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Dans les années 1980, William Thurston a obtenu sa célèbre caractérisation des fonctions rationnelles. Ce résultat a jeté les bases d’un domaine désormais connu sous le nom de théorie de Thurston des applications holomorphes, qui s’est fortement développé au cours des dernières décennies. L’un des problèmes les plus importants dans ce domaine concerne la caractérisation - comprendre quand une application topologique est équivalente (au sens dynamique) à une application holomorphe - et la classification, qui correspond à l’énumération de tous les modèles topologiques possibles des applications holomorphes d’une classe donnée.
Dans cet exposé, je me concentrerai sur les problèmes de caractérisation et de classification pour la famille des revêtements ramifiées critiquent fixés, c’est-à-dire des revêtements ramifiés de la sphère dont tous les points critiques sont fixes. Les applications de cette famille peuvent être décrites par des modèles combinatoires basés sur des graphes connèxes, ce qui fournit une réponse élégante au problème de classification pour cette famille. J’expliquerai ensuite comment déterminer si un revêtement ramifié critiquement fixé est équivalent à une application rationnelle critiquement fixé sur la sphère de Riemann, et je présenterai un algorithme d’ordre combinatoire permettant de répondre à cette question.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mikhail Hlushchanka.