événements en 2018

Étant donné un treillis distributif fini T, la catégorie des correspondances généralisées (à valeurs dans T) a pour objets les ensembles finis et pour flèches de X vers Y les applications Y × X → T ; un foncteur de correspondances généralisées sur un anneau commutatif k est alors un foncteur de cette catégorie vers la catégorie des k-modules. Le cas où T est le treillis à deux éléments a été étudié par Serge Bouc et Jacques Thévenaz. Ils ont obtenu une bonne description des foncteurs simples dans ce cas, notamment un paramétrage d’iceux et une formule explicite donnant le rang sur k de leurs évaluations. Dans cet exposé, j’expliquerai comment généraliser ce paramétrage au cas où T est quelconque, en utilisant la notion de polygone sur un treillis.

Buan, Marsh et Reiten en 2008, ont démontré un résultat intéressant à propos des catégories triangulées. Si C est une catégorie triangulée, et T un objet amas-basculant, alors le quotient C/\Sigma T est une catégorie de modules. On démontre ici un résultat similaire pour les catégories de Frobenius, et plus généralement exactes. L’idée est la suivante : Quillen a démontré en 1967 que, si C est une catégorie de modèles, alors sa localisation (obtenue à partir de C en inversant toutes les équivalences faibles) est équivalente à la sous-catégorie des objets fibrants et cofibrants (à homotopie près). Palu en 2014 a démontré que l’on pouvait munir une catégorie triangulée d’une structure de modèle faible. A partir de la réflexion selon laquelle la catégorie stable d’une catégorie de Frobenius est triangulée, nous chercherons à munir une catégorie E de Frobenius d’une structure de modèle, puis utilisons le théorème de Quillen pour démontrer que la localisation de E est une catégorie de modules. Si le temps le permet, nous montrerons que, bien que les catégories exactes ne soient pas munies d’une structure de modèle, elles vérifient le théorème de Quillen

Quand on cherche à caractériser les formes convexes pouvant paver le plan (en s’autorisant les rotations et miroirs), seul le cas des pentagones restait ouvert. De 1918 à 2015, 15 différents types de pentagones pouvant paver le plan ont été découverts. Je présenterai une recherche exhaustive de tous les pentagones convexes pavant le plan qui permet de clore cette question. La preuve se sépare en deux parties : la première montre, en utilisant la compacité, qu’on peut se limiter à un ensemble de 371 familles, et la seconde est une recherche exhaustive informatisée, pour chacune des 371 familles, qui ne trouve aucun nouveau type de pentagones que les 15 types connus.

Après avoir présenté quelques-unes des idées essentielles de la théorie de l’évaluation des options, on présentera le modèle de Black & Scholes. Dans ce modèle de marché, le prix d’une option se calcule en résolvant une EDP parabolique et le problème inverse associé est celui de la reconstruction d’un paramètre ("la volatilité") de la dynamique de l’actif sous-jacent. La résolution de ce problème inverse fait apparaître une des limites du modèle et motive le développement de modèles plus fins pour le sous-jacent. On évoquera alors à ce sujet le modèle de Dupire en insistant sur le changement de point de vue qu’il propose et l’impact que cela a sur le traitement pratique du problème inverse. Enfin on proposera un modèle de marché à changement de régime dans lequel le prix d’une option se calcule en résolvant un système d’EDP paraboliques et on cherchera à savoir, dans un cas simple, si l’observation des prix d’options sur le marché détermine la dynamique du sous-jacent et en particulier sa volatilité.

Les espaces topologiques stratifiés apparaissent naturellement dans de nombreux domaines. Leur étude utilise des objets, tels que la cohomologie d’intersection, qui ne sont pas préservés par les équivalences d’homotopie, mais seulement par les équivalences d’homotopie stratifiées. En travaillant avec des ensembles simpliciaux, la notion d’équivalence d’homotopie stratifiée permet de définir une catégorie de modèle vérifiant un certain nombre de bonnes propriétés (simpliciale, engendrée de façon cofibrante...). On présentera cette construction, ainsi que celle d’un nouvel invariant du type d’homotopie stratifié : les groupes d’homotopie filtrés. Puis on verra comment cet invariant peut être appliqué au cas des espaces topologiques stratifiés pour produire une version stratifiée du théorème de Whitehead. On présentera des exemples d’application de ce théorème, reliant la notion d’homotopie stratifié avec celle d’isomorphisme de diagrammes de groupes.

A problem that goes back to Hurwitz and the 19th century is to enumerate (reduced) factorizations of the long cycle of into factors from prescribed conjugacy classes. As it happens, and this is a common theme in combinatorics, this question of the symmetric group has a meaningful analog for the other reflection groups as well : The long cycle is replaced by the Coxeter element. Bessis gave a beautiful geometric interpretation of such factorizations by using a variant of the Lyashko-Looijenga map, a finite morphism coming from Singularity theory. In that setting, there is a natural bijective correspondence ("Trivialization Theorem") between points in a generic fiber of the LL-map, and reduced reflection factorizations of a Coxeter element c of W. This was fundamental in Bessis’ dual braid presentation of the generalized braid groups , but still relies on a case-by-case proven numerological coincidence ! We review the important geometric properties of the map and present new results obtained by further analysis of its local behavior. These include enumerating wider classes of factorizations, as well as counting factorizations with prescribed symmetries (in fact, we prove various cyclic sieving phenomena). We also suggest a uniform approach towards the proof of the Trivialization Theorem.

The theory of operads is a young theory, yet more and more conferences’ titles and abstracts contain the term. Maybe, to this day, when you’d read it, you’d think this conference is not for you ? The first aim of this talk will be to give the very basic motivations for the theory of operads, with no prerequisite higher than that of a licence of mathematics. The second part of this talk will set the basic categorical background for this theory as it is presented in modern literature, along with motivating examples, such as algebraic enveloping theorems, the topological operad of little disks and Peter May’s recognition theorem. Time permitting, the end of the talk will be devoted to the invariant version of algebraic operad theory and its connections with polynomial type operations on vector spaces.

