Séminaires doctorant en 2018

Après avoir présenté quelques-unes des idées essentielles de la théorie de l’évaluation des options, on présentera le modèle de Black & Scholes. Dans ce modèle de marché, le prix d’une option se calcule en résolvant une EDP parabolique et le problème inverse associé est celui de la reconstruction d’un paramètre ("la volatilité") de la dynamique de l’actif sous-jacent. La résolution de ce problème inverse fait apparaître une des limites du modèle et motive le développement de modèles plus fins pour le sous-jacent. On évoquera alors à ce sujet le modèle de Dupire en insistant sur le changement de point de vue qu’il propose et l’impact que cela a sur le traitement pratique du problème inverse. Enfin on proposera un modèle de marché à changement de régime dans lequel le prix d’une option se calcule en résolvant un système d’EDP paraboliques et on cherchera à savoir, dans un cas simple, si l’observation des prix d’options sur le marché détermine la dynamique du sous-jacent et en particulier sa volatilité.

The theory of operads is a young theory, yet more and more conferences’ titles and abstracts contain the term. Maybe, to this day, when you’d read it, you’d think this conference is not for you ? The first aim of this talk will be to give the very basic motivations for the theory of operads, with no prerequisite higher than that of a licence of mathematics. The second part of this talk will set the basic categorical background for this theory as it is presented in modern literature, along with motivating examples, such as algebraic enveloping theorems, the topological operad of little disks and Peter May’s recognition theorem. Time permitting, the end of the talk will be devoted to the invariant version of algebraic operad theory and its connections with polynomial type operations on vector spaces.

Dans cet exposé, je présenterai d’abord la notion d’équivalence d’homotopie entre espaces topologiques, et expliquerai comment les groupes d’homotopies permettent de les comprendre, c’est le théorème de Whitehead. Dans un second temps, je montrerai à travers des exemples ce que sont les espaces stratifiés, et comment définir une bonne notion d’équivalence d’homotopie pour ces espaces. On verra finalement qu’on peut définir une généralisation des groupes d’homotopies pour ces espaces, qui permet d’exprimer et de prouver une version stratifée du théorème de Whitehead.

In this talk, we will present Goursat’s lemma. It presents a way to figure all the subgroups of a product of groups. We will give some basic examples with finite cyclic groups. We then try and understand how to find all the subgroups whose projections upon each factor are onto. Finally, we will study the example of the image of Artin groups inside finite Iwahori-Hecke algebras.

Différents modèles couplant l’hydrodynamique et le transfert de rayonnement sont utilisés pour l’étude d’écoulement intervenant en physique stellaire. L’une des stratégies utilisées consiste à coupler les équations d’Euler avec le modèle M1. Ce modèle comprend à la fois les variables hydrodynamiques classiques (telles que la densité, la pression, le champ de vitesse et l’énergie totale) et les variables radiatives (telles que l’énergie radiative, la pression radiative et le flux radiatif). Cependant, lorsque le milieu est optiquement très épais, le libre parcours moyen des photons est très petit devant la longueur caractéristique du milieu et les effets radiatifs peuvent être considérés comme locaux. Il est possible de montrer que le modèle complet se réduit à un modèle simplifié où une équation de diffusion est ajoutée pour tenir compte des processus radiatifs. Nous nous intéresserons à la résolution numérique de ce modèle simplifié et nous présenterons des résultats obtenus dans ce régime où le milieu est optiquement très épais.

Etude de l’influence d’un bruit blanc sur les solutions de l’équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). L’étude du problème déterministe est connue mais présente cependant une difficulté dans le cas d’une équation non linéaire. On en donne ici la solution sous forme de Duhamel, que l’on appelle aussi « solution mild ». Dans le cas stochastique, un résultat important d’existence et d’unicité est démontré. Les solutions s’expriment également sous forme de Duhamel et des simulations numériques permettent de les visualiser. Les solutions aux deux problèmes possèdent certains invariants (notamment la norme H1) mais présentent aussi une décroissance en norme infinie que l’on appelle dispersion.

In this talk, we will speak about the complexity functions of an infinite sequence, which measures the randomness of the sequence. After general results, we will focus on substitutive sequences : in this case, only a few classes of functions can be complexity functions. We will finish with some examples.

