Séminaires doctorant en 2019

Soient un corps local non-archimédien, une extension quadratique et une algèbre à division centrale sur . Posons et où désigne le centralisateur de dans . La conjecture de Prasad et Takloo-Bighash relie la -distinction des représentations de carré intégrable de à certaines propriétés sur leur paramètre de Langlands. On commencera par introduire le corps des nombres -adiques comme exemple de corps local non-archimédien et on rappellera les définitions nécessaires au cadre de l’exposé. On vérifiera ensuite cette conjecture pour les cuspidales de niveau 0 de .

Nous nous intéressons à l’estimation de la première valeur propre du Laplacien-Dirichlet (). Nous commençons par rappeler les inégalités classiques entre et d’autres quantités, puis nous présentons un diagramme dit de Blaschke-Santallo liant au périmètre et au volume. Ce type de diagrammes permet de visualiser de manière claire les inégalités possibles entre les différentes quantités considérées. Nous terminons l’exposé avec la démonstration de quelques nouveaux résultats sur le diagramme. Ce travail est en cours avec Antoine Henrot et Jimmy Lamboley

Soit X un sous-ensemble fini d’un espace euclidien, donné par le résultat d’une expérience scientifique. Si l’on croit que X cache une structure topologique intéressante (par exemple s’il est proche d’une sous-variété M) et que l’on essaye de la comprendre, alors on dit que l’on fait de l’Analyse Topologique des Données. Plutôt que de reconstruire (au type d’homotopie près) la sous-variété sous-jacente M à partir de X (procédure instable et difficile en grande dimension), la théorie de l’homologie persistante permet d’estimer l’homologie (singulière) de M à partir de X, à travers ce que l’on appelle le diagramme de persistance de X. J’expliquerai dans cet exposé le formalisme algébrique dans lequel s’exprime cette théorie, avec des exemples de nature topologique.

Some results on complex analysis in several variables : First of all, I will recap the notion of holomorphic function in one variable with some specific results like maximum principle, zeros theorem, etc... Next, I will introduce the concept of holomorphy in several variables and I will show the similarities and differences between one variable and several variables. Finally, (if I have time), I will present the Weirstrass theorem and the hartogs extension theorem.

L’algèbre de Hecke et ses catégorifications L’algèbre de Hecke est un objet central de la théorie des représentations. C’est une déformation de l’algèbre du groupe d’un système de Coxeter quelconque qui apparaît naturellement dans différents contextes, notamment dans la théorie des représentations des groupes finis de type de Lie (dans ce cas on considère un groupe de Weyl, et le paramètre de déformation q est spécialisé au nombre de points du corps fini considéré). Dans cette algèbre, Kazhdan et Lusztig ont mis en évidence une base canonique qui est à l’origine des polynômes qui portent leurs noms, et ont formulé des conjectures devenues classiques (concernant notamment la positivité des coefficients de ces polynômes, et leur lien avec certaines formules de caractères). Les réponses à ces questions ont été trouvées par des techniques différentes qui ont néanmoins un trait commun : la construction et l’étude de ce qui s’appelle une catégorification de l’algèbre de Hecke. Dans l’exposé on rappellera les notions de base pour la définition de l’algèbre de Hecke et des polynômes de Kazhdan-Lusztig, et pour la formulation des conjectures. Ensuite, on donnera des exemples de catégorifications (de nature géométrique ou algébrique) et on mentionnera comment on peut les utiliser pour répondre à ces questions.

La thématique sous-jacente à cet exposé est l’étude des représentations du groupe symétrique. Plus généralement, on peut étudier les algèbres d’Ariki-Koike, également appelées algèbres de Hecke cyclotomiques de type . Un théorème de Dipper-Mathas donne une équivalence de Morita entre algèbres d’Ariki-Koike. En pratiques, ce théorème assure qu’il suffit d’étudier les représentations des algèbres d’Ariki-Koike pour certains choix de paramètre seulement. Une démonstration de ce résultat peut se faire à l’aide du formalisme des algèbres de Hecke carquois. C’est cette approche que nous adoptons afin d’énoncer un théorème d’équivalence de Morita dans le cadre des algèbres de Hecke cyclotomiques de type .Pour cela, on a unifié plusieurs définitions d’algèbres qui jouent le rôle des algèbres de Hecke carquois pour le type .

