Groupe de tresses
L'ensemble des tresses à n brins (comme ci-dessus avec n=3) forme naturellement
un groupe, la loi de composition étant donnée par la concaténation
de deux tresses. Ce groupe est infini et sans torsion, et intervient
comme objet important dans de nombreuses branches des mathématiques : topologie, algèbre, géométrie, physique mathématique, théorie des nombres...
Ce groupe apparaît naturellement comme une extension du groupe symétrique,
c'est-à-dire qu'il y a un morphisme naturel surjectif du groupe de tresses à n brins vers le groupe symétrique sur n lettres : on associe simplement
à une tresse donnée la permutation des positions de départ et d'arrivée
induite par les brins. Le noyau de ce morphisme est appelé le groupe
de tresses pures. Il apparaît également comme le groupe fondamental
de l'ensemble de parties à n éléments du plan, pour la topologie
induite par la distance de Hausdorff entre compacts du plan.
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