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La conjecture de Manin-Mumford dynamique stipule essentiellement qu'une courbe algébrique contient une infinité de points prépériodiques pour un endomorphisme holomorphe de degré si et seulement si est une courbe elle-même prépériodique sous itération de . Cette conjecture a été démontrée par Dujardin, Favre et Ruggiero dans le cas où se restreint en une application polynomiale de dans – sous une hypothèse additionnelle.
Le but de cet exposé est de faire un pas vers une version uniforme de cette conjecture : dans un travail en commun avec Johan Taflin, nous montrons qu’il existe un ouvert de Zariski (non-vide) dans l’espace des paires , où est une application polynomiale de degré donné et est une courbe algébrique de degré donné, ainsi qu’une constante ne dépendant que de et tels que, si , alors ne peut contenir qu’au plus points prépériodiques de .
Ce travail repose sur les méthodes arithmétiques introduites dans un travail précédent en commun avec Johan Taflin et Gabriel Vigny, ainsi que sur des techniques de mélangeurs venant de la dynamique réelle. Dans cet exposé, je présenterai plus précisément le problème et le cadre dans lequel il se pose, ainsi que la stratégie de la preuve.