Comment trouver tous les n-uplets des entiers positifs pour lesquels le produit des -matrices de la forme est égal à la matrices unité (ou à , ou à une racine carré de ) ? De manière surprenante, la réponse est liée à la combinatoire classique, notamment aux triangulations des -gones et leurs dissections plus générales. J’expliquerai comment des produits des matrices ci-dessus appairaient naturellement dans trois domaines différents.

Les célèbres fibrations de Hopf sont des fibrations des sphères par des grandes sphères. Il existe trois familles de ces fibrations et une exceptionnelle ; la plus connue est la fibration de la sphère de dimension 3 par des grands cercles. Nous allons "visualiser" les fibrations de Hopf dans l’espace euclidien et investiguer les divers liens avec la combinatoire et la théorie des nombres, notamment avec la fonction de Hurwitz-Radon.

Dans cet exposé, je présenterai d’abord la notion d’équivalence d’homotopie entre espaces topologiques, et expliquerai comment les groupes d’homotopies permettent de les comprendre, c’est le théorème de Whitehead. Dans un second temps, je montrerai à travers des exemples ce que sont les espaces stratifiés, et comment définir une bonne notion d’équivalence d’homotopie pour ces espaces. On verra finalement qu’on peut définir une généralisation des groupes d’homotopies pour ces espaces, qui permet d’exprimer et de prouver une version stratifée du théorème de Whitehead.

In this talk, we will discuss a pro- group whose finite quotient groups give your "favourite" Sylow -subgroups of , for all positive integers , and odd. Elaborating from work by Weir in the 50s and recent results by Bier and Holubowski, we will dip into the subgroup structure of . Time permitting, we will also discuss field extensions, a -adic variant of and Hausdorff dimensions of some closed subgroups.

In this talk, we will present Goursat’s lemma. It presents a way to figure all the subgroups of a product of groups. We will give some basic examples with finite cyclic groups. We then try and understand how to find all the subgroups whose projections upon each factor are onto. Finally, we will study the example of the image of Artin groups inside finite Iwahori-Hecke algebras.

The theory of crystal bases has been introduced by M.Kashiwara, which is applied to so many areas in mathematics and theoretical physics, e.g.,combinatorics, modular representations, statistical physics, -matrices, cluster algebras, etc. Crystal bases are, roughly speaking, bases at of the modules for quantum algebras and hold some nice combinatorial porperties. One of the most important properties of crystal bases is the tensor product theorem, which guarantees that a tensor product of crystal bases is again a crystal base and keeps the nice combinatorial properties. There are several kinds of realizations of crystal bases, e.g., tableau realization, path realization, polyhedral realization, etc. In the talk, the "monomial realization" of crystal bases will be introduced. In the monomial realization, each basis element in crystal base is given as a Laurent monomial in certain infinitely many indeterminates. We can consider usual product of such monomials but it is not clear that the product of monomials still keep the crystal base structure like as the tensor product. So the following problems are the main aims of the talk : (1) For type A, in the fundamental weight cases, does the product of monomials hold the crystal base structure ? (2) If the answer (1) is positive, how are the decomposition for the product of monomials described ? In the talk, the answers of these two problems will be explained.

Différents modèles couplant l’hydrodynamique et le transfert de rayonnement sont utilisés pour l’étude d’écoulement intervenant en physique stellaire. L’une des stratégies utilisées consiste à coupler les équations d’Euler avec le modèle M1. Ce modèle comprend à la fois les variables hydrodynamiques classiques (telles que la densité, la pression, le champ de vitesse et l’énergie totale) et les variables radiatives (telles que l’énergie radiative, la pression radiative et le flux radiatif). Cependant, lorsque le milieu est optiquement très épais, le libre parcours moyen des photons est très petit devant la longueur caractéristique du milieu et les effets radiatifs peuvent être considérés comme locaux. Il est possible de montrer que le modèle complet se réduit à un modèle simplifié où une équation de diffusion est ajoutée pour tenir compte des processus radiatifs. Nous nous intéresserons à la résolution numérique de ce modèle simplifié et nous présenterons des résultats obtenus dans ce régime où le milieu est optiquement très épais.

Etude de l’influence d’un bruit blanc sur les solutions de l’équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). L’étude du problème déterministe est connue mais présente cependant une difficulté dans le cas d’une équation non linéaire. On en donne ici la solution sous forme de Duhamel, que l’on appelle aussi « solution mild ». Dans le cas stochastique, un résultat important d’existence et d’unicité est démontré. Les solutions s’expriment également sous forme de Duhamel et des simulations numériques permettent de les visualiser. Les solutions aux deux problèmes possèdent certains invariants (notamment la norme H1) mais présentent aussi une décroissance en norme infinie que l’on appelle dispersion.

L’homologie des groupes de congruence, ou groupes linéaires sur un anneau sans unité, comporte deux structures fondamentales : des morphismes de stabilisation et une action des groupes linéaires sur les entiers (qui est induite par la conjugaison et est donc triviale pour un anneau unitaire), qu’on peut assembler à l’aide d’une structure fonctorielle adéquate. Le caractère stablement trivial de l’action des groupes linéaires (qui équivaut à une condition d’excisivité en K-théorie algébrique) en bas degré homologique a été caractérisé par Suslin en 1995 par une condition homologique simple portant sur l’anneau sans unité ; Suslin a de plus décrit le comportement stable de cette homologie pour le premier degré homologique où cette action n’est plus triviale. Je proposerai une généralisation en tout degré homologique du théorème de Suslin (résultat qui étend également des résultats obtenus pour certaines classes d’anneaux par d’autres méthodes, de nature arithmétique - Calegari 2015 - ou utilisant les FI-modules - les plus généraux étant ceux d’une prépublication de Church-Miller-Nagpal-Reinhold de 2017), qui montre entre autres que l’homologie en degré d d’un groupe de congruence définit un foncteur faiblement polynomial de degré au plus 2d (en un sens, introduit avec Vespa, qui sera rappelé dans l’exposé). La démonstration de ce résultat repose sur une suite spectrale mettant en jeu différentes théories homologiques dans les catégories de foncteurs.