Les groupes quantiques apparurent au milieu des années 1960 comme cas particuliers de déformations de certaines algèbres de Lie : il s’agit alors d’algèbres non-commutatives, munie d’une structure similaire à celle des algèbres de fonctions d’un groupe, munie de certaines propriétés que nous détaillerons, et dont nous donnerons les quelques premiers exemples historiques. Dans la suite de l’exposé, nous nous concentrerons sur une version beaucoup plus récente des groupes quantiques (aspects topologiques et mesurables), dotées de nombreuses constructions similaires aux groupes topologiques classiques (mesure de Haar, représentation, classification des représentations, théorème de Peter-Weyl, dualité de Tannaka-Krein), que nous détaillerons. Enfin, dans une dernière partie, nous montrerons les liens qui existent entre géométrie non-commutative et les groupes quantiques, illustrant ainsi l’utilité de ces derniers en tant que groupes de symétrie de certaines-variétés non-commutatives.

In 1987, Deligne proved a type of Riemann-Roch theorem, which aims to relate geometric and arithmetic properties of compact Riemann surfaces endowed with smooth hermitian metrics. When trying to apply this result to the case of modular curves, we find that there is a crucial hypothesis that is not satisfied : the Poincaré metric does not behave nicely and has singularities at some points. The purpose of this talk is to present a method, called analytic surgery, which we can use to avoid these singularities and get a variation of Deligne’s results. Some unexpected applications stem from these considerations, such as explicit values of some derivatives of Selberg zeta functions.

The object of this talk is the study of substitutive sequences, i.e. infinite sequences obtained by the iteration of a morphism defined on a finite set of letters. We will focus on the following question : given a primitive substitutive sequence , does there exist a letter that occurs in arithmetical progression ? In other words, does there exist a letter and two integers and such that for all  ? Our method mainly relies on the relationship between constant arithmetical subsequence and eigenvalues associated to the underlying dynamical system. Its study leads to a necessary condition for the existence of constant arithmetical subsequence. We will then explain a method to compute algorithmically the set of rational eigenvalues associated to a substitution. We can then deduce, given an integer , if the sequence x contains a letter in arithmetical progression of period .

We will present some of the fundamental ideas of algebraic topology up to the developement of simplicial sets and a scratch simplicial sheaf cohomology, starting from intuitive points of view.

We consider a Crank-Nicolson scheme to approximate analytical solutions to the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation (gBBM) with white noise dispersion. This equation reads, for , the one-dimensional torus , where is a standard real valued Brownian motion and o is the so-called Stratonovich product. We choose a functional space in which the problem is well posed and we study the strong error order of the time-discrete approximation. Due to the presence of a brownian motion we prove that the strong error order of this Crank-Nicolson scheme is 1 instead of 2 for the determinist equation.

Electrical impedance tomography (EIT) is an imaging technique that reconstructs the conductivity distribution of a body using electric currents. It is known to be an ill-posed inverse problem and so, EIT has been studied extensively and remains an area of active research. In this talk, metaheuristic algorithms are introduced as an alternative way of solving EIT.

Les algèbres aimables, associées à un carquois, sont des algèbres qui admettent une description simple, et qui donnent de bonnes propriétés aux modules sur ceux-ci. Leur description peut nous amener à une combinatoire vaste, dont l’interprétation amène à des résultats qui n’auraient pas été aussi simple d’obtenir autrement. En travaillant les dissections dualisables de surface qui leur sont associées, nous nous positionnerons dans un cas particulier parmi les dissections dualisables de polygone, et nous présenterons la combinatoire des accordéons, qui sont associés aux marches maximales sur le carquois bourgeonnant associé à la dissection. Nous allons ici, au long de cette discussion, présenter les différents aspects de cette combinatoire, au travers plusieurs jeux autour des carquois qui font leur structure. Et nous mettrons en évidence quelques résultats combinatoires et leur interprétation au sens des représentations.

In microwave imaging, we try to reconstruct the refractive index in a domain from boundary measurements. Those who were here these last years may remember that I already wrote an algorithm to localize perturbations with a good precision. This year, we are interested in another topic, the uniqueness question : does this inverse problem admit a unique solution ? Good question ! We will try to answer it, with a brand new theoretical result, and a theoretical and numerical tool allowing us to have a constructive proof. As slides will be in English, I’ll allow myself to talk in French. Your ears will surely be thankful for this decision. Identifiabilité d’un Problème Inverse et Quasi-Réversibilité En imagerie micro-ondes, on cherche à reconstruire l’indice de réfraction d’un domaine avec des mesures surfaciques. Ceux qui étaient là les années précédentes ont déjà pu voir que j’arrivais à localiser des perturbations assez fidèlement. Cette année, on change de sujet, et on s’intéresse à l’identifiabilité : ce problème inverse admet-il une solution ? Bonne question ! Nous allons justement tenter d’y répondre, avec un tout nouveau résultat théorique, et un outil aussi bien théorique que numérique qui rend la preuve constructive.

