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Soit G un groupe réductif sur un corps fini \mathbb{F}_q, la théorie de Deligne-Lusztig permet d'étudier la théorie des représentations du groupe fini G(\mathbb{F}_q) en considérant la cohomologie de certaines variétés algébriques. Dans une direction différente, le langage des traces catégoriques est un formalisme qui généralise la notion de trace d'un endomorphisme sur un espace vectoriel et associe à un endofoncteur sur une catégorie convenable (resp. catégorie monoidale) un espace vectoriel (resp. une catégorie). Le principal intérêt est que l'on peut réaliser la catégorie des représentations du groupe fini G(\mathbb{F}_q) en tant que trace catégorique sur une catégorie monoidale bien choisie (ici une catégorie de Hecke). Cela permet de réexpliquer, a posteriori, les constructions clés de la théorie de Deligne-Lusztig et d'établir de nouveaux résultats de la théorie. Dans cet exposé, je présenterai les différents protagonistes de cette construction et je mentionnerai les nouveaux résultats, notamment concernant la décomposition de Jordan, qui en découlent.

This talk concerns Langlands duality for 3-manifolds using cohomological Donaldson–Thomas theory. I will explain that the structures appearing in 2d geometric Langlands, such as the Eisenstein series functor and the Hecke operators, have 3-dimensional analogues. As a consequence, I will explain some non-trivial computational evidence for the Langlands duality conjecture.

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