Les foncteurs exponentiels apparaissent naturellement dans un certain nombre de calculs homologiques (homologie des groupes, des foncteurs...). Dans cet exposé, nous donnerons quelques résultats de structure des foncteurs exponentiels et des applications à des calculs concrets.

Cet exposé présente quelques aspects de l’étude de modèles de matrices aléatoires, notamment le comportement des valeurs propres en grande dimension. Un effort particulier est fait pour mettre en avant la structure et les méthodes, entre analyse, probabilités, et physique statistique.

In this talk, we will speak about the complexity functions of an infinite sequence, which measures the randomness of the sequence. After general results, we will focus on substitutive sequences : in this case, only a few classes of functions can be complexity functions. We will finish with some examples.

Qu’entend-t-on par « espace non-commutatif » ? Pour le comprendre, nous ferons tout d’abord un détour furtif par l’univers de la géométrie algébrique afin d’apercevoir la correspondance (correspondance de Gelfand) liant les espaces de fonctions et les espace « réels » sous-jacents (via la théorie des idéaux). Ainsi, de façon rigoureuse, nous définirons un espace non-commutatif comme étant l’espace sous jacent symbolique (puisqu’il n’existe pas à proprement parler) d’un espace de fonction dont on omettrait la commutativité. Fort de cela, nous pourrons enfin définir la théorie des -algèbres (équivalent non-commutatifs des espaces topologiques) et celle des algèbres de von Neumann (équivalent non-commutatifs des espaces mesurés). Il sera alors naturel de se poser deux questions : peut-on étendre cette construction du « non-commutatif » à d’autres catégories d’objets ? Nous verrons que la réponse est partiellement positive, en donnant notamment trois types d’exemples : construction de Connes pour certaines variétés (généralisant les variétés spinorielles compactes), catégorie des groupes quantiques topologiques (généralisant les groupes compacts ou localement compacts), ou, plus simplement, pour une -algèbre A, la catégorie des A-module projectif de type fini (généralisant les fibrés vectoriels continus). La seconde interrogation légitime est de savoir si certaines constructions naturelles inhérentes aux espaces précédemment cités s’étendent à leurs variantes non-commutatives ; nous verrons que c’est partiellement le cas : nous expliquerons ainsi comment obtenir la dimension d’une variété spinorielle compacte, comment définir la notion de représentation ou d’action d’un groupe quantique compact et nous survolerons, enfin, la construction d’une K-théorie des - algèbres, dont nous décrirons l’analogie avec la K-théorie des espaces topologiques classiques.

Le groupe de congruence est un groupe de matrices à coefficients entiers, bien connu des arithméticiens. Comme n’importe quel groupe, il est filtré par sa suite centrale descendante, et le gradué associé à cette filtration est un anneau de Lie (c’est-à-dire une algèbre de Lie sur ). En s’appuyant sur des travaux classiques de Bass, Milnor et Serre, on peut donner une description explicite de l’anneau de Lie du groupe de congruences, qui n’est autre qu’une algèbre de Lie de matrices à coefficients dans .

Ceci est un travail en commun avec Alexandra Zvonareva. Les complexes envasés (silting) ont été défini par Keller-Vossieck en 1988 et ont obtenu un intérêt supplémentaire par le développement de la combinatoire des algèbres d’amas. En particulier les complexes à deux termes sont utilisés à cette fin. Demonet, Iyama et Jasso ont construit un complexe simplicial de cônes dans un qui visualise les mutations des complexes envasés à deux termes. Nous proposons une ind-variété limcomp(A) avec action d’un ind-group G(A) tel que les orbites de cette action correspondent aux classes d’isomorphisme de complexes envasés dans la catégorie homotopique de A-modules projectifs. Nous montrons que chaque composante irréductible de cette ind-variété possède une orbite ouverte si et seulement si pour chaque g-vecteur (c’est-à-dire image prédéfinie g dans le groupe de Grothendieck) il existe un complexe envasé à deux termes et avec ce -vecteur. Ceci correspond à la propriété DO dans un résultat récent de Chindris-Kinser-Weyman. Nous montrons de plus que n’admet qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de complexes envasés à deux termes si et seulement si tout est couvert par . Ceci donne une réponse affirmative à une question de Demonet, et approche une autre question de Demonet si on compare avec Chindris-Kinser-Weyman.

Soit un anneau commutatif, une -catégorie est une petite catégorie enrichie sur les -modules. Au sens de Mitchell, c’est une -algèbre avec plusieurs objets. Lorsqu’un groupe agit par -autofoncteurs de , et si l’action est libre sur ses objets de , alors la -catégorie quotient existe ; en est le revêtement galoisien. En revanche la catégorie tordue existe toujours, si l’action sur les objets est libre alors est équivalente à . La catégorie tordue peut donc être vue comme un substitut au quotient. Si l’action est libre, dans un travail avec Eduardo Marcos nous comparons les invariants et les coinvariants de la (co)homologie de Hochschild Mitchell de avec certains facteurs directs de celles de . Cela rend explicite des morphismes injectifs décrits en bas degrés par E.L. Green, J.R. Hunton et N. Snashall. Si l’action n’est pas libre, en utilisant une nouvelle catégorie nous nous ramenons au cas des revêtements galoisiens de façon à établir des résultats analogues pour la catégorie tordue.

Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les espaces de Sobolev sont les espaces fonctionnels naturels quand on veut résoudre des équations aux dérivées partielles. Premièrement, nous verrons à travers quelques exemples que les espaces C^0, C^1, etc., ne sont pas très adaptés. Ensuite, nous introduirons les espaces de Sobolev et nous expliquerons pourquoi l’introduction de tels espaces semble "naturelle" pour l’étude d’équations aux dérivées partielles.

