Séminaires SymPA en 2025
As a new topological invariant, the notion of mean topological dimension was introduced by Gromov (1999). It was developed systematically by Lindenstrauss and Weiss. In this talk, I will discuss how to lower mean topological dimension: we prove that for a topological dynamical system with positive mean topological dimension and marker property, it has factors of arbitrary small mean topological dimension and zero relative mean topological dimension which separate points.
Dans cet exposé, j'expliquerai que les multiplicateurs aux cycles de périodes 1 et 2 donnent une bonne description de l'espace des polynômes de degré d modulo conjugaison par une transformation affine. Plus précisément, les fonctions symétriques des multiplicateurs aux cycles de période 1 et 2 induisent un morphisme birationnel fini de sur son image. Ce résultat apparaît comme une conséquence directe des deux énoncés suivants :
- Pour tout entier , toute suite de polynômes complexes de degré avec multiplicateurs uniformément bornés en ses cycles de période est nécessairement bornée dans .
- Une classe de conjugaison générique de polynômes complexes de degré est déterminée de façon unique par ses multiplicateurs en ses cycles de périodes 1 et 2.
L'induction est un outil classique des systèmes dynamiques. La formule d'Abramov relie l'entropie du système initial à l'entropie du système induit. Que devient cette formule quand le système initial est d'entropie nulle ? Nous répondons à cette question pour une classe de systèmes dynamiques de l'intervalle.
Since Haar’s work, in the 1910's, we know that there exist orthonormal bases for in the form
built by dilatation of powers of and by translation by integers of a function named mother function.
In the 80's and the 90's, the construction of smoother bases in this form was systematized by I. Daubechies, S. Mallat and Y. Meyer in the frame of wavelets theory.
After developing explanations about Multi-Resolution Analysis and construction of such a wavelet basis, I present Daubechies method to get some more regular wavelet bases, and an estimation of the critic exponent of regularity in a simple example, inspiring A. Cohen and J.P. Conze article (1992) whose used ergodic theory.
I eventually present an aspect of my PhD subject about non-Gaussian stochastic fields. However, to address to everyone, I talk about the Gaussian case. The Meyer wavelet basis properties, which can be described as miraculous, have a crucial role to build a random series decomposition of Fractional and Multifractional Brownian Fields almost surely uniformly convergent over all compact, giving us a modification of such processes whose paths are almost surely continuous under any conditions.
A flow is called parabolic if nearby points diverge at a subexponential (often polynomial) speed. Classical examples of parabolic flows are horocycle flows on negatively curved surfaces and area-preserving flows on surfaces. Substantial progress has been made in recent years in understanding the ergodic properties of many parabolic flows on compact or finite volume spaces, and renormalization has proved to be a fundamental tool in this area.
A natural question is to understand what happens when the phase space has infinite measure.
In this talk, I will focus on horocycle flows on covers of negatively curved surfaces.
I will discuss a result, joint with Roberto Castorrini, which describes the asymptotics of ergodic integrals for sufficiently regular observables. In the case of hyperbolic surfaces, we recover a result by Ledrappier and Sarig, for which we additionally provide explicit error rates.
Un flot est dit parabolique si les points proches divergent à une vitesse sous-exponentielle (souvent polynomiale). Les exemples classiques des flots paraboliques sont les flots horocycliques sur les surfaces à courbure négative et les flots qui préservent une mesure lisse sur les surfaces. Des progrès substantiels ont été réalisés ces dernières années dans la compréhension des propriétés ergodiques de nombreux flots paraboliques sur des espaces compacts ou à volume fini, et la renormalisation s'est avérée être un outil fondamental dans ce domaine.
Une question naturelle est de comprendre ce qui se passe lorsque l'espace des phases a une mesure infinie.
Dans cet exposé, je me concentrerai sur les flots horocycliques sur des revêtements des surfaces négativement courbées.
Je discuterai d'un résultat, en collaboration avec Roberto Castorrini, qui décrit l'asymptotique des intégraux ergodiques pour des observables suffisamment réguliers. Dans le cas des surfaces hyperboliques, nous retrouvons un résultat de Ledrappier et Sarig, pour lequel nous fournissons en outre des taux d'erreur explicites.
Dans mon exposé, nous allons explorer diverses notions d'inversibilités relatives des substitutions, définies comme l'inversibilité sur les complétions pseudométriques du groupe libre déterminées par différentes classes de groupes finis. Par exemple, l'inversibilité absolue, c'est-à-dire quand la substitution induit un automorphisme du groupe libre, correspond à l'inversibilité relative à la classe de tous les groupes finis, grâce à un théorème classique de M. Hall. De même, l'unimodularité (l'inversibilité de la matrice d'incidence) correspond à l'inversibilité relative à la classe de tous les groupes abéliens finis, par un théorème de Malcev. Une autre notion potentiellement intéressante est l'inversibilité "métabélienne", qui par un théorème de Coulbois est équivalente à l'inversibilité sur le quotient F/F′′ du groupe libre par son deuxième sous-groupe dérivé. Je parlerai également du lien entre les conditions d'inversibilité et les mots de retour. Cet exposé s'inscrit dans le cadre d'une collaboration en cours avec Jorge Almeida et Alfredo Costa.