We will see through the example of the Wright-Fisher model how an appropriate rescaling allows us to approximate a sequance of Markov chains by a diffusion process.

In this talk, I will introduce the very basics of representation theory of complex algebraic groups through the theory of Armand Borel and André Weil. The main idea is to give an explicit description of irreducible rational representations of an algebraic group (associated to a dominant integral weight) using almost only the geometry of the flag variety , and more precisely the cohomology of some line bundles on it. As a warm up, I will recall the theory of representations of finite groups, which reduces (on at least) to the theory of characters. Then, I shall move on to the algebraic group case, with some reminders on basic algebraic geometry, and then explain the strategy of Borel and Weil. If time permits, I will finish by giving the extension of this by Raoul Bott, and by investigating the case of , whose irreducible rational representations fall all at once, using Borel-Weil theorem.

The purpose of this presentation is to describe on an example how to get a numerical scheme by using the relaxation method. The aim of this method is to make fast and easy the resolution of a Riemann problem, which is an essential ingredient to build a finite volume scheme. Also, we will see a technique to improve the scheme’s order before ending by some numerical results

In this talk we will discuss some classical results about the Inverse Galois Problem, such as Hilbert’s irreducibility theorem, the correspondence between Riemann surfaces and extensions of the field of rational functions in one complex variable and, finally, Riemann’s existence theorem.

The aim of this talk is to present the existence results for a class of quasi- linear elliptic problems in a two-component domain and L1 data. I will first give the necessary definitions and assumptions, including the defini- tion of a renormalized solution. I will then discuss the sketch of the proof of the existence of a renormalized solution. Our main goal is to perform the homogenization process to this class of equations, so I will also present a very brief introduction to the theory of homogenization.

We will introduce the notion of directional dynamical cubes and directional regionally proximal relation defined via these cubes for a minimal -system. We will see the structural properties of systems that satisfy the so-called unique clsoing parallelepiped property and we characterize then in several ways. Finally, we will completely describe distal -systems that satisfy the unique closing parallelepiped property and provide explicit examples.

On sait développer un réel dans une base entière (base 10, base 2...), mais il est aussi possible de développer un réel en base non entière. Cependant, l’écriture d’un réel dans une telle base n’est pas unique. Dans cet exposé, on présentera une écriture particulière d’un réel en base strictement compris entre 1 et 2 (écriture dite gloutonne, ou greedy). On regardera le développement en base d’un point de vue dynamique, avec l’obtention d’une expression d’une mesure de probabilité invariante et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Ce point de vue peut être généralisé au cas aléatoire, qui permet d’obtenir tous les développements en base d’un réel .

Animals, including humans, are able to learn new spatial locations after a single visit [1,2,4]. This property, also termed one-shot learning, is challenging to capture in artificial agents in biologically realistic set-ups, and its underlying mechanisms are in the focus of ongoing experimental and theoretical research. I will present an approach to modelling spatial learning and navigation of an agent in a circular open field maze, using Temporal Difference learning (TD learning), adapted from [3]. I will discuss the performances of this model and compare them to performances of rodents in the lab. I will then present possible improvements that I have been working on as part of my PhD. [1] Bast, T., Wilson, I. A., Witter, M. P., and Morris, R. G. (2009). PLoS biology. [2] Buckley, M.G. and Bast, T., 2018. Hippocampus. [3] Frémaux, N., Sprekeler, H. and Gerstner, W., (2013), PLoS computational. [4] Steele, R.J. and Morris, R.G.M. (1999). Hippocampus.

In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology, algebraic geometry and differential geometry behave as they "run round" a singularity. As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from "running round singly". It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification ; the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we "run round" a path encircling a singularity. The failure of monodromy can be measured by defining a monodromy group : a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we "run round" in one dimension. Lack of monodromy is sometimes called polydromy.

For a a given natural number, what is the probability that a creates k carries when it is added to an another natural number ? To answer this question, we look at the sum-of-digits function and at some sets defined by this function. Of course, everything depends on the base where you are writing numbers. Several articles exist such as Jordan Emme and Pascal Hubert’s one which shows that, in a sense, the probability law tends towards a normal law when a is written in binary. In this talk, we will generalize the beginning of their paper by showing an equivalent of the variance.