Dans cet exposé, je parlerai de foncteurs de pré-composition entre deux catégories de foncteurs, en partant de zéro. Dans le temps qu’il restera, je parlerai du lien que l’on peut faire entre foncteurs de Mackey standards et cohomologiques en utilisant un tel foncteur, et du lien entre foncteurs de Mackey globaux et foncteurs à bïensembles.

Avec Jacques Thévenaz, dans notre étude des foncteurs de correspondances, nous avons mis en évidence le rôle fondamental joué par les ensembles ordonnés finis et les treillis finis. En particulier, nous attachons à chaque treillis fini un foncteur de correspondances, et cette construction jouit de propriétés fonctorielles remarquables. Dans cet exposé, je donnerai une caractérisation des foncteurs de correspondances ainsi obtenus (sur un corps) en termes de foncteurs exponentiels commutatifs et « semi-simples en 1 »

Les lois de la thermodynamique sont au cœur de notre vie quotidienne. Depuis Maxwell et Boltzmann, les scientifiques cherchent à expliquer les changements de chaleur ou les mélanges de liquide à l’aide de modèles microscopiques faisant intervenir un très grand nombre d’atomes en interaction. Les moyens mathématiques pour décrire le comportement de ces systèmes deviennent de plus en plus élaborés, et tentent de répondre à plusieurs questions : comment décrire les trajectoires d’un nombre gigantesque ( 1023) de molécules ? Quelle sorte de dynamique les anime ? Je vous expliquerai à l’aide d’un modèle concret comment les probabilités et l’analyse des EDP permettent de justifier rigoureusement les flux de chaleur. Pour cela, on imaginera la matière comme un gigantesque billard moléculaire chaotique !

Simplicial Sets is a combinatorial-like category that can be used to study homology theory of topological spaces (and more). It came as a significant the discovery that for intersection homology there is a model as well, which enhances simplicial sets : The filtered simplicial sets. In this talk we construct such category from very simple mathematical structures, and explain it’s relation with simplicial sets, partitions and intersection homology.

On peut interpréter les polynômes chromatiques de graphes et les polynômes d’Ehrhart de polytopes convexes en termes de structures algébriques de type Hopf : ces polynômes apparaissent comme des morphismes, uniques, préservant un produit et deux coproduits qui cointeragissent. Ces résultats sont utilisés pour redémontrer et généraliser des résultats classiques de Rota et Stanley.

La cohomologie singulière des espaces topologiques admet trois constructions classiques (équivalentes pour une vaste classe d’espaces) : simpliciale, faisceautique et en termes de classes d’homotopie à valeurs dans un espace d’Eilenberg-MacLane. Cette dernière construction homotopique a été appliquée avec grand succès pour étudier les opérations cohomologiques, développer des théories cohomologiques généralisées (K-théories, cobordismes,....). La collection des espaces d’Eilenberg-MacLane (à anneau de coefficients fixé) forme un spectre. Ainsi, on incarne une théorie cohomologique, c’est-à-dire un foncteur, comme un objet d’une catégorie triangulée : la catégorie homotopique stable des espaces topologiques. Dans cet exposé on expliquera qu’il existe un tel paysage homotopique pour la cohomologie d’intersection. Le résultat principal que l’on souhaite exposer est le fait que cette cohomologie s’incarne comme un spectre en espaces d’Eilenberg-MacLane stratifiés. Ce résultat répond de manière positive à une série de problèmes posés par Goresky et MacPherson sur des possibles fondations homotopiques pour la cohomologie d’intersection et ouvre la voie à l’étude de cohomologies d’intersection généralisées pour les espaces stratifiés.

In this talk, I present ring isomorphisms between ``-deformed’’ representation rings (=quantum Grothendieck rings) of quantum affine algebras of types and . These isomorphisms imply several new positivity properties of -characters of simple modules of type . Moreover, they specialize at to the isomorphisms between usual Grothendieck rings obtained recently by Kashiwara, Kim and Oh through other methods. This coincidence gives the affirmative answer to Hernandez’s conjecture (2002), under our setting in type : the -characters of simple modules specialize to their usual -characters. Hence, in this case, the multiplicities of simple modules in standard modules are given by the evaluation of certain analogues of Kazhdan-Lusztig polynomials whose coefficients are positive. This talk is based on a joint work with David Hernandez.

In this talk we will discuss current work with R. Lyons on the study of large finite simple groups of simultaneously even and p-type. This is a contribution to the project of D. Gorenstein, R. Lyons and R. Solomon on the Generation-2 proof of the Classification of Finite Simple Groups.

En 2009, G. Malle et J. Michel ont construit des modèles pour les représentations irréductibles des algèbres de Hecke génériques associées aux groupes de réflexions complexes de rang 2, qui sont les groupes , ... . Ces représentations dépendent des paramètres qui définissent l’algèbre de Hecke. Une question naturelle est d’étudier ce qui se passe si on spécialise ces paramètres. Les représentations irréductibles restent-elles irréductibles ? La réponse est positive, si l’algèbre de Hecke spécialisée est semi-simple. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. Dans le cas où l’algèbre de Hecke spécialisée n’est pas semi-simple, nous devons décrire la manière dont les représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke générique se décomposent en représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke spécialisée. La matrice de décomposition enregistre exactement ces informations. En 2011, M. Chlouveraki et H. Miyachi ont travaillé sur l’algèbre de Hecke cyclotomique (où l’algèbre ne dépend plus que d’un seul paramètre) associée aux groupes exceptionnels de rang 2. En spécialisant le paramètre, ils ont réussi à fournir des matrices de décomposition pour chaque cas. À ce stade, un certain nombre de questions se pose. Pourquoi ces valeurs données au paramètre fournissent-elles différentes matrices de décomposition ? S’agit-il d’une classification du cas générique ou y a t-il d’autres modèles matriciels qui ne sont pas décrits par M. Chlouveraki et H. Miyachi ? Dans cette exposé on va répondre à toutes ces questions pour les cas de , et en classifiant toutes les matrices de décomposition qui leurs sont associées.

