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Jean-Luc Chabert


mise à jour : 1er septembre 2013



 

Dans la cour du lycée du Parc à Lyon

Dans la cour de la prison de Cortona (au dernier rang, le quatrième en partant de la gauche)

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Fonctions exercées

1968-1974 : Chercheur CNRS à Paris 7
1974-1975 : Chargé d'Enseignement à la faculté de Mathématiques d'Amiens
1975-1978 : Professeur à l'Université Toulouse II
1978-1996 : Professeur à l'Institut Supérieur des Sciences et Techniques de St Quentin
1980-1984 : Directeur de l'Institut de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques de Picardie
1993-1997 : Directeur d'Etudes à l'Institut Universitaire de Formation des Maîtres d'Amiens
1996-2012 : Professeur à la Faculté de Mathématiques et d'Informatique,
                    puis à l'U.F.R. des Sciences de l'Université de Picardie
2012-........ : Professeur émérite de l'Université de Picardie


Domaines d'intérêt (AMS Subject Classification 2000)

- Théorie algébrique des nombres (11)
- Algèbre commutative (12, 13)
- Anneaux de polynômes à valeurs entières (13F20)
- Histoire des mathématiques (01)

Séminaires
- Groupe de travail Algèbre et Théorie des Nombres
        Historique : 2001-2013

- Séminaire de mathématiques discrètes (1998-2004)

Enseignements (Traces)
- Master 1 :
        Cours 2006-2007 : Théorie de Galois et introduction à la théorie des nombres

- DEA méthodes algébriques :
        Cours printemps 2006 : Autour de l'algèbre des polynômes à valeurs entières
                                               (sur un corps de nombres ou un corps de fonctions)

Collaborations

        - en Autriche avec la Technische Universität de Graz [Sophie FRISCH]

- en Italie avec l'Università degli Studi `Roma Tre' [Marco FONTANA, Francesca TARTARONE]

- aux U.S.A., avec
        . la Sam Houston State University à Huntsville (Texas) [Scott CHAPMAN]

        . l'Ohio State University à Newark (Ohio) [Alan LOPER]

- à Tahiti avec l'Université de la Polynésie francaise [David ADAM]


The Mathematical Genealogy Project

            David ADAM
            Youssef FARES
            Sabine EVRARD
            Amandine LERICHE

Colloques

      Au Centre International de Rencontres Mathématiques à Marseille

1990 : Première Rencontre Internationale sur les Polynômes à Valeurs Entières coorganisée avec Paul-Jean Cahen au CIRM (Marseille, France) en décembre 1990.

2000 : Deuxième Rencontre Internationale sur les Polynômes à Valeurs Entières coorganisée avec P.-J. Cahen au CIRM (Marseille) du 29 mai au 2 juin 2000. [photo]

2010 : Troisième Rencontre Internationale sur les Polynômes à Valeurs Entières  organisée par S. Evrard au CIRM à Marseille du 29 novembre au 4 décembre 2010. [photo]

Récemment

Juin 2012 : Commutative Rings and their Modules, Bressanone-Brixen (Italie)

Décembre 2012 : Integer-Valued Polynomials & Interactions, Amiens (France)

Décembre 2012 : Commutative Rings, Integer-Valued Polynomials and Polynomial Functions, Graz (Autriche)

Avril 2013 : Lagrange : two hundred years later, Pise (Italie) [La résolution algébrique des équations]

Ouvrages


       - Chaos et déterminisme, coédition avec A. Dahan et K. Chemla, Seuil, collection Points Sciences,          416 p., mai 1992, réimpression 1996 ; revue dans Encyclopaedia Universalis, (Universalia 1993,           p. 426.)
- Analyse diophantienne et géométrie algébrique, coédition avec Ch. Gilain, 190 p., Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathématiques, 2ème série, t. 3, 1993.

Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce, J.-L. Chabert et al., Belin, collection Regards sur la Science, 592 p., subventionné par le C.N.L. et le C.N.R.S., 1994, réimpression 1995.

- Revue d'Histoire des Mathématiques, cofondateur avec Ch. Gilain et A. Dahan en 1995 et rédacteur en chef adjoint de 1995 à 1998, éditée par la Société Mathématique de France.