Qu’entend-t-on par « espace non-commutatif » ? Pour le comprendre, nous ferons tout d’abord un détour furtif par l’univers de la géométrie algébrique afin d’apercevoir la correspondance (correspondance de Gelfand) liant les espaces de fonctions et les espace « réels » sous-jacents (via la théorie des idéaux). Ainsi, de façon rigoureuse, nous définirons un espace non-commutatif comme étant l’espace sous jacent symbolique (puisqu’il n’existe pas à proprement parler) d’un espace de fonction dont on omettrait la commutativité. Fort de cela, nous pourrons enfin définir la théorie des -algèbres (équivalent non-commutatifs des espaces topologiques) et celle des algèbres de von Neumann (équivalent non-commutatifs des espaces mesurés). Il sera alors naturel de se poser deux questions : peut-on étendre cette construction du « non-commutatif » à d’autres catégories d’objets ? Nous verrons que la réponse est partiellement positive, en donnant notamment trois types d’exemples : construction de Connes pour certaines variétés (généralisant les variétés spinorielles compactes), catégorie des groupes quantiques topologiques (généralisant les groupes compacts ou localement compacts), ou, plus simplement, pour une -algèbre A, la catégorie des A-module projectif de type fini (généralisant les fibrés vectoriels continus). La seconde interrogation légitime est de savoir si certaines constructions naturelles inhérentes aux espaces précédemment cités s’étendent à leurs variantes non-commutatives ; nous verrons que c’est partiellement le cas : nous expliquerons ainsi comment obtenir la dimension d’une variété spinorielle compacte, comment définir la notion de représentation ou d’action d’un groupe quantique compact et nous survolerons, enfin, la construction d’une K-théorie des - algèbres, dont nous décrirons l’analogie avec la K-théorie des espaces topologiques classiques.

Le groupe de congruence est un groupe de matrices à coefficients entiers, bien connu des arithméticiens. Comme n’importe quel groupe, il est filtré par sa suite centrale descendante, et le gradué associé à cette filtration est un anneau de Lie (c’est-à-dire une algèbre de Lie sur ). En s’appuyant sur des travaux classiques de Bass, Milnor et Serre, on peut donner une description explicite de l’anneau de Lie du groupe de congruences, qui n’est autre qu’une algèbre de Lie de matrices à coefficients dans .

Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les espaces de Sobolev sont les espaces fonctionnels naturels quand on veut résoudre des équations aux dérivées partielles. Premièrement, nous verrons à travers quelques exemples que les espaces C^0, C^1, etc., ne sont pas très adaptés. Ensuite, nous introduirons les espaces de Sobolev et nous expliquerons pourquoi l’introduction de tels espaces semble "naturelle" pour l’étude d’équations aux dérivées partielles.

Dans cet exposé, je parlerai de foncteurs de pré-composition entre deux catégories de foncteurs, en partant de zéro. Dans le temps qu’il restera, je parlerai du lien que l’on peut faire entre foncteurs de Mackey standards et cohomologiques en utilisant un tel foncteur, et du lien entre foncteurs de Mackey globaux et foncteurs à bïensembles.

Simplicial Sets is a combinatorial-like category that can be used to study homology theory of topological spaces (and more). It came as a significant the discovery that for intersection homology there is a model as well, which enhances simplicial sets : The filtered simplicial sets. In this talk we construct such category from very simple mathematical structures, and explain it’s relation with simplicial sets, partitions and intersection homology.

Le modèle de Wright-Fisher permet de représenter la dynamique d’une communauté forestière, son analyse nous donne en outre le temps moyen d’extinction d’une espèce. Néanmoins, le nombre de possibilités explose lorsque la taille de la communauté augmente, il est donc intéressant d’étudier la limite de tels processus lorsque ce paramètre tend vers l’infini.

