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L'étude des endomorphismes permutables de la droite projective remonte aux travaux classiques de Fatou, Julia et Ritt, il y a plus d'un siècle. S'appuyant sur cette théorie, F. Pakovich a récemment établi que le semigroupe des centralisateurs d'un endomorphisme donné est virtuellement cyclique, sauf dans quelques cas bien compris. En particulier, un endomorphisme générique de la droite projective ne commute qu'avec ses propres itérés. Je présenterai une démonstration concise des résultats de Pakovich, puis j'aborderai des généralisations en dimension deux.

Étant donnée une suite sur un alphabet , le stabilisateur de , , est l'ensemble des endomorphismes de qui ont pour point fixe. Le stabilisateur est un monoïde. On sait qu'il peut être infiniment engendré mais aussi cyclique. Je m'intéresserai au cas où est uniformément récurrente et mettrai en évidence un résultat de J. Honkala de 2007 qui permet de simplifier des preuves de résultats connus, comme la cyclicité pour la suite de Morse ou celle de Fibonacci, mais aussi d'obtenir des résultats très généraux, à moindre frais, concluant au caractère abélien ou finiment engendré de ce stabilisateur.