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On dit que deux groupes sont orbitalement équivalents (OE) si tous deux agissent sur un même espace de probabilité en partageant les mêmes orbites. Un célèbre résultat d’Ornstein et Weiss stipule que tout groupe moyennable infini, de type fini est OE à . Autrement dit : l’équivalence orbitale ne tient pas compte de la géométrie des groupes. C’est pourquoi Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera proposent d’affiner cette relation avec une version quantitative de l’équivalence orbitale. Ils obtiennent en outre des obstructions à l’existence de telles équivalences à l’aide du profil isopérimétrique.
Nous nous intéresserons dans cet exposé au problème inverse de la quantification, à savoir : peut-on trouver un groupe qui est OE à un groupe prescrit avec quantification prescrite ? et présenteront certains outils utilisés pour y répondre, tels que les pavages de groupes moyennables.

Étant donnée une suite sur un alphabet , le stabilisateur de , , est l'ensemble des endomorphismes de qui ont pour point fixe. Le stabilisateur est un monoïde. On sait qu'il peut être infiniment engendré mais aussi cyclique. Je m'intéresserai au cas où est uniformément récurrente et mettrai en évidence un résultat de J. Honkala de 2007 qui permet de simplifier des preuves de résultats connus, comme la cyclicité pour la suite de Morse ou celle de Fibonacci, mais aussi d'obtenir des résultats très généraux, à moindre frais, concluant au caractère abélien ou finiment engendré de ce stabilisateur.