- Integer-valued Polynomials, P.-J. Cahen and J.-L. Chabert, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 48, 322 p., American Mathematical Society, Providence, 1997.

- A History of Algorithms, From the Pebble to the Microchip, J.-L. Chabert et al., traduction C. Weeks, Springer, 524 p., 1999 ; revue dans Nature, vol. 403, p. 703-704 ; book list des Notices de l'A. M. S., December 2000, p. 1421.
 
 - Une initiation à la cryptographie, Pako Chaber (collaboration : 4 auteurs cryptés), Universitoo, 2004. 

- Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce, J.-L. Chabert et al., 2nde édition revue et augmentée, 610 p., Belin, Paris, 2010.

- Third International Meeting on Integer-Valued Polynomials, Actes des rencontres du C.I.R.M., vol. 2 n°2 (2010), 1-126.

Publications     ( MathSciNet )


           [115] Bhargava's early work: The genesis of P-orderings, avec Paul-Jean Cahen et Kiran Kedlaya, American Mathematical Monthly, à paraître novembre 2017.

           [114] Minimal generating sets for the D-algebra Int(S,D), avec Jacques Boulanger, à paraître in Rings, Polynomials, and Modules, Springer..

           [113] Test Sets for Polynomials: n-universal subsets and Newton sequences, avec Paul-Jean Cahen, preprint.

          [112] Adelic versions of the Weierstrass approximation theorem, avec G. Peruginelli, Journal of Pure and applied Algebra, à paraître [ arXiv:1511.03465 ]

          [111] Revue du livre : André-Louis Cholesky: Mathematician, topographer and army officer, Claude Brezinski, Dominique Tournès,
          Bâle, Birkhaüser, 2014, (avec Christian Gilain), in Revue d'Histoire des Sciences, t. 69 (2016), 176-177.

          [110] Polynomials overrings of Int(Z), avec G. Peruginelli, Journal of Commutative Algebra, t. 8 (2016), 1-28  [ arXiv: 1503.06035 ]

[109] On number fields with Polya group of order ≤ 2, avec D. Adam, in Multiplicative Ideal Theory and Factorization Theory - Commutative and Non-Commutative Perspectives, Proceedings in Mathematics ad Statistics, vol. 170, Springer, 2016, to appear.

[108] What you should know about integer-valued polynomials, avec P.-J. Cahen, The American Mathematical Monthly, t. 123 (2016), 311-337.

[107] Sur la résolution numérique des équations, in  Sciences mathématiques 1750-1850, Continuités et ruptures, dir. Ch. Gilain & A. Guilbaud, pp. 475-507, CNRS Editions, Paris, 2015.

[106] On Bhargava's factorials of the set of twin primes in Z and in Fq[T], avec D. Adam, International Journal of Number Theory, t. 11 (2015), pp. 1941-1959.

[105] About polynomials whose divided differences are integer-valued on prime numbers (II), Communications in Algebra, t. 43 (2015), 309-324.

[104] Mahler's polynomial approximation for odd and even p-adic functions, avec S. Evrard et Y. Fares, Journal of Number Theory, t. 144 (2014), 379-407.

[103] Integer-Valued Polynomials: Looking for regular Bases (a Survey), in Commutative Algebra : Recent Advances in Commutative Rings, Integer-Valued Polynomials, and Polynomial Functions, pp. 83-111, Springer, 2014 (preprint.pdf)

[102] Debating the place of Mathematics at the Ecole polytechnique around World War I, avec Christian Gilain, in The War of Guns and Mathematics, Mathematical Practices and Communities in France and its Western Allies around World War I, pp. 275-307. History of Mathematics, vol. 42, American Mathematical Society, Providence, 2014.

[101] Regular Subsets of valued Fields and Bhargava's v-orderings, avec S. Evrard et Y. Fares, Mathematische Zeitschrift, t. 274 (2013), pp. 263-290 (preprint.pdf)

[100] About polynomials whose divided differences are integer valued on prime numbers, ICM 2012 Proceedings, vol. 1, 1-7.

