Algèbres de Lie
Les algèbres de Lie, introduites par Sophus Lie (photo) à la fin du 19e
siècle, sont
des structure algébriques importantes au même titre que les groupes, anneaux, algèbres
associatives. Intuitivement, elles sont une version `infinitésimale' d'un `groupe continu'
(autrement appelé : groupe de Lie)
c'est-à-dire un groupe muni d'une topologie agréable qui est compatible à la structure de groupe : elles décrivent
ce qui se passe au voisinage (topologique) de l'élément neutre.
Plusieurs groupes de Lie peuvent avoir
la même algèbre de Lie, mais deux tels groupes partagent beaucoup de points communs. Un exemple
`bête' d'algèbre de Lie : toute algèbre associative permet de définir une algèbre de Lie ! L'ensemble
des éléments est le même, simplement la loi de composition que l'on regarde n'est plus
la multiplication de l'algèbre, mais une opération qui en dérive, le crochet de Lie.
Cette opération associe à un couple (a,b) non plus le produit ab, mais la différence
ab-ba (cette loi de composition envoie donc tout couple vers 0 si l'algèbre est commutative).
Pour des problèmes reliés aux représentations de monodromie du groupe de tresses (qui n'est pas un groupe de Lie !),
plus généralement des groupes de tresses associés aux groupes de réflexions complexes ,
j'ai introduit un certain nombre d'algèbres de Lie, que j'ai appelé des algèbres de Hecke infinitésimale.
Ces algèbres de Lie sont surprenantes parce qu'elles apparaissent comme sous-algèbres de Lie
de l'algèbre de groupe de groupes finis, et leur structure précise n'est pas encore bien comprise.
L'enjeu est alors de relier la structure de ces algèbres de Lie (qui admettent de plus
une structure d'espace vectoriel gradué) aux propriétés des groupes finis correspondants
(notamment les groupes symétriques).
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