Séminaires SymPA en 2024

Penrose tilings are non-periodic tilings of the plane by two rhombuses up to isometry. Here we study dynamic percolation : a contamination process on Penrose tilings starting from a random initial configuration. Given a Penrose tiling we put a state 0 or 1 on each tile. On these configurations we run the Bootstrap percolation cellular automaton : state 1 is stable and a 0 cell becomes 1 if it has (at least) two 1 neighbors. We say that a configuration percolates when its limit configuration is 1-uniform, i.e., when running the Bootstrap percolation cellular automaton on the configuration, every tile eventually gets contaminated. Denote B the set of configuration that percolate. We prove that for any Bernoulli measure μ (of positive parameter d) we have μ(B)=1. In other words, for any positive parameter d, if we pick an initial configuration c at random on a Penrose tiling following a Bernoulli distribution of parameter d the probability that c percolates is 1.

Un sous-décalage sur un groupe peut être vu comme l’espace des coloriages d’un graphe de Cayley de ce groupe, où l’on “colorie” les éléments du groupe selon un alphabet A et certaines règles d’adjacence. Il est possible de translater ces coloriages par l’action naturelle du groupe, et d’étudier des résultats d’apériodicité ainsi : un sous-décalage est faiblement apériodique si tout coloriage possède une orbite infinie (i.e. un nombre infini de translatés distincts), et fortement apériodique si aucun coloriage ne possède de période (i.e. toute translation d’un coloriage donne un coloriage différent). Dans cet exposé, nous préciserons toutes ces notions, l’état actuel de la littérature et l’existence ou non de sous-décalages apériodiques sur différents groupes selon leur structure. Nous donnerons ensuite des résultats nouveaux sur les groupes dont un graphe de Cayley est planaire, et sur ceux possédant une présentation à une seule relation, allant dans le sens des conjectures actuelles cherchant à classifier le comportement de l'ensemble des groupes de type fini.

L’un des outils principaux de la théorie de systèmes dynamiques sont des mesures invariantes. Dans le carde de la dynamique aléatoire, ils sont remplacées par des mesures stationnaires, c’est-à-dire, étantes égal à la moyenne de leurs images aléatoires. Dans notre travail recent avec A. Gorodetski et G. Monakov, nous montrons que ces mesures presque toujours (sous des hypothèses très faibles) possède une propriété hölderienne : la masse de toute boule est majorée par une puissance positive de son rayon.

In this talk, I will present new results about densities of regular languages in minimal shift spaces. Our work is focused on the density of group languages, i.e. languages recognized by morphisms onto finite groups. Working within the skew product of the shift space and the recognizing group, a simple formula is derived for the density, which holds under the condition that the minimal components of the skew product are ergodic. In the process, we give a description of these minimal components and relate them with subgroups generated by return words. We also give some sufficient conditions under which the skew product is ergodic. This is an ongoing work in collaboration with Valérie Berthé, Carl-Fredrik Nyberg Brodda, Dominique Perrin and Karl Petersen.

Les propriétés génériques des systèmes dynamiques (satisfaites par un ensemble résiduel de systèmes) ont été extensivement étudiées, en particulier sur l'espace de Cantor. Un résultat célèbre de Kechris et Rosendal énonce qu'il existe une classe de conjugaison résiduelle dans l'espace des systèmes sur le Cantor. Récemment Pavlov et Schmieding (2023) ont étudié l'espace des Z-shifts, dans lequel la situation se révèle différente: il n'existe pas de classe de conjugaison résiduelle mais l'ensemble des points isolés forment un ensemble résiduel "universel" (contenu dans tout autre ensemble résiduel). Ils ont également caractérisé ces points isolés en termes de leur représentations à l'aide de graphes et laissé ouverte la généralisation de leurs résultats à la dimension supérieure (Z^d-shifts, pour d > 1). Dans cet exposé je présenterai des résultats obtenus avec Alonso Nuñez dans cette direction. En particulier nous avons généralisé la caractérisation des points isolés en termes de la notion intuitive de sous-systèmes maximaux que nous introduisons. Je présenterai des propriétés générales de ces sous systèmes maximaux et comment ils permettent de comprendre la structure topologique de l'ensemble des Z^d-shifts, en particulier des propriétés reliées au rang de Cantor-Bendixson.