[99] Does Int(Z) have the stacked bases property ? Arabian Journal of Mathematics (Springer) t. 1 (2012), 47-52

[98] La lente émergence des algorithmes in Les Dossiers de La Recherche, La révolution des mathématiques, n°46, décembre 2011, 18-20 (papier [80] recyclé).

[97] Preservation of the residual classes numbers by polynomials (avec Y. Farès), Proceedings of the American Mathematical Society, t. 139 (2011), 2423-2430.

[96] An overview of some recent developments on integer-valued polynomials: answers and questions, Actes des rencontres du C.I.R.M., vol. 2 n°2 (2010), 3-14.

[95] Subsets of Z with simultaneous orderings (avec D. Adam et Y. Farès), Integers, t. 10 (2010), 437-451.

[94] Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce, J.-L. Chabert et al., 2nde édition revue et augmentée, 610 p., Belin, Paris, 2010.

[93] On the polynomial closure in a valued field, Journal of Number Theory, t. 130 (2010), pp. 458-468.

[92] Integer-valued polynomials in valued fields with an application to discrete dynamical systems, in Commutative Algebra and Applications, de Gruyter, Berlin, 2009, pp. 103-134.

[91] Minimal dynamical systems on a discrete valuation domain (avec A.-H. Fan and Y. Fares), Discrete and Continuous Dynamical Systems, t. 35 (2009), pp. 777-795.

[90] A generalization of an Erdös inequality connected to n!, Aequationes Mathematicae, t. 77 (2009), pp. 243-258.

[89] Les algorithmes, in La Recherche, Hors-Série Mathématiques, novembre 2008 (réédition de [80]).

[88] Algorithms, in The Princeton Companion to Mathematics, édité par T. Gowers, Princeton University Press, 2008, pp. 106-117.

[87] Integer-valued polynomials on prime numbers and logarithm power expansion, European Journal of Combinatorics, t. 28 (2007), 754-761.

[86] France-Ecosse, Deux thèses récentes en histoire des mathématiques : Maclaurin et Bézout, Gazette des mathématiciens, t. 113 (2007), pp. 103-111.

[85] Old Problems and New Questions around Integer-Valued Polynomials and Factorial Sequences (avec P.-J. Cahen), in Multiplicative Ideal Theory  in Commutative Algebra, Springer 2006, pp. 89-108.

[84] On the ideal generated by the values of a polynomial (avec S. Evrard), in Arithmetical Properties of Commutative Rings and  Monoids, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 241, pp. 213-225, CRC Press, 2005.

[83] Collaboration à l'ouvrage de Pako Chaber, Une initiation à la cryptographie, Universitoo, 2004

[82] The Picard group of the ring of integer-valued polynomial on a valuation domain, in Rings, Modules, Algebras and Abelian Groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 236, pp. 63-83, Marcel Dekker, New York, 2004.

[81] On the representation of integers as linear combinations of consecutive values of a polynomial (avec J. Boulanger), Transactions of the American Mathematical Society, t. 356 (2004), 5071-5088.

[80] Les algorithmes, in La Recherche, n. 369 (nov. 2003), pp. 83-86.

[79] Factorial groups and Polya groups in Galoisian extensions of Q, in Commutative Ring Theory and Applications, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 231, pp. 77-86, Marcel Dekker, New York, 2003.

[78] Polynômes à valeurs entières sur les nombres premiers, deuxième épreuve Capes externe, concours 2002 (avec J. Boulanger), La Nouvelle Revue de Mathématiques de l'Enseignement Supérieur, n. 1, 2002/2003, 57-73.

[77] Rings of Integer-Valued Polynomials (avec P.-J. Cahen), in The Concise Handbook of Algebra, pp. 188-192, Kluwer Academic Publishers, 2002.

[76] On the ultrametric Stone-Weierstrass theorem and Mahler's expansion (avec P.-J. Cahen), Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, t. 14 (2002), 43-57.

[75] An extension of Lucas theorem (avec J. Boulanger), Acta arithmetica, t. 96 (2001), 303-312.

[74] Generalized factorial ideals, The Arabian Journal for Science and Engineering, t. 26 (2001), 51-68.

