Séminaires doctorant en 2021

L’objectif est d’aborder les notions probabilistes utilisées dans l’article. On commencera par des rappels sur les espaces de probabilités, les variables aléatoires et les lois associées avant de s’intéresser succinctement à la notion d’espaces de probabilités standards.

Dans cet exposé, nous discuterons la notion d’homotopie entre espaces topologiques : une définition propre de ce qu’est une "déformation continue". Pour étudier cette relation, nous introduirons dans un premier temps le groupe fondamental et les groupes d’homotopie supérieurs d’un espace. Une classe spéciale d’espaces (les CW-complexes) sur laquelle les groupes d’homotopie caractérisent l’homotopie sera également décrite. Dans un second temps, nous définirons les fibrations de Serre, qui sont un analogue des suites exactes courtes dans le monde topologique. A une telle fibration est attachée une suite exacte longue d’homotopie, un puissant outil de calcul. On en déduira en particulier qu’une fibration de Serre à fibres contractile est une équivalence faible d’homotopie, un résultat important pour la suite.

Les complexes simpliciaux sont utilisés en topologie algébrique pour le calcul d’invariants. Nous commencerons par une présentation géométrique de cette notion avant d’adopter un point de vue ensembliste avec les complexes simpliciaux abstraits. À cette donnée combinatoire, on associe un espace topologique : sa réalisation géométrique. Nous présenterons également une autre réalisation issue de la théorie des probabilités. Nous terminerons cet exposé en essayant de comparer le type d’homotopie de ces espaces topologiques. Pour cela, nous considérerons l’application naturelle qui a une variable aléatoire associe sa loi de probabilité.

In this talk, we will discuss about the contractibility of the group of automorphisms of a nonatomic probability space. This result is due to Michael Keane. One interesting point is that he uses an argument from the study of dynamical systems : Poincaré’s recurrence theorem. In a first part, through examples, we will introduce some basic questions and properties in dynamics. We will also take a closer look at Poincaré’s result. In a second part, we will see in details the proof of Keane’s theorem. In particular, we will see how Poicaré’s statement is used and how we build our homotopy for the contractibility.

Dans cet exposé, nous conclurons ce groupe de travail en donnant les idées expliquant pourquoi l’application , qui à une variable aléatoire associe sa loi de probabilités, est une fibration de Serre. Après avoir rappeler le contexte, nous commencerons par traiter le cas plus simple où l’ensemble à partir duquel on forme notre complexe simplicial est de cardinal 2. Puis, nous regarderons aussi les arguments lorsque est de cardinal fini quelconque ou même infini. Enfin, nous en déduirons que est une équivalence faible homotopique.

La planification et la gestion des réseaux de distribution d’électricité a pour objectif l’acheminement de l’électricité depuis le réseau de répartition jusqu’aux consommateurs, tout en garantissant un bon niveau de qualité, de sécurité et un coût le plus bas possible. La meilleure stratégie de gestion peut alors être vue comme la solution d’un problème d’optimisation, où l’on cherche à minimiser une fonction représentant un objectif économique ou technoéconomique, sous certaines contraintes physiques du réseau. Cet exposé sera divisé en deux parties. Dans la première partie, on présentera deux problèmes d’optimisation issus de la modélisation macroscopique du réseau, dans laquelle la spatialité du réseau n’est pas considérée. Ensuite on proposera un algorithme de type fenêtre glissante permettant de réduire le temps de calcul. Dans la deuxième partie, on étudiera un problème d’optimisation issu de la modélisation microscopique du réseau où la topologie du réseau est décrite de manière réaliste. Ce problème est non-convexe et donc très difficile à résoudre. On propose alors une relaxation convexe de ce problème après l’avoir écrit sous forme matricielle. On démontre deux résultats portant sur les conditions pour que cette relaxation soit exacte.

The aim of this talk is to introduce some notions in the study of a function’s dynamics. Through the example of the map on [0,1] parametrized by in [0,1], we will discuss about Feigenbaum’s parameters. This will bring us to talk about hyperbolicity and to see what happens in this case. Lastly, we will explain that there are plenty of non-hyperbolic parameters in term of measure and we will talk about Fatou’s hyperbolic conjecture and my thesis work where the goal is to show that even so, those parameters can be approached by hyperbolic ones.