D'après un théorème de Friedland et Milnor, les applications de Hénon sont, en un certain sens, les seuls automorphismes polynomiaux dynamiquement non-triviaux du plan affine complexe. Lorsqu'on considère leur extension birationnelle au plan projectif, ces applications admettent un point super-attractif à l'infini. Dloussky et Oeljeklaus ont montré que l'on peut compactifier le quotient par la dynamique de son bassin d'attraction en une surface de Kato. Je rappellerai la construction de ces surfaces, et présenterai un résultat récent, selon lequel cette surface de Kato caractérise complètement l'automorphisme de Hénon.
The study of concentration inequalities focuses on upper bounds for the probability that certain statistics of (fixed-size) random samples deviate significantly from their mean (or median). For i.i.d. samples, what we refer to as a "Gaussian concentration bound" is a specific case of a concentration inequality, commonly known in the literature as McDiarmid’s inequality. More broadly, such bounds are expected to hold for well-behaved statistics (e.g., Lipschitz continuous functions) and for samples of weakly dependent random variables.
In this talk, I will present recent results establishing such bounds for a wide class of random fields on . A particularly interesting case is the Ising model above the critical temperature in any dimension.
This presentation is based on joint work with Jean-René Chazottes (CNRS & École Polytechnique, Palaiseau) and Daniel Y. Takahashi (Instituto do Cérebro, UFRN, Brazil).
Le caractère échangeable d’un processus discret se traduit par l’invariance de sa loi par l’action naturelle du groupe sur . Ainsi, les lois du 0-1 de Kolmogorov et de Hewitt-Savage s’interprètent en termes ergodiques : lorsque est une mesure produit sur , alors les tribus des invariants et de queue de cette action coincident avec la tribu triviale. Dans un travail en cours avec R. Barritault et C. Jahel, nous généralisons ces résultats et démontrons que pour toute action de préservant une mesure de probabilité , les tribus des invariants et de queue de l'action coïncident . Cela nous permet de donner une nouvelle démonstration du caractère dissocié - une généralisation du théorème de de Finetti - de toute action préservant une mesure de probabilité de . Nous terminerons cet exposé en expliquant comment la dissociation des actions joue un rôle fondamental dans l’étude de la théorie ergodique de , notamment dans l'étude des sous-groupes aléatoires invariants, des actions de type III, de la classification des représentations unitaires, de la propriété (T), etc.
9h30 - 10h30 : Lauren Coquille
Mesures de Gibbs extrémales sur des graphes hyperboliques
Je parlerai du modèle d'Ising à basse température sur des pavages réguliers du plan hyperbolique. Je montrerai que ce modèle possède une quantité non-dénombrable de mesures de Gibbs extrémales (et non-invariantes sous les automorphismes du graphe). Ces mesures apparaissent comme des perturbations d’ « états fondamentaux locaux », dont la densité d'arêtes frustrées est mesurée en termes de la constante isopérimétrique du graphe.
Ce travail en cours avec Matteo D’Achille et Arnaud Le Ny soulève d’intéressantes questions de dynamique symbolique en géométrie hyperbolique.
11h-12h : Claire Launay
Modélisation de textures : Champs browniens fractionnaires et signal monogène
Lors de cet exposé, nous nous intéresserons à des champs browniens fractionnaires anisotropes (AFBF) particuliers appelés phares. Le caractère fractionnaire ou autosimilaire de ces champs dépend uniquement du paramètre dit de Hurst, tandis que l'anisotropie est donnée par l'angle d'ouverture d'un cône spectral orienté. Ces champs généralisent le mouvement brownien fractionnaire et modélisent des phénomènes naturels irréguliers. L'estimation des paramètres du modèle est donc une question cruciale pour la modélisation et l'analyse d'images réelles. Ce travail, effectué en collaboration avec Hermine Biermé, Philippe Carré et Céline Lacaux, introduit la représentation des AFBF à l'aide de la transformée monogène. Le signal monogène est construit à partir de la transformée de Riesz d'une image d'origine et permet d'extraire l'orientation locale et les informations structurelles de l'image à différentes échelles. Dans ce travail, nous exploitons le signal monogène pour définir de nouveaux estimateurs des paramètres AFBF dans le cas des champs phares. Nous prouvons que les estimateurs de l'anisotropie et de l'indice d'autosimilarité sont fortement consistants et nous démontrons la normalité asymptotique de ces estimateurs. Nous introduisons également un estimateur de l'orientation de la texture. Je présenterai des résultats numériques qui illustrent la performance de ces estimateurs.
