Présentations explicites des monoïdes de tresses duaux

M. Picantin

Birman, Ko & Lee ont introduit un nouveau monoïde pour les groupes de tresses (de type A) avec une présentation explicite. La question de possibles généralisations se pose naturellement. Une bonne notion pour l’étude de ces nouveaux monoïdes de tresses (mais aussi de monoïdes pour les groupes de tresses des groupes de réflexions complexes, pour les groupes d’entrelacs, etc) est celle de monoïde de Garside, introduite par Dehornoy & Paris : M est un monoïde de Garside si M est un monoïde simplifiable, admet des ppcm à droite et à gauche et admet un élément de Garside défini comme un élément dont les diviseurs à droite et à gauche coïncident, engendrent M et sont en nombre fini. Les diviseurs de l’élément de Garside minimal sont appelés les éléments simples de M ; muni des opérations ppcm et pgcd, l’ensemble des éléments simples est un treillis fini. Les monoïdes de Garside se plongent dans leurs groupes de fractions, ont de bonnes pourmes normales, des structures automatiques explicites, etc. Il existe un critère qui permet de décider si une présentation de monoïde est celle d’un monoïde de Garside : il consiste en la vérification de conditions de complétude et de cube et de l’existence d’un élément de Garside.

Dans une présentation (de monoïde), si w_{1}, …, w_{p} sont des mots, on désigne par [w_{1}, …, w_{p}] la famille de relations w_{1}w_{2} = w_{2}w_{3} = … = w_{p−1}w_{p} = w_{p}w_{1} (compatible avec le symbole du commutateur dans une présentation de groupe).

Le principal résultat de l’article de Birman, Ko & Lee peut s’énoncer comme suit : le sous-monoïde B^{∗}(A_{n−1}) du groupe de tresses d’Artin-Tits B(A_{n−1}) engendré par les tresses a_{ts} = (σ_{t−1} ⋯ σ_{s+1})σ_{s}(σ_{t−1} ⋯ σ_{s+1})^{−1} pour n ≥ t > s ≥ 1 (où les σ_{i} sont les générateurs du monoïde classique B^{+}(A_{n−1})) admet la présentation

⟨a_{ts} : [a_{ts}, a_{sr}, a_{tr}] pour t > s > r, [a_{ts}, a_{rq}] pour (t−r)(t−q)(s−r)(s−q) > 0⟩; c’est un monoïde de Garside, dont le nombre de simples est le n-ième nombre de Catalan.

Suivant une nouvelle approche proposée avec Digne & Michel, en généralisant le cas du type A, Bessis a défini un monoïde de tresses dual B^{∗}(T) pour tout groupe d’Artin-Tits B(T) de type de Coxeter fini T, comme étant le monoïde de Garside dont le treillis des simples est le treillis de ≺-divisibilité d’un élément de Coxeter du groupe de Coxeter associé, où ≺ est définie relativement à la longueur en réflexions (une preuve combinatoire de la propriété de treillis pour le type D a depuis été détaillée par Brady & Watt).

Nous donnons une présentation explicite pour le monoïde de tresses dual B^{∗}(B_{n}) (resp. B^{∗}(D_{n})). La preuve consiste à montrer qu’un certain sousmonoïde du groupe B(B_{n}) (resp. B(D_{n})) engendré par des générateurs bien choisis admet la présentation proposée, et que cette présentation est celle d’un monoïde de Garside, dont l’élément de Garside minimal a pour image un élément de Coxeter dans le groupe de Coxeter associé.

Une approche analogue à celle de Birman, Ko & Lee permet de montrer que les éléments simples de B^{∗}(B_{n}) et B^{∗}(D_{n}) sont en bijection avec les partitions non-croisées correspondantes définies par Reiner.