Intersection (co)homology is a way to enhance classical (co)homology, allowing us to use a famous result called Poincaré duality on a large class of spaces known as stratified pseudomanifolds. There is a theoretically powerful way to arrive at intersection (co)homology by a classifying sheaves that satisfy what are called the Deligne axioms. There is a successful way to construct a simplicial intersection (co)homology, exposed in the works of D. Chataur, D. Tanré and M. Saralegi-Araguren, but a simplicial manifestation of the Deligne axioms has remained under shadows until now. This talk draws on constructions made by these authors, showing a simplicial manifestation of the Deligne axioms. This consists on presenting categories of "simplicial sheaves", localizing them appropriately and then stating "simplicial Deligne axioms". All this for different simplicial structures one can encounter. We finalize by presenting sheaves that satisfy the axioms on simplicial complexes.

Dans le cadre de la radiologie interventionnelle, les médecins sont amenés à naviguer des outils, comme des cathéters, à l’intérieur du réseau vasculaire du patient. Pour se repérer ils disposent d’appareils d’imagerie par rayon X en temps réel (2D) ainsi que des reconstructions 3D de l’anatomie d’intérêt. Pour que les interventions se déroulent correctement, les appareils d’inmagerie se doivent d’être le plus précis possible et les techniques telles que le traitement d’images, la classification ou la prédiction peuvent être mises au service des médecins. Ainsi lorsque le réseau vasculaire est facilement détectable, on cherche à l’annoter automatiquement pour fournir au cours de l’intervention une carte détaillée des vaisseaux et de leur voisinage. Pour réaliser cette annotation, nous utilisons une approche basée atlas, consistant à construire une représentation fiable d’une base de données que l’on cherchera à aligner sur un nouveau cas à annoter. Plus on arrivera à aligner l’atlas sur la cible, plus l’annotation résultante sera simple. De plus l’analyse statistique des déformations peut conduire à une génération de données synthétiques réalistes. Dans cette présentation je parlerai de la construction d’un atlas dans le framework des Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping. Puis je présenterai comment gérer les changements de topologies que l’on trouve lors du recalage des arbres vasculaires : les changements dans l’ordre des bifurcations et les différences entre un atlas simplifié et un vrai arbre à annoter.

Cross-diffusion systems are non-linear parabolic system, modelling the evolution of densities or concentrations of multicomponent populations in interaction. They may be derived by random walk on lattices, in a microscopic scaling, or as limit of linear parabolic diffusion systems, at a mesoscopic level. In this talk, we propose the rigorous passage from a weak competitive reaction-diffusion system towards a reaction-cross-diffusion system, in the fast reaction limit. The resulting limit system shows a starvation driven cross-diffusion term. The main ingredients used to prove the existence of global solutions are a family of energy functionals and compactness arguments. However, we also investigate the linear stability of homogeneous steady states of those systems and rule out the possibility of Turing instability. Then, no pattern formations occur. To conclude, numerical simulations are included, proving the compatibility with the theoretical results.

The main of this thesis is to study the representation theory of two algebras. These algebras are extensions of Hecke’s algebras defined by I. Marin. The first one is the Hecke algebra of the normalizer of the reflection subgroup of a finite complex reflections group. It is an extension of the Hecke algebra of the reflection subgroup. The second one is a quotient algebra of the semi-direct product algebra of the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups by a complex reflection group. It is an extension of the Hecke algebra of a complex reflection group. We establish two equivalences of categories. The first one between the category of finite dimensional modules over the Hecke algebra of a normalizer to a quotient category of a category associated to Cherednik algebra of a normalizer. Then we establish an equivalence of categories between the category of finite dimensional modules over to a quotient category of a category associated to a Cherednik algebra of the semi-direct of the Möbius algebra by a complex reflection group. More precisely, we start by defining a Cherednik algebra for the group algebra of the normaliser. Then we define a family of Dunkl-Opdam operators adapted to this context. We establish a Dunkl embedding, allowing to link the modules on the Cherednik algebra of the normaliser with the modules on the algebra of -equivariant differential operators. We define a -category adapted to this context. Finally, we construct a functor and show that it induces an equivalence of categories. We then carry out the same work in the case of the extension by the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups. We define a Cherednik algebra adapted to this context, a new family of Dunkl-Opdam operators. Furthermore, we prove a Dunkl embedding. We define a new category and a functor , we prove that it induces an equivalence of categories.

