a fixed , almost all intervals of length contains a multiplier angle with the property that the norm of the multiplier is bounded above by a polynomial in . This is joint work with Hongming Nie.

La conjecture de Sarnack dit que la suite de Möbius est orthogonale à tous les systèmes dynamiques d’entropie nulle. A l’autre extrémité, il y a des systèmes dynamiques auxquels n’est orthogonale aucune suite (non-triviale). Nous qualifions ces systèmes Bohr-chaotiques. La Bohr chaoticité est un invariant topologique et tout système Bohr-chaotique est d’entropie strictement positive. Nous prouvons que la Bohr-chaoticité est partagée par les systèmes admettant un fer a cheval qui possèdent nécessairement des points homocliniques, et aussi partagée par les systèmes algebriques principaux dont certains n’admettent pas de fer a cheval. D’autre part, les systèmes uniquement ergodiques ne sont pas Bohr-chaotiques (c’est aussi le cas pour les systèmes ayant au plus un nombre dénombrable de mesures ergodiques, un résultat récemment prouvé par Matan Tal). Il s’agit des travaux en commun avec Shilei FAN (Wuhan), Valery RYZHYKOV (Moscou), Klaus SCHMIDT (Vienne), Weixiao SHEN (Shanghai) et Evgeny VERBITSIY (Leiden).

Les dynamiques conservatives modélisent des situation sans déperdition d’énergie. En présence de frottements, les dynamiques deviennent conformément symplectique : la forme symplectique décroît le long des orbites. Contrairement à ce qui se passe dans le cas conservait, il peut exister des attracteurs. Dans un travail commun avec Jacques Féjoz, nous nous sommes intéressés aux variétés invariantes de ces dynamiques, et avons montré une curieuse relation entre l’entropie topologique de la dynamique restreinte et l’isotropie (pour la forme symplectique) de la sous-variété invariante.

Pour les surfaces de Riemann compactes la vitesse de mélange du flot horocyclique découle aisément de l’étude de représentations unitaires irréductibles du groupe d’isométries du plan hyperbolique et du trou spectral. Dans le cas des revêtements abéliens infinis il n’y a pas de trou spectral et l’étude se ramène à la contribution des représentations proches de la représentation triviale. On montre également que pour une suite croissante de revêtements abéliens finis quelconque les spectres autour de la représentation triviale se redistribuent par rapport à une mesure absolument continue. Travail en collaboration avec D. Ravotti.

Il est connu qu’un homéomorphisme conservatif (c’est-à-dire sans point errant) de la sphère, qui a un nombre fini de points périodiques, est une pseudo rotation irrationnelle autour de deux points fixes. Une caractérisation des homéomorphismes conservatifs du tore ayant un nombre fini de point périodiques est également connue, exprimée également via des modèles-types. Nous donnerons dans l’exposé une caractérisation dans le cas des surface de genre , le modèle type étant donné par un flot de translation minimal.

Un groupe d’homéomorphismes de la droite est localement mobile si pour tout intervalle ouvert, le sous-groupe dès éléments fixant le complémentaire y agit sans points fixes. Un résultat classique de Rubin implique qu’un tel groupe n’admet qu’une seule action qui déplace localement, à conjugaison près. Quid des autres actions sur la droite ? Sous une condition de finitude sur le groupe, vérifiée par exemple par le groupe de Thompson , on obtient qu’elles proviennent d’actions sur des arbres réels planaires, fixant un point du bord, qui de plus, se souviennent de l’action de référence sur la droite. Il s’agit d’un travail en commun avec J. Brum, N. Matte Bon et C. Rivas.

Nous introduisons une propriété, « la récurrence positive forte », pour les difféomorphismes d’une variété compacte, afin d’étudier la partie non-uniformément hyperbolique de sa dynamique. Nous montrons qu’elle est satisfaite pour les difféomorphismes de surface d’entropie topologique non nulle. Nous en déduisons la décroissance exponentielle des corrélations et un théorème central limite pour les mesures d’entropie maximale. C’est un travail en collaboration avec J. Buzzi et O. Sarig.