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Étant donnée une suite sur un alphabet , le stabilisateur de , , est l'ensemble des endomorphismes de qui ont pour point fixe. Le stabilisateur est un monoïde. On sait qu'il peut être infiniment engendré mais aussi cyclique. Je m'intéresserai au cas où est uniformément récurrente et mettrai en évidence un résultat de J. Honkala de 2007 qui permet de simplifier des preuves de résultats connus, comme la cyclicité pour la suite de Morse ou celle de Fibonacci, mais aussi d'obtenir des résultats très généraux, à moindre frais, concluant au caractère abélien ou finiment engendré de ce stabilisateur.