14h-15h : Dylan Bansard-Tresse
Processus ponctuels pour les événements rares en théorie ergodique en mesure infinie
On s’intéresse aux questions de récurrence quantitative pour des systèmes dynamiques ergodiques. En fixant un ensemble de petite mesure dans l'espace des phases, on étudie la loi des temps de retour successifs dans cette cible lorsque la mesure tend vers zéro. Lorsque la mesure invariante est finie et que le système est suffisamment mélangeant, la loi limite obtenue pour des cibles naturelles (typiquement des boules ou des cylindres) est le processus de Poisson.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons au cas où la mesure invariante est infinie. Nous verrons alors que la loi limite naturelle est le processus de Poisson fractionnaire et que d’autres lois limites peuvent émerger.
15h30-16h30 : Michele Triestino
Groupes ordonnables : entre algèbre et dynamique
Un groupe est ordonnable (à gauche) s'il admet un ordre total qui est invariant par multiplication à gauche. Pour les groupes dénombrables, cela revient à admettre un plongement dans le groupe d'homéomorphismes de la droite réelle. Ceci permet d'établir un dictionnaire entre les propriétés des ordres invariants et la dynamique des actions de groupes sur la droite. On discutera de certains résultats marquants récents qui s'appuient sur ce dictionnaire.
À la fin des années 60, Furstenberg a énoncé une série de conjectures formalisant l'heuristique selon laquelle "les développements dans deux bases multiplicativement indépendantes (comme 2 et 3) ne devraient avoir aucune structure commune" (cette phrase semble être de Shmerkin). Il en résulte qu'aucun nombre réel irrationnel ne devrait avoir des développements trop simples dans deux bases multiplicativement indépendantes. On en déduit également que toute combinaison de chiffres devrait apparaître dans l'écriture décimale de n'importe quelle puissance de 2 suffisamment grande. Toutefois, malgré d'importantes avancées sur les conjectures de Furstenberg, les questions liées aux changements de base dans l'écriture des nombres restent largement ouvertes. Dans un travail commun avec B. Adamczewski, nous adaptons cette heuristique dans un cadre computationnel et démontrons qu'aucun nombre réel irrationnel ne peut être produit par des automates finis dans deux bases multiplicativement indépendantes. Notre approche nous permet au passage d'obtenir une vaste généralisation du théorème de Cobham ainsi qu'une toute nouvelle preuve de ce dernier. Elle s'appuie sur le fait que les séries génératrices de suites automatiques sont solutions de certaines équations dites mahlériennes. Nous verrons alors que la méthode de Mahler est une méthode de transcendance particulièrement adaptée à ce contexte, et nous discuterons les possibilités d'élargissement de sa portée.
Les billards de Sinaï forment une classe de systèmes hyperboliques présentant des singularités. Dans un travail récent de Baladi et Demers, sous une certaine hypothèse, la mesure d'entropie maximale a été construite à l'aide d'un opérateur de transfert agissant sur des Banach anisotropes, et prouvée unique. Dans un précédent travail joint avec Baladi et Demers, ces résultats ont été étendus à des potentiels Hölder continus par morceaux. Dans cet exposé nous nous interessons à la régularité de la pression métrique. Nous présentons deux critères distincts -le premier portant sur la table de billard, le second sur le potentiel- menant à une estimation du défaut de semi-continuité supérieure de la pression métrique. Le premier critère est générique parmi les billards d'horizon fini et entraîne la condition introduite par Baladi et Demers. Lorsqu'il est réalisé, la pression est semi-continue supérieurement. Le second critère est suffisant pour conclure à l'existence d'états d'équilibres, ainsi qu'à la régularité de l'entropie métrique. Lorsque les deux critères sont simultanement réalisés, l'état d'équilibre associé est unique et limite de sommes (pondérées) de Dirac sur les orbites périodiques.
On s'intéresse à la répartition asymptotique des orbites d'un système dynamique. On montre que pour une application de l'intervalle ou du cercle, Lebesgue-presque tout point possédant un exposant de Lyapunov positif est dans le bassin d'une mesure ergodique hyperbolique et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. On présentera également une version de ce résultat, pour .
There are compelling and long-established connections between automata theory and mathematical logic, including Büchi automata and the additive group of real numbers. We say a subset of the reals is "-regular" if there is a Büchi automaton that accepts a base- representation of each element of , and rejects the base- representations of each element in its complement. In this talk we will discuss the hierarchy of Büchi automata in terms of their expressive power--what other automata can we build from a few basic ones and (most of) the classic automata operations? We will unpack the connection between this question and tools from first-order logic.
The automorphism group of a subshift is a topological conjugacy invariant that has been studied since the 60s. I will introduce these objects, the classical results on them and present a very broad generalization of two classical results that concern the center of these groups and thair space of subgroups: Ryan's theorem and the Kim and Roush theorem. Based on a joint work with Nicanor Carrasco Varagas and Paola Rivera Burgos.
Let be a complex Hénon map and its unique measure of maximal entropy. Recently, Bianchi-Dinh proved that is exponentially mixing of all orders for all Hölder observables, and that all such observables satisfy the central limit theorem with respect to . De Thélin-Vigny generalized these results for a certain class of bounded plurisubharmonic observables. We prove that these properties hold for all, not necessarily bounded, plurisubharmonic observables. This is a joint work with Hao Wu.