Le modèle de Wright-Fisher permet de représenter la dynamique d’une communauté forestière, son analyse nous donne en outre le temps moyen d’extinction d’une espèce. Néanmoins, le nombre de possibilités explose lorsque la taille de la communauté augmente, il est donc intéressant d’étudier la limite de tels processus lorsque ce paramètre tend vers l’infini.

A fundamental question in representation theory of finite groups is the extent to which complex group algebra of a finite group determines the group or some of its properties‎.‎‎ ‎‎In 1963‎‎‎‎‎‎‎, ‎R. ‎Brauer ‎asked “when do ‎non-isomorphic ‎groups ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras ?”. ‎Although t‎he ‎question ‎seems to be ‎too ‎general ‎to ‎be ‎answered ‎completely, ‎it ‎has‎ ‎initiated a‎ ‎program aimed at determining all finite groups with isomorphic complex group algebras ‎‎to a given group ‎‎‎. It ‎is ‎fairly ‎possible ‎for ‎two ‎non-isomorphic solvable ‎groups ‎to ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras‎. However, it seems that (almost/quasi) simple groups have a tight connection with the structure of their complex group algebras. In 2015, it was proved by Bessenrodt-Nguyen-Olsson-Tong-Viet that quasi-simple groups are determined uniquely up to isomorphism by their complex group algebras. In this talk, I will discuss our recent works on extending this result to almost simple groups of Lie type emphasizing on projective general unitary groups of arbitrary rank (joint work with A. Iranmanesh and F. Shafiei).

Les formes modulaires sont des séries entières aux propriétés arithmétiques remarquables. Dans cet exposé, je commencerai par présenter un exemple simple de congruence entre formes modulaires. Partant de là, nous verrons comment ces congruences illustrent un lien plus profond entre certaines représentations de groupes de Galois et certaines représentations du groupe GL2.

Pour le congrès international des mathématiques de 1900, D.Hilbert propose une liste de 23 problèmes. Parmi cela, on trouve celui qui porte désormais le nom de "problème de Riemann-Hilbert" formulé comme suit :"Montrer qu’il existe toujours une équation différentielle linéaire du type Fuchsien à points singuliers donnés et à groupe de monodromie fixé." Dans un premier temps, nous définirons la notion de système différentielle Fuchsien et nous nous intéresserons à leur monodromie. Puis nous établirons l’équivalence entre les représentations de dimension finie du groupe fondamental d’une variété analytique complexe et les fibrés vectoriel holomorphe sur muni d’une connexion plate. Enfin, si le temps le permet, nous nous intéresserons au cas , où est une hypersurface de .

Je vais expliquer, d’après Francis Brown, comment certaines questions en théorie des nombres (irrationalité des valeurs de la fonction zêta) nous amènent à vouloir calculer des motifs sur des espaces de modules (ce sont des motifs de Tate mixtes : ce sont les plus simples à comprendre). Ensuite, j’expliquerai un algorithme que Clément Dupont a développé à cet escient pendant sa thèse, et son implémentation en GAP dans le package MotivesForBiarrangements, qui repose sur CAP (Categories, Algorithms and Programming, qui a été présenté à Amiens l’an dernier par Sebastian Gutsche et Sebastian Posur).

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions d’énergie minimale parmi celles qui changent de signe pour le problème de Lane-Emden −∆u=|u|^(p−2)u dans Ω, u=0 sur ∂Ω, avec Ω est un ouvert borné de R^N et p ∈ ]2, 2∗[ où 2∗ est l’exposant critique de Sobolev. La question centrale sera de déterminer le sous-groupe des symétries du domaine qui laisse invariant ces solutions (par une symétrie paire ou impaire). Nous verrons que, même pour des domaines très simples, cette question est délicate. Pour le carré, nous expliquerons comment une preuve assistée par ordinateur permet de résoudre la question pour p proche de 2.

Après une brève introduction à la théorie des représentations des groupes finis, je parlerais des groupes réductifs finis, analogue des groupes de Lie "dans le cas fini". Dans une seconde partie, je définirais les variétés de Deligne-Lusztig et j’expliquerais comment l’étude de ces variétés a permis de faire avancer nos connaissances sur les représentations des groupes réductifs finis.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Hiroyuki Nakaoka. La notion de catégorie extriangulée généralise à la fois celle de catégorie exacte et celle de (sous-)catégorie (stable par extension dans une catégorie) triangulée. Les catégories extriangulées forment un cadre bien adapté à l’étude de problèmes issus de la théorie des représentations liés aux paires de cotorsion, ainsi qu’à la théorie d’Auslander-Reiten. Dans cet exposé, je motiverai l’introduction des catégories extriangulées à travers la correspondance de Hovey en algèbre homotopique. J’expliquerai comment la donnée d’une structure de modèle "compatible" à la structure extriangulée équivaut à celle de deux paires de cotorsion, satisfaisant certaines propriétés. Ceci nous permet de démontrer que la catégorie homotopique d’une structure de modèle exacte est toujours triangulée ; ce qui n’était connu auparavant que pour les structures de modèles "héréditaires", et dans le cadre des catégories exactes (résultat dû à Gillespie).

Pendant cet exposé, je donnerai une introduction à l’optimisation semi-définie positive (SDP) et présenterai les problèmes primal et dual. Je donnerai ensuite quelques résultats théoriques. En deuxième partie, j’exposerai les idées générales de l’algorithme du point intérieur dédié à la résolution numérique des problèmes SDP. En troisième partie, et si le temps le permet, je présenterai une application au problème de régulation de tension.

La dualité de Poincaré des variétés peut être étendue à certains espaces singuliers, comme les pseudovariétés, grâce à l’homologie d’intersection de M. Goresky et R. MacPherson. Je montrerai comment un ’’éclatement simplicial’’ en donne une représentation en termes de complexes de chaînes, avec des exemples illustrant les différences entre la situation classique et celle avec singularités. Il s’agit d’un travail en collaboration avec D. Chataur (Amiens) et M. Saralagi-Aranguren (Lens-Artois).