Pour le congrès international des mathématiques de 1900, D.Hilbert propose une liste de 23 problèmes. Parmi cela, on trouve celui qui porte désormais le nom de "problème de Riemann-Hilbert" formulé comme suit :"Montrer qu’il existe toujours une équation différentielle linéaire du type Fuchsien à points singuliers donnés et à groupe de monodromie fixé." Dans un premier temps, nous définirons la notion de système différentielle Fuchsien et nous nous intéresserons à leur monodromie. Puis nous établirons l’équivalence entre les représentations de dimension finie du groupe fondamental d’une variété analytique complexe et les fibrés vectoriel holomorphe sur muni d’une connexion plate. Enfin, si le temps le permet, nous nous intéresserons au cas , où est une hypersurface de .

Après une brève introduction à la théorie des représentations des groupes finis, je parlerais des groupes réductifs finis, analogue des groupes de Lie "dans le cas fini". Dans une seconde partie, je définirais les variétés de Deligne-Lusztig et j’expliquerais comment l’étude de ces variétés a permis de faire avancer nos connaissances sur les représentations des groupes réductifs finis.

Pendant cet exposé, je donnerai une introduction à l’optimisation semi-définie positive (SDP) et présenterai les problèmes primal et dual. Je donnerai ensuite quelques résultats théoriques. En deuxième partie, j’exposerai les idées générales de l’algorithme du point intérieur dédié à la résolution numérique des problèmes SDP. En troisième partie, et si le temps le permet, je présenterai une application au problème de régulation de tension.

In this talk, I will expose some basic ideas about what is called Schubert calculus. It takes place in the context of enumerative geometry, which consists - roughly speaking - in counting the number of solutions of a given geometric problem. The idea of Schubert is to make symbolic calculations on geometric conditions in a configuration space, and it may give amazing results, such as "There are 3264 conics that are tangent to 5 given conics". However, it may be very complicated to justify Schubert’s computations rigorously. In fact, this is the question asked by Hilbert’s 15th problem. First, I will give an intuitive approach to Schubert calculus, by explaining how to solve the so called ’four lines problem’ in Schubert’s way. Then, I will try to justify these computations using algebraic topology, and more precisely Chern classes and Poincaré duality, in an algebraic geometry setting. If time permits, I will finish by introducing flag varieties of compact connected semisimple Lie groups, and the link between them and Grassmann varieties.

The brain is an organ with high energy needs. While it represents only 2% of the body weight it grabs at least 20% of its total energy needs. The consumed energy can come from many forms such as glutamate, glucose, oxygen and also lactate. Moreover energy is necessary to support neural activity. But because energy management in healthy and tumoral cells can be difficult to observe and explain experimentally, we use mathematical modeling to help to describe and understand cells energy changes. We present here a fast-slow system describing the locals mechanisms of interest. We will also compare simulations with MRS data and discuss our results.

La croissance de bactéries est modélisée avec succès depuis plusieurs décennies par les équations de populations structurées, cependant le mécanisme régissant le déclenchement de la division reste un sujet ouvert. Dans cet exposé, je commencerai par présenter brièvement les traditionnels modèles en âge puis en taille, ainsi que quelques résultats les concernant. Puis j’introduirai un modèle récent, dit incrémental, qui a été proposé par des équipes de biologistes. Dans ce modèle, la division est déclenchée par la quantité dont une bactérie a grandi depuis sa naissance, tandis que sa vitesse de croissance est gouvernée par sa taille actuelle. Cette description présente des propriétés qualitatives prometteuses et appelait donc à une analyse mathématique. On s’intéressera ici au cas où la croissance est exponentielle, et évoquera rapidement le lien avec les processus stochastiques à valeur mesure. Sous des hypothèses assez générales sur la division, je prouverai en premier lieu l’existence d’une unique fonction propre N (a, x) positive dans un espace L^1 un poids polynomial. Pour ce faire, j’introduirai la notion de relation d’ordre, de treillis et d’idéaux dans un espace de Banach afin d’appliquer des résultats d’analyse fonctionnelle. Ensuite, en supposant l’existence d’une solution en temps n(t, a, x) et avec une hypothèse classique supplémentaire liant n et e^t N, on exhibera une inégalité d’entropie, avant de dire quelques mots sur le comportement en temps long des solutions de ce système.