Les réseaux (i.e. sous-groupes discrets de co-volume fini) des groupes localement compacts font partie des objets les plus étudiés aujourd’hui. Les réseaux approximatifs sont une generalisation non-periodique des réseaux qui ont été étudiés pour la première fois par Yves Meyer dans le contexte des espaces Euclidiens. La pierre angulaire de la théorie de Meyer est un résultat de classification des réseaux approximatifs des espaces Euclidiens (a.k.a. ensembles de Meyer). Plus récemment, l’intérêt s’est aussi porté sur les réseaux approximatifs dans des classes plus générales de groupes (potentiellement non-commutatifs). Generaliser le théorème de Meyer à d’autres groupes localement compacts est naturellement devenu l’un des défis de ce domaine. Dans cet exposé j’introduirai la notion de réseau approximatif, de coupe-et-projection et parlerai d’une ou deux idées clefs qui ont permis d’obtenir un résultat de classification complet.

Choisissons uniformément au hasard une permutation de N objets et intéressons-nous à des observables comme la longueur de la plus longue sous-suite croissante, le nombre de descentes, le nombre de cycles d'une taille donnée etc. Le comportement asymptotique de ces observables quand N devient très grand est bien compris. En particulier, il est facile de montrer que la loi jointe des petits cycles est asymptotiquement poissonienne. Si on considère maintenant non plus une permutation, mais un mot en plusieurs permutations uniformes indépendantes, on sait, par des travaux de Nica que le comportement asymptotique des petits cycles dépend de la structure algébrique du mot considéré. Dans cet exposé, je présenterai des travaux en commun avec Mylène Maïda (Université de Lille) dans lesquels nous avons essayé de comprendre à quelles conditions (sur les lois des permutations et la structure du mot) les petits cycles du mot en les permutations gardent un comportement asymptotique similaire au cas uniforme.

Les mots de billard carré (avec vecteur vitesse à coordonnées rationnellement indépendantes) étant exactement les mots sturmiens, les mots de billard hypercubique sont une généralisation légitime des mots sturmiens. Comme les mots sturmiens jouissent de nombreuses caractérisations équivalentes, une question générale est : quelles propriétés des mots sturmiens sont préservées par les mots de billard hypercubique ? Dans cet exposé, je me concentrerai sur leur complexité et complexité abélienne. En particulier, les mots sturmiens étant les mots apériodiques de complexité (resp. complexité abélienne) minimale, j'aborderai la question de la complexité (resp. complexité abélienne) minimale attendue pour des généralisations des mots sturmiens. Afin de mettre ces résultats en perspective, je les comparerai avec ceux connus pour les mots épisturmiens stricts, qui sont une autre généralisation légitime des mots sturmiens.

The stabilized automorphism group of a dynamical system is the group of all self-homeomorphisms of that commute with some power of . In this talk, we will describe the stabilized automorphism group of minimal and, more generally, certain transitive dynamical systems. The main result that we will prove is that if two minimal systems have isomorphic stabilized automorphism groups and each has at least one non-trivial rational eigenvalue, then the systems have the same rational eigenvalues.

I will first talk about automatic sequences and their link with algebraicity in positive characteristics, as well as Diophantine approximation in formal power series fields. Then I will present two families of automatic algebraic continued fractions in characteristic 2.

Un résultat classique dans l'étude des langages formels est le théorème de Myhill-Nerode, qui donne des conditions nécessaires et suffisantes en terme de langages résiduels pour qu'un langage soit régulier. Dans cet exposé, on essaiera de montrer comment cet outil a été adapté à l'étude des espaces de pavages, où les configurations ne sont plus des mots finis mais des coloriages multidimensionnels infinis. En particulier, on étudiera l'entropie d'extension, introduite par R.Pavlov et T.French, qui représente le taux de croissance de cet équivalent aux langages résiduels. On donnera plusieurs caractérisations obtenues sur cette entropie grâce à la théorie de la calculabilité, sur plusieurs classes de pavages mono- et multidimensionnels.

Let be a countable residually finite group. For each totally disconnected metric compactification of , there exists an irregular Toeplitz subshift contained in such that it is a topo-isomorphic extension of . In this talk, we give a description of how this result is obtained. First, we need to establish sufficient conditions for a Toeplitz subshift to have invariant measures as limit points of some sequence of periodic measures. After that, we will see some details on the definition of the irregular Toeplitz subshift, for instance, every possible invariant measure of this subshift is a limit point of periodic measures. Finally, we guarantee that this Toeplitz subshift is a topo-isomorphic extension of . If we additionally assume that is amenable, we obtain new examples of mean-equicontinuous systems which are extensions of totally disconnected compactifications of .

