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Les représentations de carquois avec multiplicités sont une généralisation des représentations de carquois, où le corps de base est remplacé par des anneaux de séries tronquées. Ce type de représentations apparaît notamment dans une série de travaux de Geiss, Leclerc et Schröer, où elles donnent lieu à plusieurs réalisations géométriques des algèbres de Kac-Moody symétrisables. Ces résultats généralisent au cas symétrisable certaines constructions de Lusztig, Kashiwara et Saito concernant les représentations usuelles de carquois et les algèbres de Kac-Moody symétriques. Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Victoria Hoskins et Joshua Jackson, où nous construisons des espaces de modules de représentations de carquois avec multiplicités. Notre construction repose sur des résultats récents de théorie géométrique des invariants pour les groupes non-réductifs, dus à Hamilton, Hoskins et Jackson. En particulier, nous définissons des conditions de stabilité pour les représentations de carquois avec multiplicités, qui généralisent celles introduites par King dans les années 90. Nous obtenons en particulier des espaces de modules de représentations encadrées de carquois et des analogues des variétés carquois de Nakajima pour les carquois avec multiplicités. Nous montrons également que la cohomologie de certains de ces nouveaux espaces de modules porte une structure de Hodge pure, à l'instar des variétés carquois de Nakajima.

In this talk, I shall try to give a survey over one central research topic — noncommutative maximal inequalities — in the newly appeared research field 'noncommutative real analysis', which could be regarded as a quantum analogue of classical real analysis, including noncommtuative harmonic analysis, noncommutative ergodic theory and quantum probability etc.

In this talk, I will introduce representation theory of finite groups, and the difference between the ordinary and modular representation. I will also discuss the notion of distinguished representations, the motivation of their study and given an example.

Parabolic induction for algebraic groups and stacks has many interesting applications in enumerative geometry and representation theory. One of them is that it can be used to construct various algebraic structures, including Ringel–Hall algebras, cohomological Hall algebras, Joyce vertex algebras, and so on, which are closely related to and sometimes motivated by enumerative problems, but at the same time, they themselves often are or are related to interesting quantum algebras, such as quantum groups. In this talk, I will explain how to view these constructions from a combinatorial viewpoint, as coming from the root datum of the general linear groups. This leads to natural generalizations to other algebraic groups, giving modules and other structures instead of algebras. Furthermore, I will introduce a generalization of root datum from algebraic groups to algebraic stacks, called the component lattice, and briefly discuss its combinatorial properties.

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Les théorèmes de nonexistence et de classification de type Liouville, pour les problèmes elliptiques non linéaires dans l'espace ou le demi-espace, ont une longue histoire, avec des contributions classiques de Bernstein, de Giorgi, Gidas-Spruck, Berestycki-Caffarelli-Nirenberg, ... D'autre part le système de Lane-Emden (LE) -\Delta u=v^p, -\Delta v=u^q avec p, q>1, est un exemple modèle de système elliptique hamiltonien et a été intensivement étudié. Nous présenterons un résultat récent de type Liouville qui établit la nonexistence de solutions positives de (LE) dans le demi-espace avec conditions nulles au bord. La nouveauté du résultat est l'absence de restrictions sur p, q et sur la croissance de la solution lorsque tend vers l’infini (en collaboration avec Yimei Li)

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Le problème du transport optimal de Monge remonte à la fin du 18e siècle. Il consiste à minimiser le coût de transport d'un matériau d'une distribution de masse vers une autre. Monge n'a pas pu résoudre le problème et l'étape suivante a été franchie 150 ans plus tard par Kantorovich qui a introduit la distance de transport entre deux mesures de probabilité ainsi que le problème dual. Suite au ré-arrangement de champs de vecteurs par Brenier en 1987, le problème a été conclu par une série de papiers récents. La distance de Monge-Kantorovich n'est pas facile à utiliser pour les équations aux dérivées partielles et la méthode du doublement global des variables est l'une d'entre elles. Elle est très intuitive en termes de processus stochastiques et nous fournit une méthode pour les EDP conservatives telles que les équations paraboliques (éventuellement fractionnaires), l'équation de Boltzman homogène, l'équation de diffusion ou l'équation de milieu poreux... Les équations structurées, telles qu'elles apparaissent en biologie mathématique, constituent une classe particulière pour laquelle la méthode peut être utilisée.

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