L’Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent, à la croisée entre mathématiques, algorithmique et statistique, qui connait un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données souvent représentées par des nuages de points dans des espaces euclidiens ou des espaces métriques plus généraux. L’émergence de la théorie de l’homologie persistante a fourni des outils mathématiques et algorithmiques nouveaux, robustes et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons la notion d’homologie persistante qui, grâce à des propriétés de stabilité remarquables, permet de mettre en lumière des caractéristiques topologiques pertinentes de données, connues sous le nom de diagrammes de persistance. Nous donnerons également quelques propriétés statistiques de ces diagrammes. Si le temps le permet, nous présenterons quelques exemples concrets d’utilisation des outils introduits.

In this talk, I will expose some basic ideas about what is called Schubert calculus. It takes place in the context of enumerative geometry, which consists - roughly speaking - in counting the number of solutions of a given geometric problem. The idea of Schubert is to make symbolic calculations on geometric conditions in a configuration space, and it may give amazing results, such as "There are 3264 conics that are tangent to 5 given conics". However, it may be very complicated to justify Schubert’s computations rigorously. In fact, this is the question asked by Hilbert’s 15th problem. First, I will give an intuitive approach to Schubert calculus, by explaining how to solve the so called ’four lines problem’ in Schubert’s way. Then, I will try to justify these computations using algebraic topology, and more precisely Chern classes and Poincaré duality, in an algebraic geometry setting. If time permits, I will finish by introducing flag varieties of compact connected semisimple Lie groups, and the link between them and Grassmann varieties.

Les catégories additives « d’objets équivariants » en algèbre, géométrie et topologie se présentent très souvent en familles indexées par les groupes finis, les catégories de chaque famille étant reliées entre elles par des foncteurs de restriction, induction et conjugaison. Parmi les exemples typiques on trouve les catégories (abéliennes, dérivées, ou stables) des représentations linéaires, les catégories dérivées des faisceaux équivariants, les catégories homotopiques des spectres équivariants, etc. Une fois décatégorifiées, c’est à dire après avoir remplacé chaque catégorie par un groupe abélien — par exemple en appliquant — ces familles donnent lieu à des structures bien connues, notamment des foncteurs de Mackey ou des foncteurs à biensembles.

Dans cet exposé, je vais présenter un travail en commun avec Paul Balmer (arXiv:1808.04902) dont le but est de comprendre la structure algébrique plus riche, catégorique, qui existe dans tous ces exemples en amont de la décatégorification. La théorie des « foncteurs de Mackey » qui en résulte nous permet d’expliquer certains phénomèmes équivariants qui restent invisibles au point de vue classique. L’exemple universel d’un foncteur de Mackey est fourni par une certaine bicatégorie de spans dans les groupoïdes finis ; malgré les apparences, on peut utiliser cette dernière pour effectuer des calculs concrets, par exemple pour en obtenir des décompositions en blocs.

Le but de cette présentation est d’étudier du point de vue théorique et numériques les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes visqueuses avec différentes conditions dynamiques aux bords. Ce modèle est utilisé dans le but de décrire la dynamique d’un mélange de deux fluides immiscibles et incompressibles. Le choix des conditions aux bords est important, nous permettant de prendre en compte l’interaction entre l’interface des deux fluides et les murs du domaine physique.

The brain is an organ with high energy needs. While it represents only 2% of the body weight it grabs at least 20% of its total energy needs. The consumed energy can come from many forms such as glutamate, glucose, oxygen and also lactate. Moreover energy is necessary to support neural activity. But because energy management in healthy and tumoral cells can be difficult to observe and explain experimentally, we use mathematical modeling to help to describe and understand cells energy changes. We present here a fast-slow system describing the locals mechanisms of interest. We will also compare simulations with MRS data and discuss our results.

La croissance de bactéries est modélisée avec succès depuis plusieurs décennies par les équations de populations structurées, cependant le mécanisme régissant le déclenchement de la division reste un sujet ouvert. Dans cet exposé, je commencerai par présenter brièvement les traditionnels modèles en âge puis en taille, ainsi que quelques résultats les concernant. Puis j’introduirai un modèle récent, dit incrémental, qui a été proposé par des équipes de biologistes. Dans ce modèle, la division est déclenchée par la quantité dont une bactérie a grandi depuis sa naissance, tandis que sa vitesse de croissance est gouvernée par sa taille actuelle. Cette description présente des propriétés qualitatives prometteuses et appelait donc à une analyse mathématique. On s’intéressera ici au cas où la croissance est exponentielle, et évoquera rapidement le lien avec les processus stochastiques à valeur mesure. Sous des hypothèses assez générales sur la division, je prouverai en premier lieu l’existence d’une unique fonction propre N (a, x) positive dans un espace L^1 un poids polynomial. Pour ce faire, j’introduirai la notion de relation d’ordre, de treillis et d’idéaux dans un espace de Banach afin d’appliquer des résultats d’analyse fonctionnelle. Ensuite, en supposant l’existence d’une solution en temps n(t, a, x) et avec une hypothèse classique supplémentaire liant n et e^t N, on exhibera une inégalité d’entropie, avant de dire quelques mots sur le comportement en temps long des solutions de ce système.

La croissance de bactéries est modélisée avec succès depuis plusieurs décennies par les équations de populations structurées, cependant le mécanisme régissant le déclenchement de la division reste un sujet ouvert. Dans cet exposé, je commencerai par présenter brièvement les traditionnels modèles en âge puis en taille, ainsi que quelques résultats les concernant. Puis j’introduirai un modèle récent, dit incrémental, qui a été proposé par des équipes de biologistes. Dans ce modèle, la division est déclenchée par la quantité dont une bactérie a grandi depuis sa naissance, tandis que sa vitesse de croissance est gouvernée par sa taille actuelle. Cette description présente des propriétés qualitatives prometteuses et appelait donc à une analyse mathématique. On s’intéressera ici au cas où la croissance est exponentielle, et évoquera rapidement le lien avec les processus stochastiques à valeur mesure. Sous des hypothèses assez générales sur la division, je prouverai en premier lieu l’existence d’une unique fonction propre positive dans un espace un poids polynomial. Pour ce faire, j’introduirai la notion de relation d’ordre, de treillis et d’idéaux dans un espace de Banach afin d’appliquer des résultats d’analyse fonctionnelle. Ensuite, en supposant l’existence d’une solution en temps et avec une hypothèse classique supplémentaire liant et , on exhibera une inégalité d’entropie, avant de dire quelques mots sur le comportement en temps long des solutions de ce système.