[73] High dimension Prüfer domains of integer-valued polynomials (avec P.-J Cahen et K. Alan Loper), Journal of the Korean Mathematical Society, t. 38 (2001), 915-935.

[72] Fatou extension, in Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II, 215-217, Kluwer Academic Publishers, 2000.

[71] Numerical Analysis in The History of Mathematics from Antiquity to the Present: A Selective Annotated Bibliography, revised edition on CD-ROM by A.C. Lewis, AMS, 2000.

[70] Interpolation domains (avec P.-J. Cahen et S. Frisch), Journal of Algebra, t. 225 (2000), 794-803.

[69] What's new about integer-valued polynomials on a subset? (avec P.-J. Cahen), in Non-Noetherian Commutative Ring Theory, pp. 75-96, Kluwer Academic Publishers, 2000.

[68] Asymptotic behaviour of characteristic sequences of integer-valued polynomials (avec J. Boulanger), Journal of Number Theory, t. 80 (2000), 238-259 (preprint.pdf).

[67] On locally divided domains of the form Int(D) (avec P.-J. Cahen, D.E. Dobbs et F. Tartarone), Archiv der Mathematik, t. 74 (2000), 183-191.

[66] A History of Algorithms, From the Pebble to the Microchip (direction), traduction C. Weeks, Springer, 524 p., 1999.

[65] Skolem properties, value-functions, and divisorial ideals (avec  P.-J. Cahen, E. Houston, T. Lucas), Journal of Pure and Applied Algebra, 135 (1999), 207-223.

[64] The Characteristic Sequence of Integer-Valued Polynomials on a Subset (avec J. Boulanger, S. Evrard et G. Gerboud), in Advances in Commutative Ring Theory, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 205, 161-174, Marcel Dekker, New York, 1999.

[63] Skolem Properties and Integer-Valued Polynomials : a Survey (avec P.-J. Cahen), in Advances in Commutative Ring Theory, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 205, 175-195, Marcel Dekker, New York, 1999.

[62] The Skolem property in rings of integer-valued polynomials (avec Scott Chapman et William Smith),  Proceedings of the American Mathematical Society, t. 126 (1998), 3151-3159.

[61] The Brachistrochrone Problem, in History of Mathematics, Histories of Problems, pp. 183-202, Ellipses, 1997.

[60] Proving the Fifth Postulate : true or false, in History of Mathematics, Histories of Problems, pp. 285-305, Ellipses, 1997.

[59] A Basis for the Ring of Polynomials Integer-Valued on Prime Numbers (avec Scott Chapman et William Smith), in Factorization in integral domains, 271-284, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 189, Dekker, New York, 1997.

[58] Algebraic Properties of the Ring of Integer-Valued Polynomials on Prime Numbers (avec Scott Chapman et William Smith), Communications in algebra, t. 25 (1997), 1945-1959.

[57] Integer-valued Polynomials (en collaboration avec Paul-Jean Cahen), Mathematical Surveys and Monographs, vol. 48 (322 pages), American Mathematical Society, Providence, 1997.

[56] Sur les générateurs du groupe de Picard des anneaux de polynômes à valeurs entières, in Anneaux et Modules, Travaux en cours t. 51, pp. 5-26, Hermann, Paris, 1996.

[55] Skolem properties for Several Indeterminates, in Commutative Ring Theory, 181-190, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 196, Dekker, New York, 1996.

[54] Une caractérisation des polynômes prenant des valeurs entières sur tous les nombres premiers, Canadian Mathematical Bulletin, t. 39 (1996), 402-407.

[53] Revue du livre : Un théorème de Fermat, Catherine Goldstein, Presses Universitaires de Vincennes, 1995, in La Recherche, 1996.

[52] Hasard, in Encyclopédie scientifique, pp. 204-207, Flammarion, Paris, 1995.

[51] Revue du livre : Mathématisations. Augustin Louis Cauchy et l'école française, Amy Dahan Dalmedico, Librairie Blanchard, Paris, 1993, in Pour la Science n. 209 (mars 1995), 111-113.

[50] Invertible ideals of the ring of integral valued polynomials, Communications in Algebra, t. 23 (1995), 4461-4471.

