Voici les aspects pratiques de ma thèse recapitulée en un tableau :

 

TITRE :	Méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d'ondes pour des équations de  l'océanographie.
MOTS CLES :	Décomposition de domaine, méthode de relaxation d'ondes, convection diffusion, Shallow Water.
JURY:	C. Basdevant (président du jury), E. Blayo (co-directeur de thèse), P. Joly (rapporteur),
	L. Halpern (directrice de thèse), M.  Schatzman (rapporteur).
DATE :	15 décembre 2003.
MENTION :	Très Honorable.

 

Télécharger ma thèse en deux parties : partieI.ps.gz, partieII.ps.gz.  

Contexte de l'étude

But de la décomposition de domaine. L'application première des méthodes de décomposition de domaine est de résoudre numériquement une équation sur un domaine de grande taille : quand le nombre d'inconnues est trop important pour être géré par un seul ordinateur, une solution est de décomposer le domaine de calcul en plusieurs sous-domaines (plus petits) et d'utiliser un processeur par sous-domaine pour résoudre l'équation. Pour obtenir la solution globale, les processeurs échangent des informations de façon itérative le long des interfaces communes (voir schéma). Le problème est alors de déterminer quelles sont les informations judicieuses à échanger (conditions de transmission).

Méthodes optimisées. Plusieurs conditions de transmission ont été proposées dans le cas avec ou sans recouvrement des sous-domaines. Parmi elles une méthode propose une convergence rapide de l'algorithme (voir bibliographie). Elle consiste à approcher les opérateurs transparents (conditions aux limites absorbantes) par des opérateurs différentiels dont les coefficients sont choisis judicieusement par optimisation du taux de convergence.

Méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d'ondes. Les méthodes de décomposition classiques s'appliquent généralement à des problèmes stationnaires : pour résoudre des problèmes en temps, on discrétise la dimension temporelle, on obtient alors une suite de problèmes stationnaires à résoudre, et c'est chacun de ces problèmes que nous résolvons par une méthode de décomposition de domaine classique. Cette façon de faire nous oblige d'avoir le même pas de temps pour tous les sous-domaines. Or dans un objectif de simulation de phénomènes multiphysiques il est intéressant de raffiner le pas de temps uniquement dans le sous-domaine où l'on a raffiné en espace.
Des méthodes récentes (voir bibliographie) proposent alors une alternative aux méthodes classiques en appliquant la décomposition de domaine directement au problème en temps (voir schéma).

 

Objectifs de la thèse

L'objectif de ma thèse était de développer des méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d'ondes pour des problèmes de l'océanographie.
Je me suis d'abord intéressée à l'équation de convection diffusion, scalaire, qui traduit l'advection des traceurs (salinité, température) dans l'océan puis aux équations de Shallow Water linéaires et visqueuses (système de trois équations). Plus précisément, j'ai proposé des algorithmes de décomposition de domaine de type relaxation d'ondes avec des conditions de transmission optimisées.
Pour chacune de ces équations, je me suis intéressée d'abord à l'aspect théorique en m'assurant que de telles conditions aux limites menaient à des problèmes bien posés (existence, unicité et régularité dans les espaces de Sobolev anisotropes ad hoc). Puis j'ai  démontré que ces algorithmes convergent.
J'ai ensuite implémenté ces algorithmes : après avoir écrit des schémas pour discrétiser les conditions aux limites, j'ai programmé un code en fortran, parallélisé sous MPI que j'ai lancé sur le cluster de PC que nous possédons au laboratoire. Un peu plus bas vous pourrez voir quelques uns des résultats numériques que j'ai obtenus.

Pour plus de détails, vous pouvez télécharger ma thèse : une première partie (traitant de l'équation de convection diffusion) se trouve ici, l'autre (équation Shallow Water) se trouve ici.

 

Equation de convection diffusion (détails)

Le domaine initial est le carré unité. L'interface entre les deux sous-domaines se trouve en x=0.5 et il y a un recouvrement d'une maille. La vitesse de convection considérée est représentée ici. Les figures montrent l'évolution de l'erreur L² en temps et en espace en fonction des itérations pour différentes viscosités. Les couleurs rouge et magenta représentent les méthodes optimisées. Les couleurs bleue et noire représentent les méthodes de Taylor (développement des opérateurs exacts par développement de Taylor). Ces figures mettent en évidence la supériorité des méthodes optimisées sur les méthodes de Taylor : pour une viscosité égale à 0.5, par exemple, les méthodes optimisées convergent 4,5 fois plus vite que les méthodes de Taylor.

Equations Shallow Water (détails)

Description du problème physique :  Au temps t=0 le vent défini ici est appliqué alors que l'océan est au repos. Le forçage du vent crée une anomalie de hauteur d'eau, de l'ordre de 10 mètres, qui se propage vers l'Est sous forme d'une onde de Kelvin. Un peu avant le jour 60, l'onde atteint le bord Est du bassin, s'y réfléchit et se décompose en quatre ondes : deux ondes de Kelvin côtières (l'une vers le Nord, l'autre vers le Sud) et deux ondes de Rossby se dirigeant vers l'Ouest, de part et d'autre de l'équateur. Après environ 100 jours, les ondes de Kelvin côtières atteignent les bords Nord et Sud du bassin, et se propagent alors vers l'Ouest le long de ces bords.
Cliquer ici pour voir cette simulation.

Fenêtre en temps : Nous travaillons sur un intervalle de temps d'une longueur de 200 jours et puisque le pas de temps vaut 30 min, nous devons itérer sur 200×24×2=9600 pas de temps. Pour rendre notre algorithme plus efficace, nous décomposons notre intervalle de temps en 20 fenêtres de 10 jours et nous appliquons notre algorithme sur chaque fenêtre de temps. Les codes de simulation océanique sont très lourds et un nombre d'itérations élevé n'est pas envisageable. Ainsi, dans chaque fenêtre de temps nous ne faisons que deux itérations  (nous n'attendons donc pas la convergence).

Méthode de Schwarz classique : Nous implémentons ici des conditions de Schwarz classiques (conditions de Dirichlet).
Cliquer ici pour voir le résultat. Le résultat est … catastrophique! Nous voyons que l'onde de Kelvin se réfléchit dans l'interface fictive : très peu d'informations sont propagées à l'autre sous-domaine.

Méthode optimisée : Nous refaisons l'expérience précédente mais cette fois nous utilisons nos conditions de transmission optimisées. Cliquer ici  pour voir le résultat. Nous voyons une discontinuité au niveau de l'interface mais l'information passe bien mieux dans le second sous-domaine!

 

Cliquer sur les images suivantes pour les animer :

 

Solution Monodomaine	Solution avec conditions de Dirichlet	Solution avec conditions optimisées