Le carcinome hépatocellulaire (HCC) est la forme la plus fréquente du cancer primitif du foie. Le seul traitement de référence au stade avancé du HCC est le sorafénib. Il est prescrit pour son rôle d’inhibiteur d’une voie de transduction du signal, la voie RAS-RAF-MEK-ERK. Cependant, même sous traitement, la survie des patients augmente très peu. De plus, les patients présentent une réponse au sorafénib hétérogène. Afin de proposer de nouvelles stratégies thérapeutiques, un modèle mathématique décrivant la cinétique des composants de la voie RAS-RAF-MEK-ERK a été construit. Les résultats prédictifs du modèle ont mis en évidence un nouveau mode d’action du sorafénib, ainsi que l’existence de mécanismes de résistance au sorafénib.

In this talk, I will talk about PDEs while trying to be understood by non-specialists. Rather than presenting some recent results, I will focus on a classical and beautiful theorem. The proof rests on a technic, called the "Moving Plane Method", introduced by Alexandroff in the 40s for geometrical matters, and then widely used in PDEs as combined with the "Maximum Principle". This method, apart from being very elegant, is very efficient, robust, and give a grasp of the deep links between geometry and PDEs. At first, I will present how the Moving Plane was originally introduced and used to derive an elegant proof of the Isoperimetric Inequality (for a given perimeter, the only bounded domain in which maximizes the volume is the ball). In a second step, I will briefly introduce the Maximum Principle, try to give a grasp of it, and infer a couple of corollaries which will be useful for the sequel. The Maximum Principle is the real core of the theory of elliptic PDEs. The main aim will be to show you how the Moving Plane Method can be combined with the Maximum Principle, and applied to PDEs, through the proof of the Gidas-Ni-Niremberg Theorem (1979) : This is a fundamental result, and in my opinion the proof is one of the most beautiful we can find in the elliptic PDE theory.

Let be a finite group and denotes the set of the degrees of irreducible complex characters of . A general question on character degrees is how the set reflects and is reflected by the structure of the group. There are several results devoted to studying groups with few character degrees. In 2005, G. Malle and A. Moreto classified non-solvable groups with four character degrees. To aid in the study of the relation between and the structure of , several graphs have been attached to . The common divisor graph of , denoted by ), is a simple graph whose vertices are non-trivial character degrees of , and two vertices are adjacent if they are not relatively prime. Extending the result of Malle—Moreto, we concentrate on non-solvable groups with six character degrees and classify graphs with five vertices that may occur as some non-solvable group . In this talk, I will discuss my recent work concerning the above question.

La catégorie des singularités (ou catégorie dérivée stable) d’une algèbre (associative, non commutative, noethérienne) a été introduite par Buchweitz en 1986 et redécouverte par Orlov en 2003 sous sa variante schématique. Elle s’annule ssi l’algèbre est de dimension globale finie et mesure donc le défaut de régularité de l’algèbre, interprétation confirmée par les résultats géométriques d’Orlov. Buchweitz a défini la cohomologie de Hochschild singulière (ou cohomologie de Tate-Hochschild) d’une algèbre en analogie avec la cohomologie de Hochschild comme l’algèbre de Yoneda de dans la catégorie des singularités des -bimodules. Dans sa thèse sous la direction d’Alexander Zimmermann, Zhengfang Wang a montré que la cohomologie singulière jouit de propriétés remarquables analogues de celles de la cohomologie de Hochschild classique. Ses résultats suggèrent que la cohomologie de Hochschild singulière pourrait en fait être la cohomologie de Hochschild classique de la catégorie des singularités (munie de son enrichissement différentiel gradué canonique). Nous montrons que c’est effectivement le cas. Plus précisément, nous obtenons un isomorphisme d’algèbres graduées entre la cohomologie de Hochschild singulière de et la cohomologie de Hochschild de sa catégorie des singularités. Nous conjecturons que cet isomorphisme respecte aussi le crochet de Gerstenhaber (dû à Gerstenhaber dans le cas classique et à Wang dans le cas singulier). Dans un travail en commun avec Zheng Hua, nous obtenons comme application un théorème de reconstruction d’une singularité d’hypersurface de Gorenstein à partir de sa catégorie des singularités.

Dans cet exposé, je parlerai de ce que le titre annonce, en m’appuyant abondamment sur des exemples. Je tâcherai en particulier d’expliquer le théorème de classification des représentations simples. L’exposé sera autant que possible self-contained and will be given in English.

Les ensembles ordonnés de Tamari sont des ordres (partiels) classiques et bien étudiés. Ils apparaissent de façon naturelle en théorie des représentations des algèbres comme ensembles ordonnés des modules basculants sur un carquois équiorienté de type mais aussi comme ensembles cambriens du même type.

Chapoton a été un des premiers à se rendre compte que la théorie des représentations des algèbres d’incidences de ces ensembles est en elle-même extrêmement fascinante. Il démontre en 2004 que les matrices de Coxeter des ensembles ordonnés de Tamari sont périodiques. Peu de temps après, il conjecture un résultat plus fort : les catégories dérivées bornées des algèbres d’incidences des ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires. c’est-à-dire qu’une certaine puissance de leur foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage.

Dans cet exposé, après avoir donné des exemples élémentaires d’ensembles ordonnés Calabi-Yau fractionnaires, je présenterai les ingrédients principaux de la démonstration de cette conjecture.