[49] Elasticity for integral-valued polynomials (avec Paul-Jean Cahen), Journal of Pure and Applied Algebra,  t. 103 (1995),  303-311.

[48]  Direction d'un ouvrage collectif : Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce, Belin, collection Regards sur la Science, subventionné par le C.N.L. et par le C.N.R.S., juin 1994 : 592 pages. Réimpression avril 1995.

[47] Polynomials whose derivatives are integer-valued in number fields (english version of [40]),  in Commutative Ring Theory, 47-57, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 153, Dekker, New York, 1994.

[46] Sur le théorème de Stone-Weierstrass en algèbre commutative, Rendiconti del circolo matematico di Palermo, t. 43 (1994), 20 p. 51-70.

[45] Analyse diophantienne et géométrie algébrique, coédition avec Ch. Gilain, 190 p., Exposés du Séminaire d'Histoire des Mathématiques de l'Institut Henri Poincaré, Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathématiques, 2ème série, t. 3, 1993. 

[44] The Prehistory of Fractals in Encyclopaedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, éditée par Ivor Grattan-Guiness, Routledge, Londres, 1993, t. I, 367-374.

[43] Le Problème Brachistochrone, in Histoire de Problèmes, Histoire des Mathématiques, Ellipses, Paris, 1993, 179-198.

[42] La vraie-fausse démonstration du Cinquième Postulat, in Histoire de Problèmes, Histoire des Mathématiques, Ellipses, Paris, 1993, 277-297.

[41] Integer-Valued Polynomials, Prüfer Domains and Localization, Proceedings of the American Mathematical Society
t. 118 (1993), 1061-1073.

[40] Dérivées et Différences divisées à Valeurs entières, Acta Arithmetica, t. 63 (1993), 143-156.

[39] Polynômes à valeurs entières et binômes de Fermat (avec Gilbert Gerboud), Canadian Journal of Mathematics, t. 45 (1993), 6-21.

[38] Direction d'un ouvrage collectif (avec A. Dahan et K. Chemla) : Chaos et déterminisme, Seuil, collection Points Sciences, mai 1992; auteurs : P. Arnoux, P. Bergé, J.-L. Chabert, K. Chemla, A. Dahan, S. Diner, A. Douady, J.-P. Eckmann, M. Farge, G. Israël, J. Laskar, Y. Sinaï, J.-C. Yoccoz.  Réimpression 1996 (revue in Universalia 1993).

[37] Hadamard et les géodésiques des surfaces à courbure négative, in Chaos et déterminisme, Seuil, collection Points Sciences, mai 1992, pp. 306-330.

[36] Les idées nouvelles de Poincaré (avec A. Dahan), in Chaos et déterminisme, Seuil, collection Points Sciences, mai 1992, pp. 274-305.

[35] Le groupe de Picard de l'anneau des polynômes à valeurs entières, Journal of Algebra, t. 150 (1992), 213-230.

[34] Le théorème de Stone-Weierstrass et les polynômes à valeurs entières, Actes du 3ème Colloque franco-belge d'Algèbre, Cahiers mathématiques, Montpellier, n. 39 (1992), 120-130.

[33] Henri Poincaré, le précurseur (avec A. Dahan), La Recherche, numéro spécial sur `la science du désordre', n. 232 (1991), 566-570.

[32] Anneaux de Polynômes à valeurs entières et anneaux de Prüfer, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 312, Sér. I (1991), 715-720.

[31] Revue du livre : Géométrie non commutative, Alain Connes, InterEditions, Paris, 1990, in Lettre HPMP, n° 3, novembre 1990, 7-8.

[30] Fractals chez Springer, Gazette des Mathématiciens, n° 44 (1990), 38-40.

[29]  A propos du Problème Brachystochrone, in La démonstration mathématique dans l'histoire, Lyon, 1990, 313-324.

[28] Les géométries non euclidiennes, Repères, t. 1 (1990), 69-91.

[27]  Un demi-siècle de fractales : 1870-1920, Historia Mathematica, t. 17 (1990), 339-365.

[26] Gauss et la méthode des moindres carrés, Revue d'Histoire des Sciences, t. 42 (1989), 5-26.