Pour chaque entier , on définit l'ensemble des chaînes (de prisonniers) de longueur , . La marche aléatoire des prisonniers est une marche aléatoire sur cet ensemble . Emmanuel Boissard, Serge Cohen, Thibault Espinasse et James Norris ont montré que les trajectoires du premier prisonnier se comportent globalement comme des marches aléatoires simples de variance inversement proportionnelle à la longueur de la chaîne. L'enjeu est de comprendre ce qui se passe lorsque tend vers l'infini : le comportement limite du premier prisonnier est "sous diffusif" mais on ne sait pas bien quantifier cette assertion. Nous verrons comment on peut définir un processus limite naturel. Notamment, nous montrerons comment le calcul de sa probabilité de transition fait apparaître des fractions continues. Cette famille de processus peut être vue comme une famille de marche aléatoires sur le graphe des configurations du modèle de la glace carrée (ou modèle à 6 vertex). Nous terminerons en expliquant comment faire le lien en vue d'exploiter cette connexion.

Several works consider Turing machines from dynamical systems point of view, diverse authors has shown the undecidability of periodicity, aperiodicity, and propagation rate, within other properties. In this talk we will introduce the subject and give some new exploratory works.

Dans une récente série de travaux, Kra, Moreira, Richter et Robertson ont démontré l'existence de motifs arithmétiques infinis dans des sous-ensembles suffisamment larges des nombres naturels. Cela contraste avec les résultats précédents sur l’existence de motifs finis. Leur approche repose sur la traduction du problème arithmétique dans un cadre dynamique. Dans cette présentation, on discutera des résultats d’un article rédigé avec Ioannis Kousek, où l'on caractérise l’existence de motifs de la forme . Plus précisément, on montre que si a une densité inférieure ou une densité supérieure , alors il existe un sous-ensemble infini tel que . Ces bornes peuvent être affaiblies si l’on cherche des motifs décalés de la forme pour un nombre naturel. On exposera les idées principales de la démonstration en se focalisant sur une adaptation ad hoc du principe de correspondance de Furstenberg.

Two measurable bijections of a standard probability space are orbit equivalent if they have the same orbits up to conjugacy. In recent years, odometers have been a central class of systems for explicit constructions of orbit equivalences, using their combinatorial structure. In this talk we introduce a construction of orbit equivalence between odometers and new systems that we call odomutants. The starting point for this notion is a construction of Feldman in 1976, which enables us to get a first flexibility result about even Kakutani equivalence. Here we deal with a second result, about entropy. It follows from work of Kerr and Li that if the cocycles are log integrable, the entropy is preserved. Our construction of odomutants shows that their result is optimal, namely we find odomutants of positive entropy orbit equivalent to an odometer, with almost log integrable cocycles.

On dit qu'une suite bornée de nombres complexes est orthogonale aux systèmes uniquement ergodiques si elle satisfait

pour tout système dynamique topologique uniquement ergodique , toute fonction continue et tout . Après avoir donné des exemples de telles suites, je présenterai des résultats obtenus en collaboration avec Martyna Górska et Mariusz Lemańczyk sur la caractérisation intrinsèque des suites satisfaisant cette propriété. J'aborderai aussi une variation de ce problème inspirée par certains développements récents autour de la conjecture de Sarnak : comment caractériser les suites orthogonales aux systèmes uniquement ergodiques dans une classe donnée, comme la classe des systèmes d'entropie nulle ?

Reasoning about dynamical systems evolving over the reals is well-known to lead to undecidability. However, various results in the literature have shown that decision procedures exist when restricting to robust systems, with a suitably-chosen notion of robustness. In particular, in verification, it has been established that if the state reachability is not sensitive to infinitesimal perturbations, then decision procedures for state reachability exist. More fundamentally, while all these statements are only about computability issues, we also consider complexity theory aspects. We prove that robustness to some precision is inherently related to the complexity of the decision procedure. We will also try to link those robustness results to tilings.

An important question in dynamical systems is the classification, i.e., to be able to distinguish two isomorphic dynamical systems. In this work, we focus on the family of multidimensional substitutive subshifts. Constant-shape substitutions are a multidimensional generalization of constant-length substitutions, where any letter is assigned a pattern with the same shape. We prove that in this class of substitutive subshifts, under the hypothesis of having the same structure, it is decidable whether there exists a factor map between two aperiodic minimal substitutive subshifts. The strategy followed in this work consists in giving a complete description of the factor maps between these substitutive subshifts. We will also discuss related results, such as a condition to ensure that the substitution defines a subshift, and some consequences on coalescence, automorphism group and number of symbolic factors. This is a joint work with Julien Leroy.

Durand, Ormes et Petite ont montré que tout système dynamique de Cantor minimal et auto-induit pouvait être vu comme un shift engendré par une substitution généralisée primitive et reconnaissable sur un alphabet compact. Parallèlement, Domingos, Ferencsi, Messaoudi et Valle ont étudié les propriétés dynamiques de shifts engendrés par des substitutions définies sur un alphabet infini dénombrable. L'objectif est alors double : D'une part, faire le lien à travers des exemples entre les substitutions généralisées sur alphabet compact infini dénombrable et les substitutions définies sur au sens de Domingos, Ferencsi, Messaoudi et Valle. D'autre part, tenter de généraliser aux systèmes engendrés par des substitutions généralisées définies sur alphabet compact infini dénombrable les résultats ergodiques connus sur les shifts engendrés par des substitutions classiques primitives sur alphabets finis (unique ergodicité, entropie nulle, fonction propres de l'opérateur de Koopman etc...).