In this talk I will consider the eigenvalue problem for the standard Dirichlet-Laplacian on varying domains. After a brief overview about the behaviour of eigenvalues with respect to regular perturbations of the domain, I will take into account a particular singular perturbation, i.e. the attachment (to a fixed bounded domain) of a cylindrical tube, of finite length, whose section is vanishing. In this framework I will state the sharp asymptotic behaviour of perturbed eigenvalues, in the case when the corresponding limit eigenvalue is simple. The main tools are an Almgren-type monotonicity formula and the Courant-Fischer Min-Max characterization of eigenvalues. The result has been obtained in collaboration with prof. Veronica Felli.

La catégorie des singularités d’un anneau noethérien a été introduite par Buchweitz comme un invariant utile d’anneaux. C’est une catégorie triangulée qui peut, par exemple, détecter si la dimension globale de l’anneau est finie. Le but de cet exposé est d’expliquer un lien entre la théorie d’Auslander-Reiten supérieure qui a été introduite par Iyama, et la catégorie des singularités. Plus précisément, pour une catégorie exacte ayant assez de projectifs et avec une sous-catégorie -amas-basculante, la catégorie des singularités possède une sous-catégorie -amas-basculante. Nous allons aussi parler un peu de la demonstration de cette affirmation, qui utilise la description de la catégorie des singularités comme l’extension d’une catégorie co-suspendue obtenue par Keller et Vossieck.

Présentation de 3 modélisations différentes d’un même phénomène biologique. La différence entre ces modèles est le type d’équations différentielles utilisé : ordinaires, partielles et stochastiques. Le système étudié est dit lent/rapide (pour les connaisseurs). En gros, on observe deux populations, l’une avec une dynamique très lente l’autre plus rapide. Puis on introduit un paramètre d’échelle qui permet de mesurer la lenteur en question et on s’intéresse au comportement du système limite lorsque tend vers 0. L’idée est de parler des approches théoriques et numériques pour ces 3 modèles dans le temps imparti.

Nous nous intéressons un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.

Stratified spaces were first introduced as a tool to study the topology of singular spaces coming from algebraic geometry. Nevertheless, some of the invariants of those stratified spaces can be defined for a large class of objects, not limited to the original geometrical examples. In this talk, I will explain how one of those invariants, the filtered homotopy groups, can be used to study knots. After a brief introduction to the subject of knot theory, I will explain how one can see a knot as a stratified space. Then I will explain the definition of the filtered homotopy groups and show how one can study knots by computing their filtered homotopy groups.

Soit un groupe réductif sur un corps local non-archimédien. À tout sous-groupe ouvert compact de , on peut attacher une algèbre de Hecke. Ces algèbres sont un outil important dans l’étude des représentations lisses de . Deux de ces algèbres sont particulièrement intéressantes : l’algèbre de Hecke sphérique, associée au sous-groupe sphérique et l’algèbre d’Iwahori-Hecke, associée au sous-groupe d’Iwahori. Par des théorèmes de Satake et de Bernstein, l’algèbre de Hecke sphérique est isomorphe au centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke. Soit maintenant un groupe de Kac-Moody sur un corps local non archimédien. Des travaux récents de Braverman, Kazhdan et Patnaik (dans le cas affine) puis de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau (dans le cas général) permettent d’associer une algèbre de Hecke sphérique et une algèbre d’Iwahori-Hecke à . Avec Abdellatif, nous avons montré que le centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke est alors plus ou moins trivial et n’est donc plus isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons alors une « complétion » de l’algèbre d’Iwahori-Hecke, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique.

Les modèles hamiltoniens sont omniprésents en physique mathématique, à commencer par la mécanique newtonienne. Ils admettent des solutions remarquables, états d’équilibre ou orbites périodiques, dont il est important de connaître la stabilité. Si l’étude de cette question remonte aux travaux de Lyapunov et de Poincaré pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires, elle est plus récente pour les équations aux dérivées partielles, que l’on peut voir comme des systèmes dynamiques en dimension infinie. Les premières bases posées par Boussinesq dans son analyse des ondes solitaires ont été rendues rigoureuses un siècle plus tard. Quant à la stabilité des ondes périodiques, elle a fait l’objet de nombreux travaux ces dernières années. Il s’agira d’en donner un aperçu, accompagné de questions ouvertes.

On considère un objet immergé qui avance à une vitesse constante dans une eau calme. L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible, et l’écoulement dérive d’un potentiel. La résistance de vague est la force de traînée qu’exerce l’eau sur l’objet. Elle est liée à la formation d’un sillage à l’interface eau/air (le paradoxe de d’Alembert montre en effet qu’en l’absence d’une telle interface, la traînée est nulle). On s’intéressera dans cet exposé à deux problèmes de forme optimale mettant en jeu cette résistance de vague. Le premier est l’optimisation de carènes de navires dans l’approximation des corps élancés. On dispose dans ce cas de la formule de résistance de vague de Michelle qui évite de recourir à une équation d’état. Le deuxième cas est celui d’un cylindre infini complètement immergé. L’équation d’état est alors donnée par le problème de Kelvin-Neumann.

L’exposé présentera d’abord des généralités sur la notion d’algèbre amassée, vue d’un point de vue combinatoire et sur sa représentation en terme de carquois. Puis il parlera d’algèbre et de modules sur une algèbre et en particulier sur l’algèbre préprojective qui possède une structure amassée intéressante, encore une fois liée aux carquois. Enfin il détaillera la façon dont on détermine une structure d’algèbre amassée sur les modules sur l’algèbre préprojective, afin de voir une illustration plus "appliquée" de la notion d’algèbre amassée.

Nous introduisons une catégorie de bimodules de Soergel pour les groupes de réflexions complexes de rang un. Nous donnons une classification des objets indécomposables de la categorie ainsi qu’une présentation par générateurs et relations de son anneau de Grothendieck scindé. Cet anneau est une extension de l’algèbre de Hecke du groupe cyclique, et d’une algèbre introduite par Bonnafé et Rouquier. Lorsqu’elle est définie sur le corps des nombres complexes, elle est génériquement semi-simple. Il s’agit d’un travail en commun avec Anne-Laure Thiel.