[25] Les propriétés de Skolem, Atti del convegno su Alcuni Aspetti della Teoria degli Anelli commutativi, Universita La Sapienza, Rome, 1989, 31-46.

[24] Idéaux de polynômes et idéaux de valeurs, Manuscripta Mathematica, t. 60 (1988), 277-298.

[23]  Les Géométries non euclidiennes, Actes de l'Université d'Eté d'Histoire des Mathématiques de Toulouse, 1986 ; I.R.E.M. de Toulouse, 1988, 277-298.

[22] La préhistoire des géométries non euclidiennes, I.R.E.M. de Picardie, 1987.

[21] Un anneau de Prüfer, Journal of Algebra, t. 107 (1987), 1-16.

[20]  Fractals, in Manuel de Didactique-action, Cedic, Paris, 1986, 148-164.

[19]  Wallis, le Cinquième Postulat et la Similitude (avec J. Neuberg), I.R.E.M. de Picardie, 1986.

[18] La Géométrie de Descartes, une étape dans la théorie des constructions à la règle et au compas (avec A. Dahan), Actes du Colloque d'Histoire et d'Epistémologie des Mathématiques de Montpellier, 1985, 158-172.

[17] Polynômes dont les dérivées et/ou les différences finies divisées sont à valeurs entières, Actes du VIIe Congrès International des Mathématiciens d'Expression Latine, Coimbra, 1985.

[16]  De quelques courbes pathologiques, Actes de l'Université d'Eté d'Histoire des Mathématiques du Mans, 1984 ; Presses Universitaires du Maine, 1986, 202-228.

[15] Le Nullstellensatz de Hilbert et les polynômes à valeurs entières, Monatshefte für Mathematik, t. 95 (1983), 181-195.

[14] Propriété de Skolem forte, Actes du VIe Congrès International des Mathématiciens d'Expression Latine, Luxembourg, 1981, Actualités Mathématiques, Gauthier-Villars, 1982.

[13] Anneaux de Skolem, Archiv der Mathematik, t. 32 (1979), 555-568.

[12] Polynômes à valeurs entières ainsi que leurs dérivées, Annales Scientifiques de l'Université Clermont II, Sér. Math., Fasc. 18 (1979),

[11] Polynômes à valeurs entières et propriétés de Skolem, Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. 303/304 (1978), 366-378.

[10] Les idéaux premiers de l'anneau des polynômes à valeurs entières, Journal für die reine und angewandte Mathematik,  t. 293/294 (1977), 275-283.

[9] Eléments quasi-entiers et extensions de fatou (avec Paul-Jean Cahen), Journal of Algebra, t. 36 (1975), 185-192.

[8] Systèmes dynamiques linéaires et extensions de Fatou, Journées SMF, Cahiers mathématiques, Montpellier, n. 3 (1974), 1-10.

[7] Thèse d'Etat : Anneaux de polynômes à valeurs entières et extensions de Fatou, soutenue à Orsay le 4 mai 1973, 
Jury : P. Samuel, Président ; D. Lazard, M. Lazard, Y. Meyer.

[6] Anneaux de Fatou. Anneaux de polynômes à valeurs entières, Colloque d'Algèbre Commutative, Journées SMF (Rennes, 1972), exp. 8, 13p., Univ. Rennes, 1972.

[5] Anneaux de Fatou, L'Enseignement mathématique, t. 18 (1972), 141-144.

[4] Anneaux de polynômes à valeurs entières et anneaux de Fatou, Bulletin de la Société mathématique de France, t. 99 (1971), 273-283.

[3] Coefficients et valeurs d'un polynôme (avec Paul-Jean Cahen), Bulletin des Sciences Mathématiques, t. 95 (1971), 295-304.

[2] Thèse de 3ème cycle, soutenue à Paris le 16 avril 1970, Coefficients et valeurs d'un polynôme ; groupes et idéaux de ramification,  Jury : M. Lazard (Président), P. Samuel (Directeur), P. Ribenboim, D. Lazard.

[1] Sur une publication de P. Ribenboim, Mathematische Annalen, t. 185 (1970), 17-21.