Cet exposé comporte trois parties. Nous commencerons par quelques rappels sur le fameux problème 3x+1, dit aussi Conjecture de Collatz, de Syracuse, etc. Puis nous aborderons les systèmes de numération en base rationnelle b/q introduits en 2008 par Akiyama, Frougny et Sakarovitch. Enfin nous montrerons un lien inattendu entre ces deux thématiques, découvert récemment en collaboration avec Jean-Louis Verger-Gaugry.

Over the last fifteen years, significant progress has been made in understanding the interplay between groups and subshifts. Particularly on how properties of a group influence properties of the subshifts defined on them, and vice versa. In this context, Jeandel and Vanier proposed in 2019 a dictionary that relates properties of multi-dimensional subshifts and group presentations. In this presentation, to explicitly investigate this dictionary, we will explore a new approach to connecting groups and subshifts through the theory of self-avoiding walks. In particular, we study the set of bi-infinite self-avoiding walks on a Cayley graph as a one-dimensional subshift called the skeleton. We will examine how the skeleton’s dynamical properties (SFT, sofic, aperiodic) characterize the underlying group and address a question from R. Bowen’s notebook of problems on the entropy of the skeleton.

En collaboration avec Andrey Gogolev et Federico Rodriguez Hertz, nous étudions quand deux flots d’Anosov transitifs en dimension 3 qui sont topologiquement conjugués sont en fait conjugués de manière lisse. Par le travail de De la Llave, Marco et Moriyón dans les années 80, une condition nécessaire et suffisante est que les valeurs propres stables et instables en des points périodiques associés coïncident. Nous montrons que la plupart du temps cette condition découle automatiquement de l’existence d’une conjugaison topologique. En particulier, nous montrons que la conjugaison est lisse, sauf si les flots ont des feuilletages « anormalement réguliers », ou que la conjugaison échange les mesures SRB positives et négatives des deux flots. Cela généralise un travail récent de Gogolev-Rodriguez Hertz dans le cas conservatif. J’expliquerai comment ce problème de rigidité est lié à d’autres notions, en particulier, les templates introduites par Tsujii and Zhang pour étudier la régularité des distributions stables et instables.

Dendric subshifts are a recently introduced generalization of both interval exchange transformations and Arnoux-Rauzy subshifts that preserve some of their main properties, and thus represent an exciting class of objects from dynamical, geometric, and combinatorial perspectives. In this talk, I will present new results concerning dynamical factors and S-adic structure of dendric subshifts.

Pour , soit l'application mod sur le cercle . L'objectif de mon exposé est de présenter la conjecture fois 2, fois 3 de Furstenberg : la seule mesure de probabilité sur , sans atome et invariante par et , est la mesure de Lebesgue normalisée. Je discuterai également de quelques résultats obtenus autour de cette conjecture en collaboration avec Sophie Grivaux.

Le problème de Manin-Mumford Dynamique est un problème en dynamique algébrique inspiré par des résultats classiques de géométrie arithmétique. Étant donné un système dynamique algébrique , où est une variété projective et est un endomorphisme polarisé de , on veut déterminer sous quelles conditions une sous-variété qui contient une quantité Zariski-dense de points à orbite finie, doit avoir elle même une orbite finie. Dans un travail en commun avec Romain Dujardin et Charles Favre, on montre que cette propriété est vérifiée quand f est un endomorphisme régulier du plan projectif provenant d'un endomorphisme polynomial de (de degré ), sous la condition supplémentaire que l'action de à l'infini n'a pas de points critiques périodiques. La preuve se base sur des techniques provenant de la géométrie arithmétique et de la dynamique analytique, à la fois sur et sur des corps non-archimédiens.

En dynamique topologique, l'expansivité positive correspond à pouvoir retrouver précisément un point à partir d'une vision imprécise de son orbite future. Cette notion se trivialise pour les homéomorphismes et pour certaines classes folkloriques de systèmes. Par exemple tout sous-shift infini contient deux configurations partageant la même moitié droite. Une façon de relâcher un peu cette contrainte très forte est d'autoriser un nombre fini de points à partager le même futur, à une certaine précision près. Nous verrons qu'aucun système sur l'intervalle ne peut avoir cette propriété, mais qu'en revanche, la dynamique symbolique nous donne quelques exemples, notamment via le formalisme -adique.