In this talk, I will present the work of my thesis : the study of equivariant algebraic topology of spaces arising in Lie theory with respect to an action of the Weyl group, such as maximal tori and flag manifolds. More precisely, the goal is to produce explicit equivariant cellular structures on these spaces. This is done in order to compute derived global sections functors in their equivariant derived categories. After a brief reminder on equivariant cellular structures, I will investigate the case of maximal tori of Lie groups, equipped with their Weyl group actions. We will exhibit equivariant simplicial structures on maximal tori in general ; the construction of which depends on the character lattice of the torus. Next, we will see that the notion of "torus" also makes sense for non-crystallographic Coxeter groups. Specifically, to any non-crystallographic Coxeter group W, one can associate a compact W-triangulated manifold T(W), which plays the role of a torus. The construction of T(W) is quite similar to the construction of tori, except that it involves a hyperbolic extension of W, while an affine extension is needed in the crystallographic case. We will review the construction of T(W), and some of its properties. Then, I’ll move on to flag manifolds. After a quick introduction to flag manifolds in general, I will focus of the first non-trivial example : the manifold F(R) :=SL_3(R)/B. More precisely, I will present three different S_3-equivariant cellular structures on it. The first one uses the so-called GKM graph of the symmetric group S_3. Though quite ad-hoc, this first structure allows to describe the mod 2 cohomology algebra of F(R), as an F_2[S_3]-algebra, using transverse real algebraic subvarieties of F(R). The second structure is built using the fact that the universal cover of F(R) is the 3-sphere that is, F(R) is a "spherical space form". I will explain how this point of view suggests a generalization. The third structure is obtained by considering a Dirichlet-Voronoi fundamental domain for S_3 acting on F(R), itself constructed from a normal homogeneous Riemannian metric on F(R). Such a metric always exist on other flag manifolds and this Dirichlet-Voronoi approach seems generalizable to higher cases. I will finish by giving some preliminary results in this direction.

Le changement climatique induit un « déplacement » des zones géographiques adaptées à la survie de chaque espèce. La migration naturelle des espèces végétales ne permet pas toujours de suivre le déplacement des conditions climatiques qui leur sont adaptées. Face à ce problème, une solution envisagée est la migration assistée. L’idée est d’implanter une espèce à un endroit où elle est peu ou pas présente, soit pour encourager et accélérer sa migration naturelle, soit pour la placer dans un climat plus favorable et éviter son extinction. Cette méthode appelle à de nombreuses questions : pour quelles espèces ? Où implanter ces espèces ? Et quand ? Quel sera l’effet de planter une espèce à un endroit ? L’ampleur du problème appelle à la création de méthodes informatiques rapides et précises. Nous verrons comment des méthodes algébriques pourront nous permettre de nous passer des simulations de survie-dispersion usuellement utilisées en écologie mais coûteuses en temps de calculs. Cela se fera en particulier par l’association de théorie des graphes et de probabilités. Nous verrons également comment ce cadre peut nous permettre de remonter à l’origine de certaines espèces invasive sur un continent.

Our work is devoted to the development and implementation of second-order well-balanced Lagrange-projection numerical methods for hyperbolic partial differential equations. In particular, the Lagrange-projection formalism entails a decomposition of the acoustic and transport terms of the model, while the well-balanced property represents the ability of the scheme of preserving the stationary solutions of the model. In this talk we mainly focus on the numerical approximation of the shallow-water system coupled with the Exner equation, where the latter expresses the evolution in time of the bed elevation. It is known that it is not a trivial task to numerically simulate the resulting shallow-water-Exner model, as a decoupled scheme could lead to the presence of spurious oscillations in the numerical outputs. In addition, when considering the Lagrange-projection formalism, while it is clear how to decompose the shallow water system, this is not true when it comes to the Exner equation. For this reason we investigate different possible numerical strategies.

In a seminal paper titled "Analysis Situs", Henri Poincaré lays the foundation of algebraic topology. His approach is revolutionary as he uses algebraic objects (invariants) in order to distinguish non-homeomorphic spaces. This talk will focus on the homology groups, a notion defined in order to prove the Poincaré duality. We will begin by presenting the historical context which led to their introduction. Then, we will adopt the modern approach and define simplicial homology. There exists numerous homology theories, we quickly explain how they are related. Finally, we show why the Poincaré duality fails on singular spaces and present the solution proposed by Goresky and MacPherson in order to restore it. If time permits, I’ll talk about my thesis on the Hochschild cohomology on intersection cohomology.