La croissance de bactéries est modélisée avec succès depuis plusieurs décennies par les équations de populations structurées, cependant le mécanisme régissant le déclenchement de la division reste un sujet ouvert. Dans cet exposé, je commencerai par présenter brièvement les traditionnels modèles en âge puis en taille, ainsi que quelques résultats les concernant. Puis j’introduirai un modèle récent, dit incrémental, qui a été proposé par des équipes de biologistes. Dans ce modèle, la division est déclenchée par la quantité dont une bactérie a grandi depuis sa naissance, tandis que sa vitesse de croissance est gouvernée par sa taille actuelle. Cette description présente des propriétés qualitatives prometteuses et appelait donc à une analyse mathématique. On s’intéressera ici au cas où la croissance est exponentielle, et évoquera rapidement le lien avec les processus stochastiques à valeur mesure. Sous des hypothèses assez générales sur la division, je prouverai en premier lieu l’existence d’une unique fonction propre positive dans un espace un poids polynomial. Pour ce faire, j’introduirai la notion de relation d’ordre, de treillis et d’idéaux dans un espace de Banach afin d’appliquer des résultats d’analyse fonctionnelle. Ensuite, en supposant l’existence d’une solution en temps et avec une hypothèse classique supplémentaire liant et , on exhibera une inégalité d’entropie, avant de dire quelques mots sur le comportement en temps long des solutions de ce système.

In this talk, I will talk about PDEs while trying to be understood by non-specialists. Rather than presenting some recent results, I will focus on a classical and beautiful theorem. The proof rests on a technic, called the "Moving Plane Method", introduced by Alexandroff in the 40s for geometrical matters, and then widely used in PDEs as combined with the "Maximum Principle". This method, apart from being very elegant, is very efficient, robust, and give a grasp of the deep links between geometry and PDEs. At first, I will present how the Moving Plane was originally introduced and used to derive an elegant proof of the Isoperimetric Inequality (for a given perimeter, the only bounded domain in which maximizes the volume is the ball). In a second step, I will briefly introduce the Maximum Principle, try to give a grasp of it, and infer a couple of corollaries which will be useful for the sequel. The Maximum Principle is the real core of the theory of elliptic PDEs. The main aim will be to show you how the Moving Plane Method can be combined with the Maximum Principle, and applied to PDEs, through the proof of the Gidas-Ni-Niremberg Theorem (1979) : This is a fundamental result, and in my opinion the proof is one of the most beautiful we can find in the elliptic PDE theory.

Dans cet exposé, je parlerai de ce que le titre annonce, en m’appuyant abondamment sur des exemples. Je tâcherai en particulier d’expliquer le théorème de classification des représentations simples. L’exposé sera autant que possible self-contained and will be given in English.

Présentation de 3 modélisations différentes d’un même phénomène biologique. La différence entre ces modèles est le type d’équations différentielles utilisé : ordinaires, partielles et stochastiques. Le système étudié est dit lent/rapide (pour les connaisseurs). En gros, on observe deux populations, l’une avec une dynamique très lente l’autre plus rapide. Puis on introduit un paramètre d’échelle qui permet de mesurer la lenteur en question et on s’intéresse au comportement du système limite lorsque tend vers 0. L’idée est de parler des approches théoriques et numériques pour ces 3 modèles dans le temps imparti.

Stratified spaces were first introduced as a tool to study the topology of singular spaces coming from algebraic geometry. Nevertheless, some of the invariants of those stratified spaces can be defined for a large class of objects, not limited to the original geometrical examples. In this talk, I will explain how one of those invariants, the filtered homotopy groups, can be used to study knots. After a brief introduction to the subject of knot theory, I will explain how one can see a knot as a stratified space. Then I will explain the definition of the filtered homotopy groups and show how one can study knots by computing their filtered homotopy groups.

L’exposé présentera d’abord des généralités sur la notion d’algèbre amassée, vue d’un point de vue combinatoire et sur sa représentation en terme de carquois. Puis il parlera d’algèbre et de modules sur une algèbre et en particulier sur l’algèbre préprojective qui possède une structure amassée intéressante, encore une fois liée aux carquois. Enfin il détaillera la façon dont on détermine une structure d’algèbre amassée sur les modules sur l’algèbre préprojective, afin de voir une illustration plus "appliquée" de la notion d’algèbre amassée.